線性代數與解析幾何矩陣演示文稿

線性代數與解析幾何矩陣演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有165頁\編輯于星期三（優(yōu)選）線性代數與解析幾何矩陣現(xiàn)在是2頁\一共有165頁\編輯于星期三√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣概念的引入現(xiàn)在是3頁\一共有165頁\編輯于星期三為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數表：ABCDABCD√√√√√√√這個數表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.現(xiàn)在是4頁\一共有165頁\編輯于星期三其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數量．例

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數量可用數表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．現(xiàn)在是5頁\一共有165頁\編輯于星期三數域定義：對于一個至少含有0，1的復數集合的子集合F，如

果其中任意兩個數的和、差、積、商（除數不為0）

仍在F中，那么F稱為一個數域．所有的有理數、實數、復數都分別形成一個數域（有理數域、實數域、復數域），分別記為所有的奇數（偶數）都不能構成數域.現(xiàn)在是6頁\一共有165頁\編輯于星期三構成一個數域.通常用表示這個數域.例

集合證顯然包含0,1并且對于加減法是封閉的.另外因為a,b,c,d都是有理數，所以ac+2bd,ad+bc也是有理數.從而說明對乘法也是封閉的.設，則知對除法也封閉.現(xiàn)在是7頁\一共有165頁\編輯于星期三

由

m×n

個數排成的

m

行

n

列的數表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作二、矩陣的定義（定義在數域F上）現(xiàn)在是8頁\一共有165頁\編輯于星期三簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣.這m×n個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元.現(xiàn)在是9頁\一共有165頁\編輯于星期三行數不一定等于列數共有m×n個元素本質上就是一個數表行數等于列數共有n2個元素矩陣行列式現(xiàn)在是10頁\一共有165頁\編輯于星期三同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個矩陣的行數相等、列數相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.現(xiàn)在是11頁\一共有165頁\編輯于星期三注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如現(xiàn)在是12頁\一共有165頁\編輯于星期三只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).2.元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣現(xiàn)在是13頁\一共有165頁\編輯于星期三3.行數與列數都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.稱為方陣的主對角線元素，所有主對角線元素的和稱為方陣的跡，記為

現(xiàn)在是14頁\一共有165頁\編輯于星期三形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為單位矩陣．記作記作．現(xiàn)在是15頁\一共有165頁\編輯于星期三定義

設，稱是A的負矩陣，其中現(xiàn)在是16頁\一共有165頁\編輯于星期三例

某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數量可用數表表示：試求：工廠在一年內向各商店發(fā)送貨物的數量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數量．現(xiàn)在是17頁\一共有165頁\編輯于星期三解：工廠在一年內向各商店發(fā)送貨物的數量現(xiàn)在是18頁\一共有165頁\編輯于星期三1、矩陣的加法定義：設有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.現(xiàn)在是19頁\一共有165頁\編輯于星期三知識點比較現(xiàn)在是20頁\一共有165頁\編輯于星期三交換律結合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設

A、B、C是同型矩陣設矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)（A的負矩陣）．顯然現(xiàn)在是21頁\一共有165頁\編輯于星期三設工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產的貨物的單價及單件重量可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．現(xiàn)在是22頁\一共有165頁\編輯于星期三解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．現(xiàn)在是23頁\一共有165頁\編輯于星期三2、數與矩陣相乘定義：數

k是復數域中的一個數，它與矩陣

A

的乘積記作

kA

或

Ak

，規(guī)定為現(xiàn)在是24頁\一共有165頁\編輯于星期三結合律分配律備注數乘矩陣的運算規(guī)律設

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數矩陣相加與數乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.現(xiàn)在是25頁\一共有165頁\編輯于星期三知識點比較現(xiàn)在是26頁\一共有165頁\編輯于星期三其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數量．例（續(xù)）

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數量可用數表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．現(xiàn)在是27頁\一共有165頁\編輯于星期三解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．現(xiàn)在是28頁\一共有165頁\編輯于星期三可用矩陣表示為一般地，現(xiàn)在是29頁\一共有165頁\編輯于星期三4、矩陣與矩陣相乘定義：設，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．現(xiàn)在是30頁\一共有165頁\編輯于星期三例：設則現(xiàn)在是31頁\一共有165頁\編輯于星期三知識點比較有意義.沒有意義.只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.現(xiàn)在是32頁\一共有165頁\編輯于星期三例P.34例1.2

結論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結論．現(xiàn)在是33頁\一共有165頁\編輯于星期三矩陣乘法的運算規(guī)律(1)

乘法結合律證明？

(3)

乘法對加法的分配律(2)

數乘和乘法的結合律（其中

l

是數）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數1，即矩陣乘法不一定滿足交換律!!!現(xiàn)在是34頁\一共有165頁\編輯于星期三(5)

設A是一個n階方陣，f(x),g(x)為復系數的多項式，則矩陣A的多項式f(A)和g(A)的乘法滿足交換律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).現(xiàn)在是35頁\一共有165頁\編輯于星期三例：如果AB=BA,我們就稱矩陣A，B可交換.證明和對角矩陣可交換的只能是對角矩陣.其中證設矩陣B可以和A可交換.其中現(xiàn)在是36頁\一共有165頁\編輯于星期三則現(xiàn)在是37頁\一共有165頁\編輯于星期三即依次比較兩邊矩陣的第一行，第二行，…….,可以得到故結論成立現(xiàn)在是38頁\一共有165頁\編輯于星期三(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然,定義思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立現(xiàn)在是39頁\一共有165頁\編輯于星期三5、矩陣的轉置定義：把矩陣

A的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作AT

.例現(xiàn)在是40頁\一共有165頁\編輯于星期三轉置矩陣的運算性質現(xiàn)在是41頁\一共有165頁\編輯于星期三例：已知解法1現(xiàn)在是42頁\一共有165頁\編輯于星期三解法2現(xiàn)在是43頁\一共有165頁\編輯于星期三定義：設A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱陣.對稱陣反對稱陣現(xiàn)在是44頁\一共有165頁\編輯于星期三例：設列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對稱陣．現(xiàn)在是45頁\一共有165頁\編輯于星期三6、共軛矩陣當為復矩陣時，用表示的共軛復數，記，稱為的共軛矩陣.

顯然，復矩陣A是實矩陣當且僅當.

現(xiàn)在是46頁\一共有165頁\編輯于星期三例現(xiàn)在是47頁\一共有165頁\編輯于星期三（設A，B

為復矩陣，l為復數，且運算都是可行的）：性質現(xiàn)在是48頁\一共有165頁\編輯于星期三作業(yè)習題二1(3)(4)，5,7,11現(xiàn)在是49頁\一共有165頁\編輯于星期三§2.2

矩陣的分塊現(xiàn)在是50頁\一共有165頁\編輯于星期三前言由于某些條件的限制，我們經常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢?這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問題一：什么是矩陣分塊法？問題二：為什么提出矩陣分塊法？現(xiàn)在是51頁\一共有165頁\編輯于星期三問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些水平線和垂直線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進行分塊；每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.這是2階方陣嗎？現(xiàn)在是52頁\一共有165頁\編輯于星期三例分塊矩陣現(xiàn)在是53頁\一共有165頁\編輯于星期三把矩陣A用水平線和垂直線分割成若干個小矩陣.如下圖現(xiàn)在是54頁\一共有165頁\編輯于星期三問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對于行數和列數較高的矩陣A，運算時采用分塊法，可以使大矩陣的運算化成小矩陣的運算，體現(xiàn)了化整為零的思想.現(xiàn)在是55頁\一共有165頁\編輯于星期三分塊矩陣的加法現(xiàn)在是56頁\一共有165頁\編輯于星期三若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！現(xiàn)在是57頁\一共有165頁\編輯于星期三分塊矩陣的數乘現(xiàn)在是58頁\一共有165頁\編輯于星期三若l是數，且

則有形式上看成是普通的數乘運算！現(xiàn)在是59頁\一共有165頁\編輯于星期三分塊矩陣的乘法一般地，設A為ml矩陣，B為ln矩陣

，把A、B分塊如下：現(xiàn)在是60頁\一共有165頁\編輯于星期三分塊矩陣的轉置若，則例如：分塊矩陣不僅形式上進行轉置，而且每一個子塊也進行轉置．現(xiàn)在是61頁\一共有165頁\編輯于星期三分塊對角矩陣（補充）定義：設A

是n

階矩陣，若

A

的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對角線上的子塊都是方陣，那么稱A

為分塊對角矩陣．例如：現(xiàn)在是62頁\一共有165頁\編輯于星期三方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運算性質現(xiàn)在是63頁\一共有165頁\編輯于星期三證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構造一個6階行列式現(xiàn)在是64頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是65頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是66頁\一共有165頁\編輯于星期三令，則

C=(cij)=AB．現(xiàn)在是67頁\一共有165頁\編輯于星期三從而．現(xiàn)在是68頁\一共有165頁\編輯于星期三§2.3

矩陣的秩一、矩陣的初等變換二、矩陣的秩現(xiàn)在是69頁\一共有165頁\編輯于星期三引例：求解線性方程組①②③④一、矩陣的初等變換現(xiàn)在是70頁\一共有165頁\編輯于星期三①②③④①②③÷2①②③④現(xiàn)在是71頁\一共有165頁\編輯于星期三②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④現(xiàn)在是72頁\一共有165頁\編輯于星期三②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④現(xiàn)在是73頁\一共有165頁\編輯于星期三④－2×③③④①②③④①②③④現(xiàn)在是74頁\一共有165頁\編輯于星期三取x3

為自由變量，則令x3=c

，則恒等式①②③④現(xiàn)在是75頁\一共有165頁\編輯于星期三三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數k乘某個方程，記作；一個方程加上另一個方程的k倍，記作.

其逆變換是：結論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數和常數進行運算，未知數并未參與運算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj現(xiàn)在是76頁\一共有165頁\編輯于星期三定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：交換矩陣中的兩行，記作；以非零常數k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換現(xiàn)在是77頁\一共有165頁\編輯于星期三有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價，記作矩陣之間的等價關系具有下列性質：反身性；對稱性若，則；傳遞性若，則．現(xiàn)在是78頁\一共有165頁\編輯于星期三階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.階梯形矩陣若某行中每個元素都為0，則位于該行下面各行元素也全為0.若有非零元素且非零元素出現(xiàn)于前r行，而對于i=1,2,…,r,第i行中左起第1個非零元素為,則.現(xiàn)在是79頁\一共有165頁\編輯于星期三例是階梯形矩陣，而不是階梯形矩陣.現(xiàn)在是80頁\一共有165頁\編輯于星期三證設m×n

矩陣A

若所有的均為0，則顯然A是階梯形矩陣.定理任意一個矩陣都可經過一系列初等行變換化為階梯形矩陣.現(xiàn)在是81頁\一共有165頁\編輯于星期三否則，設A的第列的元素均為0，而第列有非零元素.利用矩陣的初等變換其中.依次類推.

現(xiàn)在是82頁\一共有165頁\編輯于星期三例把化成階梯形矩陣.

現(xiàn)在是83頁\一共有165頁\編輯于星期三解

現(xiàn)在是84頁\一共有165頁\編輯于星期三（續(xù)）考慮列初等變換

現(xiàn)在是85頁\一共有165頁\編輯于星期三定理任意一個m×n矩陣A都可與一個形如的矩陣等價.為A的等價標準形.現(xiàn)在是86頁\一共有165頁\編輯于星期三任何矩陣階梯形矩陣等價標準形矩陣一系列初等行變換一系列初等列變換一系列初等變換結論現(xiàn)在是87頁\一共有165頁\編輯于星期三二、矩陣的秩的概念定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個元素按原來的順序組成的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n矩陣A的k

階子式共有個．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數余子式現(xiàn)在是88頁\一共有165頁\編輯于星期三與元素a12相對應的余子式相應的代數余子式矩陣A

的一個2階子塊矩陣A的一個2階子式現(xiàn)在是89頁\一共有165頁\編輯于星期三矩陣A的一個3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個3階子式也等于零．現(xiàn)在是90頁\一共有165頁\編輯于星期三定義：設矩陣A中有一個不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

數r

稱為矩陣

A

的秩，記作r(A)．根據行列式按行（列）展開法則可知，矩陣A中任何一個r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．現(xiàn)在是91頁\一共有165頁\編輯于星期三矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數．顯然，若矩陣A

中有某個s

階子式不等于零，則r(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則r(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個，即|A|． 當|A|≠0時，r(A)=n;

（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣．

當|A|=0時，r(A)<n;

（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤r(A)≤min(m,n)．r(AT)=r(A)．現(xiàn)在是92頁\一共有165頁\編輯于星期三矩陣A的一個2階子式矩陣AT

的一個2階子式AT

的子式與A

的子式對應相等，從而r(AT)=r(A)．現(xiàn)在是93頁\一共有165頁\編輯于星期三例：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個，即|A|，而且|A|=0，因此r(A)=2．現(xiàn)在是94頁\一共有165頁\編輯于星期三例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B是一個行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個非零元為對角元的3階子式，因此r(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？現(xiàn)在是95頁\一共有165頁\編輯于星期三例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結論：階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數．現(xiàn)在是96頁\一共有165頁\編輯于星期三證明

只需證明A經過一次初等變換化成,有定理初等變換不改變矩陣的秩.下面以列變換為例，按三種初等列變換分別論證.現(xiàn)在是97頁\一共有165頁\編輯于星期三設.要證的任意k(k>r)階子式

D全為零，為此對A按列分塊，設經過初等變換后變?yōu)槿的任意一個k(k>r)階子式D,記是D中分別對應于的列.則D有三種情形.現(xiàn)在是98頁\一共有165頁\編輯于星期三(1)

D中不含B的第i列，這時D就是A的子式.則D=0.(2)D中含B的第i列，但不含B的第j列,這時(3)D同時含B的第i列和第j列,現(xiàn)在是99頁\一共有165頁\編輯于星期三B中高于r階的子式都為0，所以，同理可得

.結論成立.現(xiàn)在是100頁\一共有165頁\編輯于星期三分析

比較矩陣A、B的等價標準形.性質1兩個矩陣A、B等價的條件是當且僅當它們有相同的秩.性質2階梯形矩陣的秩等于它非零行的數目.現(xiàn)在是101頁\一共有165頁\編輯于星期三例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的．現(xiàn)在是102頁\一共有165頁\編輯于星期三一般的矩陣，當行數和列數較高時，按定義求秩是很麻煩的.階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數.一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣.兩個等價的矩陣的秩是否相等？現(xiàn)在是103頁\一共有165頁\編輯于星期三例：求矩陣的秩?，F(xiàn)在是104頁\一共有165頁\編輯于星期三解：第一步先用初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣．階梯形矩陣有3個非零行，故r(A)=3

．現(xiàn)在是105頁\一共有165頁\編輯于星期三分析：對B

作初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，設B

的階梯形矩陣為，則就是A

的階梯形矩陣，因此可從中同時看出r(A)及r(B)．例：設，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：r(A)=2r(B)=3現(xiàn)在是106頁\一共有165頁\編輯于星期三§2.4

矩陣的逆現(xiàn)在是107頁\一共有165頁\編輯于星期三矩陣與復數相仿，有加、減、乘三種運算.矩陣的乘法是否也和復數一樣有逆運算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復數中的地位．一個復數a

≠0的倒數a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入對于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有現(xiàn)在是108頁\一共有165頁\編輯于星期三定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的（如果有的話）.定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1.現(xiàn)在是109頁\一共有165頁\編輯于星期三例：已知,則例：已知,求其逆矩陣.現(xiàn)在是110頁\一共有165頁\編輯于星期三性質：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且現(xiàn)在是111頁\一共有165頁\編輯于星期三下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1

？現(xiàn)在是112頁\一共有165頁\編輯于星期三例：已知,則A不存在逆矩陣.假設存在逆矩陣則而,矛盾.現(xiàn)在是113頁\一共有165頁\編輯于星期三定義設矩陣稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。元素的代數余子式位于第i行第j列現(xiàn)在是114頁\一共有165頁\編輯于星期三定理

矩陣Ａ可逆的充要條件是，且當Ａ可逆時，有：

證明若可逆，現(xiàn)在是115頁\一共有165頁\編輯于星期三由定義得現(xiàn)在是116頁\一共有165頁\編輯于星期三例：求二階矩陣的逆矩陣.現(xiàn)在是117頁\一共有165頁\編輯于星期三例：求3階方陣的逆矩陣.解：|A|=52，則現(xiàn)在是118頁\一共有165頁\編輯于星期三例：設方陣A滿足,證明A,A+2E都可逆.

現(xiàn)在是119頁\一共有165頁\編輯于星期三方陣A可逆此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.現(xiàn)在是120頁\一共有165頁\編輯于星期三例

的系數矩陣是一個n階方陣A

，若A可逆,則線性方程組有唯一的解.現(xiàn)在是121頁\一共有165頁\編輯于星期三證明：記則上述線性變換可記作AX=b．存在性:由于A可逆,則，于是唯一性:假設有另一解,則現(xiàn)在是122頁\一共有165頁\編輯于星期三例設其中為可逆矩陣,為可逆矩陣，求A的逆.現(xiàn)在是123頁\一共有165頁\編輯于星期三§2.5

初等矩陣現(xiàn)在是124頁\一共有165頁\編輯于星期三定義：由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等矩陣.互換單位矩陣的兩行（列）；(2)以常數

k≠0

乘單位矩陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位矩陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．一、初等變換與矩陣乘法的關系現(xiàn)在是125頁\一共有165頁\編輯于星期三(第I種類型的初等矩陣)n階單位矩陣的第

i,j行（i>j）互換，記為P(i,j).第i行第ｊ行現(xiàn)在是126頁\一共有165頁\編輯于星期三記作

P(3,5)現(xiàn)在是127頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是128頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是129頁\一共有165頁\編輯于星期三(2)(第II種類型的初等矩陣)以常數

k≠0

乘單位矩陣第

i行,

記為P(i(k)).第i行現(xiàn)在是130頁\一共有165頁\編輯于星期三記作

P(3(k))現(xiàn)在是131頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是132頁\一共有165頁\編輯于星期三(3)(第III種類型的初等矩陣)以

k

乘單位矩陣第

j行加到第

i行,記作

P(i,j(k))．第i行第ｊ行現(xiàn)在是133頁\一共有165頁\編輯于星期三記作

P(3,5(k))現(xiàn)在是134頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是135頁\一共有165頁\編輯于星期三結論把矩陣A的第i行與第j行對換，即.把矩陣A的第i列與第j列對換，即.以非零常數k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.現(xiàn)在是136頁\一共有165頁\編輯于星期三定理(定理5.1)

設A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣.口訣：左行右列.現(xiàn)在是137頁\一共有165頁\編輯于星期三例已知求P(3,1(2))A,AP(2,3).P(3(3))A.現(xiàn)在是138頁\一共有165頁\編輯于星期三初等變換初等變換的逆變換初等矩陣?現(xiàn)在是139頁\一共有165頁\編輯于星期三所以．一般地，．現(xiàn)在是140頁\一共有165頁\編輯于星期三所以．一般地，．?現(xiàn)在是141頁\一共有165頁\編輯于星期三所以．一般地，．?現(xiàn)在是142頁\一共有165頁\編輯于星期三初等變換初等變換的逆變換初等矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?現(xiàn)在是143頁\一共有165頁\編輯于星期三定理

任意一個矩陣A都和一形如

的矩陣等價。（P45）現(xiàn)在是144頁\一共有165頁\編輯于星期三由上述定理可得定理

對任意矩陣,r(A)=r,存在一系列和n階初等矩陣使得現(xiàn)在是145頁\一共有165頁\編輯于星期三推論1

若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等陣，使從而推論2

若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等矩陣Q1,Q2,…,Ql，使AQ1

Q2…,Ql=E．從而現(xiàn)在是146頁\一共有165頁\編輯于星期三初等變換的應用若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初矩陣使，從而即對矩陣(AE)執(zhí)行初等行變換,當把A變成E時，原來的E變成.現(xiàn)在是147頁\一共有165頁\編輯于星期三

解例１現(xiàn)在是148頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是149頁\一共有165頁\編輯于星期三即初等行變換現(xiàn)在是150頁\一共有165頁\編輯于星期三例２解現(xiàn)在是151頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是152頁\一共有165頁\編輯于星期三現(xiàn)在是153頁\一共有165頁\編輯于星期三列變換行變換現(xiàn)在是154頁\一共有165頁\編輯于星期三作業(yè)習題二16,20,24現(xiàn)在是155頁\一共有165頁\編輯于星期三概念特殊矩陣

m×n個數aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構成的數表.單位距陣:主對角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣.對角矩陣:主對角元素是其余元素都是零的n階方陣.對稱矩陣:矩陣主要知識網絡圖AT=A.反對稱矩陣:

AT=－A.矩陣2現(xiàn)在是156頁\一共有165頁\編輯于星期三運算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij).AB=C其中A與B同型.的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數余子式構成的矩陣.AT:AT現(xiàn)在是157頁\一共有165頁\編輯于星期三逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義.用伴隨矩陣分塊對角矩陣