第05章時(shí)間序列模型(自相關(guān)性和協(xié)整檢驗(yàn))

第05章時(shí)間序列模型(自相關(guān)性和協(xié)整檢驗(yàn))第一頁，共86頁。

在時(shí)間序列模型的發(fā)展過程中，一個(gè)重要的特征是對(duì)統(tǒng)計(jì)均衡關(guān)系做某種形式的假設(shè)，其中一種非常特殊的假設(shè)就是平穩(wěn)性的假設(shè)。通常一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列能夠有效地用其均值、方差和自相關(guān)函數(shù)加以描述。本章首先通過討論回歸方程擾動(dòng)項(xiàng)通常會(huì)存在的序列相關(guān)性問題，介紹如何應(yīng)用時(shí)間序列數(shù)據(jù)的建模方法，修正擾動(dòng)項(xiàng)序列的自相關(guān)性。進(jìn)一步討論時(shí)間序列的自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA模型），并且討論它們的具體形式、估計(jì)及識(shí)別方法。2第二頁，共86頁。

由于傳統(tǒng)的時(shí)間序列模型只能描述平穩(wěn)時(shí)間序列的變化規(guī)律，而大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的，因此，由20世紀(jì)80年代初Granger提出的協(xié)整概念，引發(fā)了非平穩(wěn)時(shí)間序列建模從理論到實(shí)踐的飛速發(fā)展。本章還介紹了非平穩(wěn)時(shí)間序列的單位根檢驗(yàn)方法、ARIMA模型的建模方法、協(xié)整理論的基本思想及誤差修正模型。3第三頁，共86頁?！?.1.1

序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果

對(duì)于線性回歸模型

(5.1.1)

隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為

(5.1.2)

如果擾動(dòng)項(xiàng)序列ut表現(xiàn)為：

(5.1.3)即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互獨(dú)立的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性(serialcorrelation)?！?.1

序列相關(guān)及其檢驗(yàn)

4第四頁，共86頁。

由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以表示為：

(5.1.4)特別的，如果僅存在

(5.1.5)稱為一階序列相關(guān)，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。

5第五頁，共86頁。

如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P(guān)可能引起的后果歸納為：②使用OLS公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確；

③回歸得到的參數(shù)估計(jì)量的顯著性水平的檢驗(yàn)不再可信。

①在線性估計(jì)中OLS估計(jì)量不再是有效的；6第六頁，共86頁。

EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個(gè)重要的解釋變量，資本對(duì)產(chǎn)出的影響就被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性，以及對(duì)產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中?！?.1.2

序列相關(guān)的檢驗(yàn)方法

7第七頁，共86頁。

EViews提供了以下3種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。

1．D_W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)

Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量（簡稱D_W統(tǒng)計(jì)量）用于檢驗(yàn)一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系。對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)ut建立一階自回歸方程：

(5.1.6)D_W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的原假設(shè)：

=0，備選假設(shè)是

0。

8第八頁，共86頁。

如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近。如果存在正序列相關(guān)，D.W.值將小于2。如果存在負(fù)序列相關(guān)，D.W.值將在2～4之間。正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于有大于50個(gè)觀測(cè)值和較少解釋變量的方程，D.W.值小于1.5的情況，說明殘差序列存在強(qiáng)的正一階序列相關(guān)。9第九頁，共86頁。

Dubin-Waston統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列相關(guān)有三個(gè)主要不足：

1．D-W統(tǒng)計(jì)量的擾動(dòng)項(xiàng)在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。

2．回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗(yàn)不再有效。

3．僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān)。其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法：相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量、Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場(chǎng)合。

10第十頁，共86頁。2.相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量

1.自相關(guān)系數(shù)

我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)來檢驗(yàn)序列相關(guān)。時(shí)間序列ut滯后k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計(jì)（5.2.26）其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關(guān)系數(shù)。稱rk為時(shí)間序列ut的自相關(guān)系數(shù)，自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫一個(gè)隨機(jī)過程的性質(zhì)。它告訴我們?cè)谛蛄衭t的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。11第十一頁，共86頁。2．偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的條件下，ut與ut-k之間的條件相關(guān)性。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)k,k度量。在k階滯后下估計(jì)偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下（5.2.27）其中：rk是在k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。（5.2.28）這是偏自相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)。12第十二頁，共86頁。

要得到k,k的更確切的估計(jì)，需要進(jìn)行回歸

t

=

1,2,,T

（5.2.29）因此，滯后k階的偏自相關(guān)系數(shù)是當(dāng)ut

對(duì)ut-1，…，ut-k作回歸時(shí)ut-k的系數(shù)。稱之為偏相關(guān)是因?yàn)樗攘苛薻期間距的相關(guān)而不考慮k-1期的相關(guān)。

13第十三頁，共86頁。

我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)，以及Ljung-BoxQ-統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列相關(guān)。Q-統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式為：

(5.1.7)其中：rj是殘差序列的

j階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)。14第十四頁，共86頁。

p階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存在p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在p階自相關(guān)。如果Q-統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實(shí)際的檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的Q-統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階Q-統(tǒng)計(jì)量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。15第十五頁，共86頁。

反之，如果，在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計(jì)量超過設(shè)定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列存在p階自相關(guān)。由于Q-統(tǒng)計(jì)量的P值要根據(jù)自由度p來估算，因此，一個(gè)較大的樣本容量是保證Q-統(tǒng)計(jì)量有效的重要因素。

在EViews軟件中的操作方法：

在方程工具欄選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對(duì)應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的P值。16第十六頁，共86頁。例5.1:利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性

考慮美國的一個(gè)投資方程。美國的GNP和國內(nèi)私人總投資INV是單位為10億美元的名義值，價(jià)格指數(shù)P為GNP的平減指數(shù)（1972=100），利息率R為半年期商業(yè)票據(jù)利息。回歸方程所采用的變量都是實(shí)際GNP和實(shí)際投資；它們是通過將名義變量除以價(jià)格指數(shù)得到的，分別用小寫字母gnp，inv表示。實(shí)際利息率的近似值r則是通過貼現(xiàn)率R減去價(jià)格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：1963年～1984年，建立如下線性回歸方程：

t

=

1,2,,T

17第十七頁，共86頁。應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：

t=（-1.32）（154.25）

R2=0.80

D.W.=0.9418第十八頁，共86頁。

虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯著區(qū)別。本例1階的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在1階序列相關(guān)。1階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的P值很小，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在一階序列相關(guān)。

選擇View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice會(huì)產(chǎn)生如下結(jié)果：

19第十九頁，共86頁。3.序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)

與D.W.統(tǒng)計(jì)量僅檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在一階自相關(guān)不同，Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗(yàn)仍然有效。

LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。20第二十頁，共86頁。

（1）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et(5.1.8)

（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到

(5.1.9)

這是對(duì)原始回歸因子Xt和直到p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和T×R2統(tǒng)計(jì)量。F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)式（5.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗(yàn)。T×R2統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測(cè)值個(gè)數(shù)T乘以回歸方程（5.1.9）的R2。一般情況下，T×R2統(tǒng)計(jì)量服從漸進(jìn)的2(p)

分布。21第二十一頁，共86頁。

在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。

在EView軟件中的操作方法：

選擇View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地對(duì)高階的，含有ARMA誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行Breush-GodfreyLM。在滯后定義對(duì)話框，輸入要檢驗(yàn)序列的最高階數(shù)。22第二十二頁，共86頁。

LM統(tǒng)計(jì)量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。

例5.1(續(xù))

序列相關(guān)LM檢驗(yàn)23第二十三頁，共86頁。

例5.2:含滯后因變量的回歸方程擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的檢驗(yàn)

考慮美國消費(fèi)CS

和GDP及前期消費(fèi)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)期間：1947年第1季度～1995年第1季度，數(shù)據(jù)中已消除了季節(jié)要素，建立如下線性回歸方程：

t

=

1,2,,T

應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：

t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999

D.W.=1.605

24第二十四頁，共86頁。

如果單純從顯著性水平、擬合優(yōu)度及D.W.值來看，這個(gè)模型是一個(gè)很理想的模型。但是，由于方程的解釋變量存在被解釋變量的一階滯后項(xiàng)，那么

D.W.值就不能作為判斷回歸方程的殘差是否存在序列相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)，如果殘差序列存在序列相關(guān)，那么，顯著性水平、擬合優(yōu)度和F統(tǒng)計(jì)量將不再可信。所以，必須采取本節(jié)中介紹的其他檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)殘差序列的自相關(guān)性。這里采用LM統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)(p=2)，得到結(jié)果如下：

LM統(tǒng)計(jì)量顯示，回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關(guān)性。25第二十五頁，共86頁。

下面給出殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，相關(guān)圖如下：

本例1～3階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的P值都小于1%，說明在1%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。26第二十六頁，共86頁?！?.1.3擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的線性回歸方程的修正與估計(jì)

線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在，會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)結(jié)果的失真。因此，必須對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)序列的結(jié)構(gòu)給予正確的描述，以期消除序列相關(guān)對(duì)模型估計(jì)結(jié)果帶來的不利影響。通?？梢杂肁R(p)模型來描述一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下：

(5.1.10)(5.1.11)27第二十七頁，共86頁。

其中：ut是無條件擾動(dòng)項(xiàng)，它是回歸方程（5.1.10）的擾動(dòng)項(xiàng)，參數(shù)0，1，

2，，k是回歸模型的系數(shù)。式（5.1.11）是擾動(dòng)項(xiàng)ut的

p階自回歸模型，參數(shù)1，2，，p是p階自回歸模型的系數(shù)，t是無條件擾動(dòng)項(xiàng)ut自回歸模型的誤差項(xiàng)，并且是均值為0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變量真實(shí)值和以解釋變量及以前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)值之差。下面將討論如何利用AR(p)模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列相關(guān)，以及用什么方法來估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知參數(shù)。28第二十八頁，共86頁。

1．修正一階序列相關(guān)

最簡單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸AR(1)模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且具有一階序列相關(guān)的情形，即p=1的情形：

(5.1.12)(5.1.13)把式（5.1.13）帶入式（5.1.12）中得到

(5.1.14)29第二十九頁，共86頁。然而，由式（5.1.12）可得

(5.1.15)再把式（5.1.15）代入式（5.1.14）中，并整理

(5.1.16)令，代入式（5.1.16）中有

(5.1.17)

如果已知

的具體值，可以直接使用OLS方法進(jìn)行估計(jì)。如果

的值未知，通常可以采用Gauss—Newton迭代法求解，同時(shí)得到

，

0，

1的估計(jì)量。

30第三十頁，共86頁。

2．修正高階序列相關(guān)

通常如果殘差序列存在p階序列相關(guān)，誤差形式可以由AR(p)過程給出。對(duì)于高階自回歸過程，可以采取與一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終得到一個(gè)誤差項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線性回歸方程的參數(shù)。

例如，仍討論一元線性回歸模型，并且擾動(dòng)項(xiàng)序列具有3階序列相關(guān)的情形，即p=3的情形：31第三十一頁，共86頁。(5.1.18)(5.1.19)

按照上面處理AR(1)的方法，把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原方程中去，得到如下表達(dá)式：

(5.1.20)

通過一系列的化簡后，仍然可以得到參數(shù)為非線性，誤差項(xiàng)t為白噪聲序列的回歸方程。運(yùn)用非線性最小二乘法，可以估計(jì)出回歸方程的未知參數(shù)

0,

1,

1,

2,

3。32第三十二頁，共86頁。

我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性形式為f(xt,)的非線性模型，xt={1,x1t,x2t,…,xkt}，={0

,1

,…,k}，若擾動(dòng)項(xiàng)序列存在p階序列相關(guān)，(5.1.21)(5.1.22)

也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng)t為白噪聲序列的非線性回歸方程，以p=1為例，(5.1.23)使用Gauss-Newton算法來估計(jì)參數(shù)。33第三十三頁，共86頁。

3.

在Eviews中的操作：打開一個(gè)方程估計(jì)窗口，輸入方程變量，最后輸入ar(1)ar(2)ar(3)。針對(duì)例5.2定義方程為：34第三十四頁，共86頁。

需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)ar(3)分別代表3個(gè)滯后項(xiàng)的系數(shù)，因此，如果我們認(rèn)為擾動(dòng)項(xiàng)僅僅在滯后2階和滯后4階存在自相關(guān)，其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān)，即則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入：cscgdpcs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性，可以輸入模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng)。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個(gè)單項(xiàng)來消除季節(jié)自回歸，可以輸入：cscgdpcs(-1)ar(4)。35第三十五頁，共86頁。

例5.3用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)（1）例5.1中檢驗(yàn)到美國投資方程的殘差序列存在一階序列相關(guān)。這里將采用AR(1)模型來修正投資方程的自相關(guān)性：

t

=

1,2,,T

回歸估計(jì)的結(jié)果如下：

t=(1.79)（55.36）

t=(4.45)

R2=0.86D.W.=1.47

36第三十六頁，共86頁。

再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)(p=2)，最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下：檢驗(yàn)結(jié)果不能拒絕原假設(shè)，即修正后的回歸方程的殘差序列不存在序列相關(guān)性。因此，用AR(1)模型修正后的回歸方程的估計(jì)結(jié)果是有效的。37第三十七頁，共86頁。例5.4用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)

例5.2中檢驗(yàn)到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序列存在明顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采用AR(3)模型來修正回歸方程的自相關(guān)性。

回歸估計(jì)的結(jié)果如下：

38第三十八頁，共86頁。

模型建立如下：

t=(-3.9)(7.29)（13.54）

t=(4.85)(3.07)（3.03）

R2=0.999D.W=1.94

39第三十九頁，共86頁。

再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)，最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下：

給出糾正后的殘差序列的Q-統(tǒng)計(jì)量和序列相關(guān)圖，在直觀上認(rèn)識(shí)到消除序列相關(guān)后的殘差序列是一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)序列。

40第四十頁，共86頁。含有AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出

當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有AR項(xiàng)的模型時(shí)，在解釋結(jié)果時(shí)一定要小心。在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù)、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和t-統(tǒng)計(jì)量時(shí)，涉及殘差的結(jié)果會(huì)不同于OLS的估計(jì)結(jié)果。要理解這些差別，記住一個(gè)含有AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差

通過原始變量以及估計(jì)參數(shù)算出。在用同期信息對(duì)yt值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。

41第四十一頁，共86頁。

第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差。如名所示，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。對(duì)于含有AR項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量，如R2(回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差)和D-W值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的。含有AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的AR系數(shù)。42第四十二頁，共86頁。

對(duì)于簡單AR(1)模型，是無條件殘差?t的序列相關(guān)系數(shù)。對(duì)于平穩(wěn)AR(1)模型，1在-1（極端負(fù)序列相關(guān)）和+1（極端正序列相關(guān)）之間。一般AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子的特征多項(xiàng)式的根全部落在單位圓之外，即根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。

EViews在回歸輸出的底部給出這些根：InvertedARRoots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于1。

43第四十三頁，共86頁。

另外：EViews可以估計(jì)帶有AR誤差項(xiàng)的非線性回歸模型。

例如：將例5.4中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng)AR(3)的非線性方程：

用公式法輸入：

cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)]44第四十四頁，共86頁。

輸出結(jié)果顯示為：45第四十五頁，共86頁。

3.單整

像前述yt這種非平穩(wěn)序列，可以通過差分運(yùn)算，得到平穩(wěn)性的序列稱為單整(integration)序列。定義如下：

定義：如果序列yt，通過d次差分成為一個(gè)平穩(wěn)序列，而這個(gè)序列差分d–1次時(shí)卻不平穩(wěn)，那么稱序列yt為d階單整序列，記為yt

～I(xiàn)(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為yt

～I(xiàn)(0)。46第四十六頁，共86頁。

單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對(duì)于上面的隨機(jī)游走過程，有一個(gè)單位根，所以是I(1)，同樣，平穩(wěn)序列是I(0)。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價(jià)格資產(chǎn)總值、儲(chǔ)蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階單整I(2)；以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整I(1)；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整I(0)。47第四十七頁，共86頁。

§5.3.2

非平穩(wěn)序列的單位根檢驗(yàn)

檢查序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法是單位根檢驗(yàn)。有6種單位根檢驗(yàn)方法：ADF檢驗(yàn)、DFGLS檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)、ERS檢驗(yàn)和NP檢驗(yàn)，本節(jié)將介紹DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)。

ADF檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)方法出現(xiàn)的比較早，在實(shí)際應(yīng)用中較為常見，但是，由于這2種方法均需要對(duì)被檢驗(yàn)序列作可能包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)變量項(xiàng)的假設(shè)，因此，應(yīng)用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前2種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列是否存在單位根，應(yīng)用起來較為方便。

48第四十八頁，共86頁。

其中a是常數(shù)，

t是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF檢驗(yàn)

為說明DF檢驗(yàn)的使用，先考慮3種形式的回歸模型

49第四十九頁，共86頁。

(1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。

(2)如果=1，yt

序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：顯然yt

的差分序列是平穩(wěn)的。

(3)如果

的絕對(duì)值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。50第五十頁，共86頁。

因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗(yàn)

是否嚴(yán)格小于1來實(shí)現(xiàn)。也就是說：

原假設(shè)H0：

=1，備選假設(shè)H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

從方程兩邊同時(shí)減去yt-1得，其中：

=

-1。51第五十一頁，共86頁。

其中：

=

-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為

可以通過最小二乘法得到的估計(jì)值，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性的t統(tǒng)計(jì)量。但是，Dickey-Fuller研究了這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng))和樣本長度T

。52第五十二頁，共86頁。Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過t統(tǒng)計(jì)量來決定能否拒絕原假設(shè)。這一檢驗(yàn)被稱為Dickey-Fuller檢驗(yàn)(DF檢驗(yàn))。

上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為AR(1)時(shí)才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗(yàn)方法（augmentedDickey-Fullertest）來檢驗(yàn)含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。

53第五十三頁，共86頁。

2.ADF檢驗(yàn)

考慮yt存在p階序列相關(guān)，用p階自回歸過程來修正，在上式兩端減去yt-1，通過添項(xiàng)和減項(xiàng)的方法，可得其中

54第五十四頁，共86頁。ADF檢驗(yàn)方法通過在回歸方程右邊加入因變量yt

的滯后差分項(xiàng)來控制高階序列相關(guān)

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)55第五十五頁，共86頁。

擴(kuò)展定義將檢驗(yàn)

(5.3.14)

原假設(shè)為：至少存在一個(gè)單位根；備選假設(shè)為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。判斷的估計(jì)值是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進(jìn)而判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列AR(p)過程是否存在單位根。類似于DF檢驗(yàn)，Mackinnon通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn)不同顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。56第五十六頁，共86頁。

但是，在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際問題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)，通常采用AIC準(zhǔn)則來確定給定時(shí)間序列模型的滯后階數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。

（2）可以選擇常數(shù)和線性時(shí)間趨勢(shì)，選擇哪種形式很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的漸近分布依賴于關(guān)于這些項(xiàng)的定義。57第五十七頁，共86頁。

EViews軟件中單位根檢驗(yàn)操作說明：

雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗(yàn)窗口58第五十八頁，共86頁。

進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義4項(xiàng)：

1．選擇檢驗(yàn)類型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗(yàn)方法。EViews5提供了6種單位根檢驗(yàn)的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test59第五十九頁，共86頁。

2．選擇差分形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)?？梢允褂眠@個(gè)選項(xiàng)決定序列中單位根的個(gè)數(shù)。如果檢驗(yàn)水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個(gè)單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，則需要選擇2階差分。一般而言，一個(gè)序列經(jīng)過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€(gè)平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。60第六十頁，共86頁。

3．定義檢驗(yàn)方程中需要包含的選項(xiàng)

在Includeintestequation中定義在檢驗(yàn)回歸中是否含有常數(shù)項(xiàng)、常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)、或二者都不包含。這一選擇很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的分布隨這3種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項(xiàng)或者趨勢(shì)項(xiàng)，剛才已經(jīng)作了介紹。61第六十一頁，共86頁。

4．定義序列相關(guān)階數(shù)

在Laglenth這個(gè)選項(xiàng)中可以選擇一些確定消除序列相關(guān)所需的滯后階數(shù)的準(zhǔn)則。一般而言，EViews默認(rèn)SIC準(zhǔn)則。定義上述選項(xiàng)后，單擊OK進(jìn)行檢驗(yàn)。EViews顯示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)檢驗(yàn)回歸。單位根檢驗(yàn)后，應(yīng)檢查EViews顯示的估計(jì)檢驗(yàn)回歸，尤其是如果對(duì)滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗(yàn)。62第六十二頁，共86頁。

例5.7

檢驗(yàn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)序列的平穩(wěn)性

圖5.9中國1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列63第六十三頁，共86頁。

例5.7用AR(1)模型模擬1983年1月～2007年8月居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)一階差分CPI的變化規(guī)律。在用ADF進(jìn)行單位根檢驗(yàn)前，需要設(shè)定序列的是否含有常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。從圖5.7的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢(shì)項(xiàng)。CPI序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果(選擇既無常數(shù)項(xiàng)也無趨勢(shì)項(xiàng))如下：64第六十四頁，共86頁。

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根ADF檢驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假設(shè)，存在單位根。65第六十五頁，共86頁。

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根DF-GLS檢驗(yàn)結(jié)果。采用含有常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)的形式。不能拒絕原假設(shè)，CPI序列存在單位根。66第六十六頁，共86頁。

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，CPI序列接受原假設(shè)，因此，CPI序列是一個(gè)非平穩(wěn)的序列。接著再對(duì)一階差分CPI序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)結(jié)果如下：

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，一階差分CPI序列拒絕原假設(shè)，接受CPI序列是平穩(wěn)序列的結(jié)論。因此，CPI序列是1階單整序列，即CPI～I(xiàn)(1)。67第六十七頁，共86頁。

例5.9檢驗(yàn)中國GDP序列的平穩(wěn)性

在圖5.9中，我們可以觀察到1978年～2006年我國GDP（現(xiàn)價(jià)，生產(chǎn)法）具有明顯的上升趨勢(shì)。在ADF檢驗(yàn)時(shí)選擇含有常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，由SIC準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)（p=4）。GDP序列的ADF檢驗(yàn)如下

：檢驗(yàn)結(jié)果顯示，GDP序列以較大的P值，即100%的概率接受原假設(shè)，即存在單位根的結(jié)論。68第六十八頁，共86頁。

將GDP序列做1階差分，然后對(duì)ΔGDP進(jìn)行ADF檢驗(yàn)（選擇含有常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，由SIC準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)（p=6））如下

：檢驗(yàn)結(jié)果顯示，ΔGDP序列仍接受存在單位根的結(jié)論。其他檢驗(yàn)方法的結(jié)果也接受原假設(shè)，ΔGDP序列存在單位根，是非平穩(wěn)的。

69第六十九頁，共86頁。

再對(duì)ΔGDP序列做差分，則Δ2GDP的ADF檢驗(yàn)（選擇不含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng),由SIC準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)（p=6））如下：檢驗(yàn)結(jié)果顯示，二階差分序列Δ2GDP在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，接受不存在單位根的結(jié)論，因此可以確定GDP序列是2階單整序列，即GDP～I(xiàn)(2)。

70第七十頁，共86頁。§5.4協(xié)整和誤差修正模型

在前面介紹的ARMA模型中要求經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，但是由于實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩(wěn)趨勢(shì)，使得序列平穩(wěn)化后建立模型，這就是上節(jié)介紹的ARIMA模型。但是變換后的序列限制了所討論經(jīng)濟(jì)問題的范圍，并且有時(shí)變換后的序列由于不具有直接的經(jīng)濟(jì)意義，使得化為平穩(wěn)序列后所建立的時(shí)間序列模型不便于解釋。71第七十一頁，共86頁。

1987年Engle和Granger提出的協(xié)整理論及其方法，為非平穩(wěn)序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經(jīng)濟(jì)變量的本身是非平穩(wěn)序列，但是，它們的線性組合卻有可能是平穩(wěn)序列。這種平穩(wěn)的線性組合被稱為協(xié)整方程，且可解釋為變量之間的長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系。

例如，消費(fèi)和收入都是非平穩(wěn)時(shí)間序列，但是具有協(xié)整關(guān)系。假如它們不具有，那么長期消費(fèi)就可能比收入高或低，于是消費(fèi)者便會(huì)非理性地消費(fèi)或累積儲(chǔ)蓄。72第七十二頁，共86頁。

5.4.1協(xié)整關(guān)系

假定一些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)被某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)聯(lián)系在一起，那么從長遠(yuǎn)看來這些變量應(yīng)該具有均衡關(guān)系，這是建立和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷幕境霭l(fā)點(diǎn)。在短期內(nèi)，因?yàn)榧竟?jié)影響或隨機(jī)干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時(shí)的，那么隨著時(shí)間推移將會(huì)回到均衡狀態(tài)；如果這種偏離是持久的，就不能說這些變量之間存在均衡關(guān)系。協(xié)整(co-integration)可被看作這種均衡關(guān)系性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)表示。協(xié)整概念是一個(gè)強(qiáng)有力的概念。因?yàn)閰f(xié)整允許我們刻畫兩個(gè)或多個(gè)序列之間的平衡或平穩(wěn)關(guān)系。對(duì)于每一個(gè)序列單獨(dú)來說可能是非平穩(wěn)的，這些序列的矩，如均值、方差或協(xié)方差隨時(shí)間而變化，而這些時(shí)間序列的線性組合序列卻可能有不隨時(shí)間變化的性質(zhì)。73第七十三頁，共86頁。

下面給出協(xié)整的定義：

k維向量Y

=(y1，y2，…，yk)的分量間被稱為d,b階協(xié)整，記為Y

～CI(d，b)，如果滿足：

(1)y1，y2，…，yk都是d階單整的，即yi～I(xiàn)(d)，i=1,2,…,k，要求Y

的每個(gè)分量yi

～I(xiàn)(d)；

(2)存在非零向量=(1,2,

…,

k

)，使得Y～I(xiàn)(d-b)，0<b≤d。簡稱Y

是協(xié)整的，向量

又稱為協(xié)整向量。

74第七十四頁，共86頁。

需要注意的是：

(1)作為對(duì)非平穩(wěn)變量之間關(guān)系的描述，協(xié)整向量是不惟一的；

(2)協(xié)整變量必須具有相同的單整階數(shù)；

(3)最多可能存在k-1個(gè)線性無關(guān)的協(xié)整向量(Y的維數(shù)是k)；

(4)協(xié)整變量之間具有共同的趨勢(shì)成分，在數(shù)量上成比例。75第七十五