第05章時間序列模型(自相關(guān)性和協(xié)整檢驗)

第05章時間序列模型(自相關(guān)性和協(xié)整檢驗)第一頁，共86頁。

在時間序列模型的發(fā)展過程中，一個重要的特征是對統(tǒng)計均衡關(guān)系做某種形式的假設(shè)，其中一種非常特殊的假設(shè)就是平穩(wěn)性的假設(shè)。通常一個平穩(wěn)時間序列能夠有效地用其均值、方差和自相關(guān)函數(shù)加以描述。本章首先通過討論回歸方程擾動項通常會存在的序列相關(guān)性問題，介紹如何應(yīng)用時間序列數(shù)據(jù)的建模方法，修正擾動項序列的自相關(guān)性。進一步討論時間序列的自回歸移動平均模型（ARMA模型），并且討論它們的具體形式、估計及識別方法。2第二頁，共86頁。

由于傳統(tǒng)的時間序列模型只能描述平穩(wěn)時間序列的變化規(guī)律，而大多數(shù)經(jīng)濟時間序列都是非平穩(wěn)的，因此，由20世紀80年代初Granger提出的協(xié)整概念，引發(fā)了非平穩(wěn)時間序列建模從理論到實踐的飛速發(fā)展。本章還介紹了非平穩(wěn)時間序列的單位根檢驗方法、ARIMA模型的建模方法、協(xié)整理論的基本思想及誤差修正模型。3第三頁，共86頁?！?.1.1

序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果

對于線性回歸模型

(5.1.1)

隨機擾動項之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為

(5.1.2)

如果擾動項序列ut表現(xiàn)為：

(5.1.3)即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立的，而是存在某種相關(guān)性，則認為出現(xiàn)了序列相關(guān)性(serialcorrelation)?！?.1

序列相關(guān)及其檢驗

4第四頁，共86頁。

由于通常假設(shè)隨機擾動項都服從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以表示為：

(5.1.4)特別的，如果僅存在

(5.1.5)稱為一階序列相關(guān)，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。

5第五頁，共86頁。

如果回歸方程的擾動項存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法得到的參數(shù)估計量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P(guān)可能引起的后果歸納為：②使用OLS公式計算出的標準差不正確；

③回歸得到的參數(shù)估計量的顯著性水平的檢驗不再可信。

①在線性估計中OLS估計量不再是有效的；6第六頁，共86頁。

EViews提供了檢測序列相關(guān)和估計方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個重要的解釋變量，資本對產(chǎn)出的影響就被歸入隨機誤差項。由于資本在時間上的連續(xù)性，以及對產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導(dǎo)致隨機誤差項的序列相關(guān)。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。§5.1.2

序列相關(guān)的檢驗方法

7第七頁，共86頁。

EViews提供了以下3種檢測序列相關(guān)的方法。

1．D_W統(tǒng)計量檢驗

Durbin-Watson統(tǒng)計量（簡稱D_W統(tǒng)計量）用于檢驗一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系。對于擾動項ut建立一階自回歸方程：

(5.1.6)D_W統(tǒng)計量檢驗的原假設(shè)：

=0，備選假設(shè)是

0。

8第八頁，共86頁。

如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近。如果存在正序列相關(guān)，D.W.值將小于2。如果存在負序列相關(guān)，D.W.值將在2～4之間。正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗，對于有大于50個觀測值和較少解釋變量的方程，D.W.值小于1.5的情況，說明殘差序列存在強的正一階序列相關(guān)。9第九頁，共86頁。

Dubin-Waston統(tǒng)計量檢驗序列相關(guān)有三個主要不足：

1．D-W統(tǒng)計量的擾動項在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。

2．回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗不再有效。

3．僅僅檢驗是否存在一階序列相關(guān)。其他兩種檢驗序列相關(guān)方法：相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計量、Breush-GodfreyLM檢驗克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場合。

10第十頁，共86頁。2.相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計量

1.自相關(guān)系數(shù)

我們還可以應(yīng)用所估計回歸方程殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)來檢驗序列相關(guān)。時間序列ut滯后k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計（5.2.26）其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關(guān)系數(shù)。稱rk為時間序列ut的自相關(guān)系數(shù)，自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫一個隨機過程的性質(zhì)。它告訴我們在序列ut的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。11第十一頁，共86頁。2．偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的條件下，ut與ut-k之間的條件相關(guān)性。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)k,k度量。在k階滯后下估計偏自相關(guān)系數(shù)的計算公式如下（5.2.27）其中：rk是在k階滯后時的自相關(guān)系數(shù)估計值。（5.2.28）這是偏自相關(guān)系數(shù)的一致估計。12第十二頁，共86頁。

要得到k,k的更確切的估計，需要進行回歸

t

=

1,2,,T

（5.2.29）因此，滯后k階的偏自相關(guān)系數(shù)是當ut

對ut-1，…，ut-k作回歸時ut-k的系數(shù)。稱之為偏相關(guān)是因為它度量了k期間距的相關(guān)而不考慮k-1期的相關(guān)。

13第十三頁，共86頁。

我們還可以應(yīng)用所估計回歸方程殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)，以及Ljung-BoxQ-統(tǒng)計量來檢驗序列相關(guān)。Q-統(tǒng)計量的表達式為：

(5.1.7)其中：rj是殘差序列的

j階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測值的個數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)。14第十四頁，共86頁。

p階滯后的Q-統(tǒng)計量的原假設(shè)是：序列不存在p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在p階自相關(guān)。如果Q-統(tǒng)計量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實際的檢驗中，通常會計算出不同滯后階數(shù)的Q-統(tǒng)計量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階Q-統(tǒng)計量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。15第十五頁，共86頁。

反之，如果，在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計量超過設(shè)定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列存在p階自相關(guān)。由于Q-統(tǒng)計量的P值要根據(jù)自由度p來估算，因此，一個較大的樣本容量是保證Q-統(tǒng)計量有效的重要因素。

在EViews軟件中的操作方法：

在方程工具欄選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-BoxQ統(tǒng)計量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計量不顯著，并且有大的P值。16第十六頁，共86頁。例5.1:利用相關(guān)圖檢驗殘差序列的相關(guān)性

考慮美國的一個投資方程。美國的GNP和國內(nèi)私人總投資INV是單位為10億美元的名義值，價格指數(shù)P為GNP的平減指數(shù)（1972=100），利息率R為半年期商業(yè)票據(jù)利息。回歸方程所采用的變量都是實際GNP和實際投資；它們是通過將名義變量除以價格指數(shù)得到的，分別用小寫字母gnp，inv表示。實際利息率的近似值r則是通過貼現(xiàn)率R減去價格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：1963年～1984年，建立如下線性回歸方程：

t

=

1,2,,T

17第十七頁，共86頁。應(yīng)用最小二乘法得到的估計方程如下：

t=（-1.32）（154.25）

R2=0.80

D.W.=0.9418第十八頁，共86頁。

虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負兩倍于估計標準差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個區(qū)域內(nèi)，則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯著區(qū)別。本例1階的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在1階序列相關(guān)。1階滯后的Q-統(tǒng)計量的P值很小，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在一階序列相關(guān)。

選擇View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice會產(chǎn)生如下結(jié)果：

19第十九頁，共86頁。3.序列相關(guān)的LM檢驗

與D.W.統(tǒng)計量僅檢驗擾動項是否存在一階自相關(guān)不同，Breush-GodfreyLM檢驗（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗）也可應(yīng)用于檢驗回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗仍然有效。

LM檢驗原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。20第二十頁，共86頁。

（1）估計回歸方程，并求出殘差et(5.1.8)

（2）檢驗統(tǒng)計量可以基于如下回歸得到

(5.1.9)

這是對原始回歸因子Xt和直到p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量和T×R2統(tǒng)計量。F統(tǒng)計量是對式（5.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗。T×R2統(tǒng)計量是LM檢驗統(tǒng)計量，是觀測值個數(shù)T乘以回歸方程（5.1.9）的R2。一般情況下，T×R2統(tǒng)計量服從漸進的2(p)

分布。21第二十一頁，共86頁。

在給定的顯著性水平下，如果這兩個統(tǒng)計量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個統(tǒng)計量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。

在EView軟件中的操作方法：

選擇View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地對高階的，含有ARMA誤差項的情況執(zhí)行Breush-GodfreyLM。在滯后定義對話框，輸入要檢驗序列的最高階數(shù)。22第二十二頁，共86頁。

LM統(tǒng)計量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。

例5.1(續(xù))

序列相關(guān)LM檢驗23第二十三頁，共86頁。

例5.2:含滯后因變量的回歸方程擾動項序列相關(guān)的檢驗

考慮美國消費CS

和GDP及前期消費之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)期間：1947年第1季度～1995年第1季度，數(shù)據(jù)中已消除了季節(jié)要素，建立如下線性回歸方程：

t

=

1,2,,T

應(yīng)用最小二乘法得到的估計方程如下：

t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999

D.W.=1.605

24第二十四頁，共86頁。

如果單純從顯著性水平、擬合優(yōu)度及D.W.值來看，這個模型是一個很理想的模型。但是，由于方程的解釋變量存在被解釋變量的一階滯后項，那么

D.W.值就不能作為判斷回歸方程的殘差是否存在序列相關(guān)的標準，如果殘差序列存在序列相關(guān)，那么，顯著性水平、擬合優(yōu)度和F統(tǒng)計量將不再可信。所以，必須采取本節(jié)中介紹的其他檢驗序列相關(guān)的方法檢驗殘差序列的自相關(guān)性。這里采用LM統(tǒng)計量進行檢驗(p=2)，得到結(jié)果如下：

LM統(tǒng)計量顯示，回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關(guān)性。25第二十五頁，共86頁。

下面給出殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，相關(guān)圖如下：

本例1～3階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計量的P值都小于1%，說明在1%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。26第二十六頁，共86頁?！?.1.3擾動項存在序列相關(guān)的線性回歸方程的修正與估計

線性回歸模型擾動項序列相關(guān)的存在，會導(dǎo)致模型估計結(jié)果的失真。因此，必須對擾動項序列的結(jié)構(gòu)給予正確的描述，以期消除序列相關(guān)對模型估計結(jié)果帶來的不利影響。通?？梢杂肁R(p)模型來描述一個平穩(wěn)序列的自相關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下：

(5.1.10)(5.1.11)27第二十七頁，共86頁。

其中：ut是無條件擾動項，它是回歸方程（5.1.10）的擾動項，參數(shù)0，1，

2，，k是回歸模型的系數(shù)。式（5.1.11）是擾動項ut的

p階自回歸模型，參數(shù)1，2，，p是p階自回歸模型的系數(shù)，t是無條件擾動項ut自回歸模型的誤差項，并且是均值為0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變量真實值和以解釋變量及以前預(yù)測誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測值之差。下面將討論如何利用AR(p)模型修正擾動項的序列相關(guān)，以及用什么方法來估計消除擾動項后方程的未知參數(shù)。28第二十八頁，共86頁。

1．修正一階序列相關(guān)

最簡單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸AR(1)模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且具有一階序列相關(guān)的情形，即p=1的情形：

(5.1.12)(5.1.13)把式（5.1.13）帶入式（5.1.12）中得到

(5.1.14)29第二十九頁，共86頁。然而，由式（5.1.12）可得

(5.1.15)再把式（5.1.15）代入式（5.1.14）中，并整理

(5.1.16)令，代入式（5.1.16）中有

(5.1.17)

如果已知

的具體值，可以直接使用OLS方法進行估計。如果

的值未知，通?？梢圆捎肎auss—Newton迭代法求解，同時得到

，

0，

1的估計量。

30第三十頁，共86頁。

2．修正高階序列相關(guān)

通常如果殘差序列存在p階序列相關(guān)，誤差形式可以由AR(p)過程給出。對于高階自回歸過程，可以采取與一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項代入，最終得到一個誤差項為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線性回歸方程的參數(shù)。

例如，仍討論一元線性回歸模型，并且擾動項序列具有3階序列相關(guān)的情形，即p=3的情形：31第三十一頁，共86頁。(5.1.18)(5.1.19)

按照上面處理AR(1)的方法，把擾動項的滯后項代入原方程中去，得到如下表達式：

(5.1.20)

通過一系列的化簡后，仍然可以得到參數(shù)為非線性，誤差項t為白噪聲序列的回歸方程。運用非線性最小二乘法，可以估計出回歸方程的未知參數(shù)

0,

1,

1,

2,

3。32第三十二頁，共86頁。

我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對于非線性形式為f(xt,)的非線性模型，xt={1,x1t,x2t,…,xkt}，={0

,1

,…,k}，若擾動項序列存在p階序列相關(guān)，(5.1.21)(5.1.22)

也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項t為白噪聲序列的非線性回歸方程，以p=1為例，(5.1.23)使用Gauss-Newton算法來估計參數(shù)。33第三十三頁，共86頁。

3.

在Eviews中的操作：打開一個方程估計窗口，輸入方程變量，最后輸入ar(1)ar(2)ar(3)。針對例5.2定義方程為：34第三十四頁，共86頁。

需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)ar(3)分別代表3個滯后項的系數(shù)，因此，如果我們認為擾動項僅僅在滯后2階和滯后4階存在自相關(guān)，其他滯后項不存在自相關(guān)，即則估計時應(yīng)輸入：cscgdpcs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相關(guān)時給予很大靈活性，可以輸入模型中想包括的各個自回歸項。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個單項來消除季節(jié)自回歸，可以輸入：cscgdpcs(-1)ar(4)。35第三十五頁，共86頁。

例5.3用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)（1）例5.1中檢驗到美國投資方程的殘差序列存在一階序列相關(guān)。這里將采用AR(1)模型來修正投資方程的自相關(guān)性：

t

=

1,2,,T

回歸估計的結(jié)果如下：

t=(1.79)（55.36）

t=(4.45)

R2=0.86D.W.=1.47

36第三十六頁，共86頁。

再對新的殘差序列進行LM檢驗(p=2)，最終得到的檢驗結(jié)果如下：檢驗結(jié)果不能拒絕原假設(shè)，即修正后的回歸方程的殘差序列不存在序列相關(guān)性。因此，用AR(1)模型修正后的回歸方程的估計結(jié)果是有效的。37第三十七頁，共86頁。例5.4用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)

例5.2中檢驗到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序列存在明顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采用AR(3)模型來修正回歸方程的自相關(guān)性。

回歸估計的結(jié)果如下：

38第三十八頁，共86頁。

模型建立如下：

t=(-3.9)(7.29)（13.54）

t=(4.85)(3.07)（3.03）

R2=0.999D.W=1.94

39第三十九頁，共86頁。

再對新的殘差序列進行LM檢驗，最終得到的檢驗結(jié)果如下：

給出糾正后的殘差序列的Q-統(tǒng)計量和序列相關(guān)圖，在直觀上認識到消除序列相關(guān)后的殘差序列是一個隨機擾動序列。

40第四十頁，共86頁。含有AR項模型的估計輸出

當估計某個含有AR項的模型時，在解釋結(jié)果時一定要小心。在用通常的方法解釋估計系數(shù)、系數(shù)標準誤差和t-統(tǒng)計量時，涉及殘差的結(jié)果會不同于OLS的估計結(jié)果。要理解這些差別，記住一個含有AR項的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差

通過原始變量以及估計參數(shù)算出。在用同期信息對yt值進行預(yù)測時，這些殘差是可以觀測出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。

41第四十一頁，共86頁。

第二種殘差是估計的一期向前預(yù)測誤差。如名所示，這種殘差代表預(yù)測誤差。對于含有AR項的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計量，如R2(回歸標準誤差)和D-W值都是以一期向前預(yù)測誤差為基礎(chǔ)的。含有AR項的模型獨有的統(tǒng)計量是估計的AR系數(shù)。42第四十二頁，共86頁。

對于簡單AR(1)模型，是無條件殘差?t的序列相關(guān)系數(shù)。對于平穩(wěn)AR(1)模型，1在-1（極端負序列相關(guān)）和+1（極端正序列相關(guān)）之間。一般AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子的特征多項式的根全部落在單位圓之外，即根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。

EViews在回歸輸出的底部給出這些根：InvertedARRoots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于1。

43第四十三頁，共86頁。

另外：EViews可以估計帶有AR誤差項的非線性回歸模型。

例如：將例5.4中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估計如下帶有附加修正項AR(3)的非線性方程：

用公式法輸入：

cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)]44第四十四頁，共86頁。

輸出結(jié)果顯示為：45第四十五頁，共86頁。

3.單整

像前述yt這種非平穩(wěn)序列，可以通過差分運算，得到平穩(wěn)性的序列稱為單整(integration)序列。定義如下：

定義：如果序列yt，通過d次差分成為一個平穩(wěn)序列，而這個序列差分d–1次時卻不平穩(wěn)，那么稱序列yt為d階單整序列，記為yt

～I(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為yt

～I(0)。46第四十六頁，共86頁。

單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對于上面的隨機游走過程，有一個單位根，所以是I(1)，同樣，平穩(wěn)序列是I(0)。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價格資產(chǎn)總值、儲蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階單整I(2)；以不變價格表示的消費額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整I(1)；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整I(0)。47第四十七頁，共86頁。

§5.3.2

非平穩(wěn)序列的單位根檢驗

檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗。有6種單位根檢驗方法：ADF檢驗、DFGLS檢驗、PP檢驗、KPSS檢驗、ERS檢驗和NP檢驗，本節(jié)將介紹DF檢驗、ADF檢驗。

ADF檢驗和PP檢驗方法出現(xiàn)的比較早，在實際應(yīng)用中較為常見，但是，由于這2種方法均需要對被檢驗序列作可能包含常數(shù)項和趨勢變量項的假設(shè)，因此，應(yīng)用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前2種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢的基礎(chǔ)上，構(gòu)造統(tǒng)計量檢驗序列是否存在單位根，應(yīng)用起來較為方便。

48第四十八頁，共86頁。

其中a是常數(shù)，

t是線性趨勢函數(shù)，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF檢驗

為說明DF檢驗的使用，先考慮3種形式的回歸模型

49第四十九頁，共86頁。

(1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢平穩(wěn)）。

(2)如果=1，yt

序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：顯然yt

的差分序列是平穩(wěn)的。

(3)如果

的絕對值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。50第五十頁，共86頁。

因此，判斷一個序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗

是否嚴格小于1來實現(xiàn)。也就是說：

原假設(shè)H0：

=1，備選假設(shè)H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

從方程兩邊同時減去yt-1得，其中：

=

-1。51第五十一頁，共86頁。

其中：

=

-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為

可以通過最小二乘法得到的估計值，并對其進行顯著性檢驗的方法，構(gòu)造檢驗顯著性的t統(tǒng)計量。但是，Dickey-Fuller研究了這個t統(tǒng)計量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進了常數(shù)項和趨勢項)和樣本長度T

。52第五十二頁，共86頁。Mackinnon進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當?shù)娘@著性水平，通過t統(tǒng)計量來決定能否拒絕原假設(shè)。這一檢驗被稱為Dickey-Fuller檢驗(DF檢驗)。

上面描述的單位根檢驗只有當序列為AR(1)時才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗方法（augmentedDickey-Fullertest）來檢驗含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。

53第五十三頁，共86頁。

2.ADF檢驗

考慮yt存在p階序列相關(guān)，用p階自回歸過程來修正，在上式兩端減去yt-1，通過添項和減項的方法，可得其中

54第五十四頁，共86頁。ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量yt

的滯后差分項來控制高階序列相關(guān)

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)55第五十五頁，共86頁。

擴展定義將檢驗

(5.3.14)

原假設(shè)為：至少存在一個單位根；備選假設(shè)為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數(shù)項和時間趨勢項。判斷的估計值是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進而判斷一個高階自相關(guān)序列AR(p)過程是否存在單位根。類似于DF檢驗，Mackinnon通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗不同顯著性水平的t統(tǒng)計量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。56第五十六頁，共86頁。

但是，在進行ADF檢驗時，必須注意以下兩個實際問題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)，通常采用AIC準則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。在實際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。

（2）可以選擇常數(shù)和線性時間趨勢，選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的t統(tǒng)計量在原假設(shè)下的漸近分布依賴于關(guān)于這些項的定義。57第五十七頁，共86頁。

EViews軟件中單位根檢驗操作說明：

雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗窗口58第五十八頁，共86頁。

進行單位根檢驗必須定義4項：

1．選擇檢驗類型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗方法。EViews5提供了6種單位根檢驗的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test59第五十九頁，共86頁。

2．選擇差分形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進行單位根檢驗?？梢允褂眠@個選項決定序列中單位根的個數(shù)。如果檢驗水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，則需要選擇2階差分。一般而言，一個序列經(jīng)過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。60第六十頁，共86頁。

3．定義檢驗方程中需要包含的選項

在Includeintestequation中定義在檢驗回歸中是否含有常數(shù)項、常數(shù)和趨勢項、或二者都不包含。這一選擇很重要，因為檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)下的分布隨這3種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項或者趨勢項，剛才已經(jīng)作了介紹。61第六十一頁，共86頁。

4．定義序列相關(guān)階數(shù)

在Laglenth這個選項中可以選擇一些確定消除序列相關(guān)所需的滯后階數(shù)的準則。一般而言，EViews默認SIC準則。定義上述選項后，單擊OK進行檢驗。EViews顯示檢驗統(tǒng)計量和估計檢驗回歸。單位根檢驗后，應(yīng)檢查EViews顯示的估計檢驗回歸，尤其是如果對滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗。62第六十二頁，共86頁。

例5.7

檢驗居民消費價格指數(shù)序列的平穩(wěn)性

圖5.9中國1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列63第六十三頁，共86頁。

例5.7用AR(1)模型模擬1983年1月～2007年8月居民消費價格指數(shù)一階差分CPI的變化規(guī)律。在用ADF進行單位根檢驗前，需要設(shè)定序列的是否含有常數(shù)項或者時間趨勢項。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項或者時間趨勢項。從圖5.7的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢項。CPI序列的ADF檢驗結(jié)果(選擇既無常數(shù)項也無趨勢項)如下：64第六十四頁，共86頁。

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根ADF檢驗結(jié)果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假設(shè)，存在單位根。65第六十五頁，共86頁。

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根DF-GLS檢驗結(jié)果。采用含有常數(shù)和趨勢項的形式。不能拒絕原假設(shè)，CPI序列存在單位根。66第六十六頁，共86頁。

檢驗結(jié)果顯示，CPI序列接受原假設(shè)，因此，CPI序列是一個非平穩(wěn)的序列。接著再對一階差分CPI序列進行單位根檢驗，ADF檢驗結(jié)果如下：

檢驗結(jié)果顯示，一階差分CPI序列拒絕原假設(shè)，接受CPI序列是平穩(wěn)序列的結(jié)論。因此，CPI序列是1階單整序列，即CPI～I(1)。67第六十七頁，共86頁。

例5.9檢驗中國GDP序列的平穩(wěn)性

在圖5.9中，我們可以觀察到1978年～2006年我國GDP（現(xiàn)價，生產(chǎn)法）具有明顯的上升趨勢。在ADF檢驗時選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項，由SIC準則確定滯后階數(shù)（p=4）。GDP序列的ADF檢驗如下

：檢驗結(jié)果顯示，GDP序列以較大的P值，即100%的概率接受原假設(shè)，即存在單位根的結(jié)論。68第六十八頁，共86頁。

將GDP序列做1階差分，然后對ΔGDP進行ADF檢驗（選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項，由SIC準則確定滯后階數(shù)（p=6））如下

：檢驗結(jié)果顯示，ΔGDP序列仍接受存在單位根的結(jié)論。其他檢驗方法的結(jié)果也接受原假設(shè)，ΔGDP序列存在單位根，是非平穩(wěn)的。

69第六十九頁，共86頁。

再對ΔGDP序列做差分，則Δ2GDP的ADF檢驗（選擇不含常數(shù)項和趨勢項,由SIC準則確定滯后階數(shù)（p=6））如下：檢驗結(jié)果顯示，二階差分序列Δ2GDP在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，接受不存在單位根的結(jié)論，因此可以確定GDP序列是2階單整序列，即GDP～I(2)。

70第七十頁，共86頁?！?.4協(xié)整和誤差修正模型

在前面介紹的ARMA模型中要求經(jīng)濟時間序列是平穩(wěn)的，但是由于實際應(yīng)用中大多數(shù)時間序列是非平穩(wěn)的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩(wěn)趨勢，使得序列平穩(wěn)化后建立模型，這就是上節(jié)介紹的ARIMA模型。但是變換后的序列限制了所討論經(jīng)濟問題的范圍，并且有時變換后的序列由于不具有直接的經(jīng)濟意義，使得化為平穩(wěn)序列后所建立的時間序列模型不便于解釋。71第七十一頁，共86頁。

1987年Engle和Granger提出的協(xié)整理論及其方法，為非平穩(wěn)序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經(jīng)濟變量的本身是非平穩(wěn)序列，但是，它們的線性組合卻有可能是平穩(wěn)序列。這種平穩(wěn)的線性組合被稱為協(xié)整方程，且可解釋為變量之間的長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系。

例如，消費和收入都是非平穩(wěn)時間序列，但是具有協(xié)整關(guān)系。假如它們不具有，那么長期消費就可能比收入高或低，于是消費者便會非理性地消費或累積儲蓄。72第七十二頁，共86頁。

5.4.1協(xié)整關(guān)系

假定一些經(jīng)濟指標被某經(jīng)濟系統(tǒng)聯(lián)系在一起，那么從長遠看來這些變量應(yīng)該具有均衡關(guān)系，這是建立和檢驗?zāi)Ｐ偷幕境霭l(fā)點。在短期內(nèi)，因為季節(jié)影響或隨機干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時的，那么隨著時間推移將會回到均衡狀態(tài)；如果這種偏離是持久的，就不能說這些變量之間存在均衡關(guān)系。協(xié)整(co-integration)可被看作這種均衡關(guān)系性質(zhì)的統(tǒng)計表示。協(xié)整概念是一個強有力的概念。因為協(xié)整允許我們刻畫兩個或多個序列之間的平衡或平穩(wěn)關(guān)系。對于每一個序列單獨來說可能是非平穩(wěn)的，這些序列的矩，如均值、方差或協(xié)方差隨時間而變化，而這些時間序列的線性組合序列卻可能有不隨時間變化的性質(zhì)。73第七十三頁，共86頁。

下面給出協(xié)整的定義：

k維向量Y

=(y1，y2，…，yk)的分量間被稱為d,b階協(xié)整，記為Y

～CI(d，b)，如果滿足：

(1)y1，y2，…，yk都是d階單整的，即yi～I(d)，i=1,2,…,k，要求Y

的每個分量yi

～I(d)；

(2)存在非零向量=(1,2,

…,

k

)，使得Y～I(d-b)，0<b≤d。簡稱Y

是協(xié)整的，向量

又稱為協(xié)整向量。

74第七十四頁，共86頁。

需要注意的是：

(1)作為對非平穩(wěn)變量之間關(guān)系的描述，協(xié)整向量是不惟一的；

(2)協(xié)整變量必須具有相同的單整階數(shù)；

(3)最多可能存在k-1個線性無關(guān)的協(xié)整向量(Y的維數(shù)是k)；

(4)協(xié)整變量之間具有共同的趨勢成分，在數(shù)量上成比例。75第七十五