【19份】2019屆高三數(shù)學(xué)（理科）二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：專(zhuān)題強(qiáng)化練

【19份】2019屆高三數(shù)學(xué)（理科）二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

專(zhuān)題強(qiáng)化練

目錄

2019年3月1日

專(zhuān)題強(qiáng)化練一...............................................................2

專(zhuān)題強(qiáng)化練二................................................................8

專(zhuān)題強(qiáng)化練三...............................................................14

專(zhuān)題強(qiáng)化練四...............................................................22

專(zhuān)題強(qiáng)化練五...............................................................28

滿(mǎn)分示范練——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)..................................................36

專(zhuān)題強(qiáng)化練七...............................................................46

專(zhuān)題強(qiáng)化練八...............................................................53

專(zhuān)題強(qiáng)化練九...............................................................58

專(zhuān)題強(qiáng)彳匕練十二.............................................................79

專(zhuān)題強(qiáng)化練十四.............................................................90

專(zhuān)題強(qiáng)化練十五.............................................................97

專(zhuān)題強(qiáng)化練十七............................................................112

專(zhuān)題強(qiáng)化練十八............................................................120

專(zhuān)題強(qiáng)化練十九............................................................127

專(zhuān)題強(qiáng)化練一

一、選擇題

1.設(shè)於)=[￡'若｛G^a+i),則乂：)=()

[2(x1),1)

A.2B.4C.6D.8

詳細(xì)分析：由已知得〃>0,所以a+1>1,

因?yàn)镠“)=/S+l),所以W=2(〃+1—1),

解得所以彳0=/(4)=2(4_1)=6.

答案：C

2.(一題多解)(2018?全國(guó)卷川)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=ln

x的圖象關(guān)于直線x=i對(duì)稱(chēng)的是()

A.y=ln(l—X)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(l+x)D.j=ln(2+x)

詳細(xì)分析：法一設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則

其關(guān)于直線x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2—x,j),由對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)(2—X,

y)在函數(shù)/(x)=lnx的圖象上，所以y=ln(2—x).

法二由題意知，對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)(1,0)既在函數(shù)y=lnx的圖象

上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗(yàn)，排除

A,C,D,選B.

答案：B

3.(2017?全國(guó)卷I)函數(shù)歹=普急的部分圖象大致為()

cD

詳細(xì)分析：令小尸普念,定義域?yàn)閧x|xH2An,AGZ},又

y（-x）=-/（x）,所以?。┰诙x域內(nèi)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

B不正確.又/"=（）,火。）=0,4n）==^VO.所以選項(xiàng)A,D

1+2

不正確，只有選項(xiàng)C滿(mǎn)足.

答案：C

4.（2018?廣東省際名校（茂名）聯(lián)考）設(shè)函數(shù)於）在R上為增函數(shù)，

則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.>=/（：）在R上為減函數(shù)

B.了=1/（*）|在R上為增函數(shù)

C.>=一/（；）在R上為增函數(shù)

D.y=-/（x）在R上為減函數(shù)

詳細(xì)分析：取於）=*3,則A項(xiàng)，C項(xiàng)中定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,

4-oo）,不滿(mǎn)足.B項(xiàng)中，y=|/（x）|=E|在R上不單調(diào)，只有D項(xiàng)y

=-d在R上是減函數(shù).

答案：D

5.已知函數(shù)作）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，人幻為減

函數(shù)，則不等式/喝⑵一5）、

>4Og28）的解集為（）

A.博Vx<卷

B.x-

5,741T

C.jx爹<xV正曲,

D.xx/或表4V:

詳細(xì)分析：/U）在R上是偶函數(shù)，且xWO時(shí)，上）是減函數(shù).

所以於）在（0,+8）上是增函數(shù)

log](2x—5)

故原不等式化為

2>301og2(2x—5)>3或log2(Zr

—5)<—3.

所以2*—5>8或0V2x—5v],

o

解得x>m或9VxV瞿.

1Llo

答案：c

6.（2018?安徽宣城第二次調(diào)研）定義在R上的奇函數(shù)於）滿(mǎn)足於

+2）=一於），且在［0,1］上是減函數(shù)，則有（）

A.6）<卜*娟

B.懸需</H）

c怎v/HHl）

D，七）嘯嘯

詳細(xì)分析：府）在R上是奇函數(shù)，且府+2）=一/），

所以Hx+2）=A—X）,則彳多=/（；）

又於）在［0,1］上是減函數(shù)，知/（X）在［-1,1］上也是減函數(shù),

答案：B

二、填空題

7.（2018?成都診斷）函數(shù)於）=。2'—；+3的定義域?yàn)?/p>

詳細(xì)分析：由題意得J2'解得—

5+1中0,

答案：｛x|x>—1｝

8.已知函數(shù)於）是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，於）=，（〃>0且〃W1）,

且/（logj_4）=—3,則4的值為.

2

詳細(xì)分析：因?yàn)槠婧瘮?shù)/（x）滿(mǎn)足火logl4）=-3,

2

所以八-2)=—3,即｛2)=3,

又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，質(zhì)）="（“>0且”芋1）,又2>0,

所以｛2）="2=3,解得a=小.

答案：小

9.如圖，函數(shù)/（X）的圖象為折線力C6,則不等式Hx）》log2（x+

1）的解集是.

詳細(xì)分析:在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)/(x)與y=Iog2(x+l)的圖象,

如圖所示.

根據(jù)圖象，當(dāng)x￡(-l,1|時(shí)，y=/(x)的圖象在y=log2(x+l)圖

象的上方.

所以不等式的解集為(-1,1].

答案：(一1,1|

三'解答題

2

10.已知函數(shù)/(x)=a—Fpj.

⑴求知)；

(2)探究人2的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(3)若於:)為奇函數(shù)，求滿(mǎn)足人火)<{2)的x的范圍.

2

解：(1次0)=〃—'G=a—1.

(2)因?yàn)閧r)的定義域?yàn)镽,

所以任取Xl,且X1V%2,

22

2?(2XL2必)

(l+2xi)(1+2x2)*

因?yàn)榇?2、在R上單調(diào)遞增且X]VX2,

所以0V2XIV2*2,所以2a一〃2<0,2^+1>0,2x2+l>0.

所以/(xJ-/(X2)V0,即人肛)V/(X2).

所以大幻在R上單調(diào)遞增.

(3)因?yàn)樽?是奇函數(shù)，所以<一x)=~/(x),

22

即fl-2-A+i=-fl+F+T,

解得4=1(或用｛0)=0去解).

所以人心)V/(2)即為於)<｛2),

又因?yàn)樾?在R上單調(diào)遞增，所以xV2.

所以不等式的解集為(一8,2).

11.(2018?韶關(guān)質(zhì)檢)已知函數(shù)｛x)=ln(x+l)—不彳(a￡R).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)作)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若一1VxVl時(shí)，均有於月0成立,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)當(dāng)”=1時(shí)，Hx)=】n(x+1)一亡^火幻的定義域?yàn)椋鹸|x>

-1且x手1}.

“(、__1_____1__________x(X_3)

J(X)x+1(1—X)2(X—1)2(x+1)，

當(dāng)一IVxVO或x>3時(shí)，，(x)>0;

當(dāng)OVxVl或1V*V3,f(x)<0,

所以函數(shù)上)的增區(qū)間為(一1,0)和(3,+8)；減區(qū)間為(0,1)

和(1,3).

X2-(a+2)x+1-〃

Q/(x)=(x-1)2(x+1)—1V*V1,

當(dāng)“WO時(shí)，f(x)>0恒成立,故ovxvi時(shí)，y(x)>/(o)=o,

不符合題意.

當(dāng)?>0時(shí)，令/(*)=0,

p4+2—442+8”

付Xi=,,

?+2+^/aM-8fl

X2=2?

若OVaVl,此時(shí)OVxiVl,對(duì)OV*〈X1,有/(x)>0,於)>/(0)

=0,不符合題意.

若”>1,此時(shí)一IVxiVO,對(duì)XiVxVO,有/(x)V0,於)〉｛0)

=0,不符合題意，

若4=1,由(1)知，函數(shù)｛X)在*=0處取得最大值0,符合題意，

綜上可知，實(shí)數(shù)〃的取值為1.

專(zhuān)題強(qiáng)化練二

一\選擇題

[2A—1,xWL

i.已知函數(shù)於則函數(shù)人*)的零點(diǎn)為()

l+logix,X>1,

A.1,0B,-2,0

C.1D.0

詳細(xì)分析：當(dāng)xWl時(shí)，由｛2=2'—1=0,解得x=0.

當(dāng)X>1時(shí)，由/(X)=l+log2X=0,解得x=；,又因?yàn)閄>1,所

以此時(shí)方程無(wú)解.

綜上函數(shù)小)的零點(diǎn)只有0.

答案：D

2.（2018?天津卷）已知a=log2e,b=\n2,c=loglr,則。,h,c

的大小關(guān)系是（

A.a>h>cB.h>a>c

C.c>h>aD.c>a>b

詳細(xì)分析：c=log]_；=log23,?=log2e,

2

由y=10g2X在（0,+8）上是增函數(shù)，知c>4>l.

又/>=ln2Vl,故

答案：D

3.（2018?安徽安慶二模）若定義在R上的偶函數(shù)/（x）滿(mǎn)足於+2）

=腫）,且x￡[0,1]時(shí),/（x）=x,則方程於）=10g3|*|解的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.多于4

詳細(xì)分析：由於+2）=/）可得函數(shù)的周期為2,

又函數(shù)為偶函數(shù)且當(dāng)x￡[0,1]時(shí)，/（x）=x,

故可作出函數(shù)人幻得圖象.如圖所示.

所以方程八丫）=10§3用解的個(gè)數(shù)等價(jià)于/（X）與y=k）g3W|圖象的交

由圖象可得它們有4個(gè)交點(diǎn)，故方程Hx）=log31M解的個(gè)數(shù)為4.

答案：C

4.將甲桶中的〃L水緩慢注入空桶乙中，fmin后甲桶中剩余的

水量符合指數(shù)衰減曲線尹=證”.假設(shè)過(guò)5min后甲桶和乙桶的水量相

等，若再過(guò)陽(yáng)min甲桶中的水只有點(diǎn)L,則陽(yáng)的值為（）

A.5B.8C.9D.10

詳細(xì)分析：因?yàn)?min后甲桶和乙桶的水量相等,

所以函數(shù)y=/(/)=ae"‘滿(mǎn)足｛5)=ae5,,=^a,

可得w=|ln1,

所以y(r)=a(；F，

因此，當(dāng)Amin后甲桶中的水只有￡L時(shí),

則與4a=i°-

由題意知，m=k—5=5.

答案：A

In(x+1)，x》0,

5.已知函數(shù)加)=13若函數(shù)y=/(x)—A有三

x'—3x,x<0

個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(-2,1)

C.(0,2)D.(1,3)

詳細(xì)分析：當(dāng)xVO時(shí)，HX)=X3—3X,則/(X)=3X2—3,

令，(x)=0,

得X=-1(舍去正根)，

故外)在(一8,一1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減.

又Hx)=ln(x+1)在x20上單調(diào)遞增.

則函數(shù)外)圖象如圖所示.

所以人幻極大值=八-1)=-1+3=2,

且｛0)=0.

故當(dāng)46(0,2)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn).

答案：C

二、填空題

6.已知4*)=2*+*+1,g(x)=log2x+x+1,A(X)=10g2X—1的

零點(diǎn)依次為“，b,C,則a,h,C的大小關(guān)系是.

詳細(xì)分析：令函數(shù)Hx)=2*+x+l=0,可知xVO,即“VO,

令g(x)=log2x+x+1=0,

則OVxVl,即OVOVL

令〃(x)=log2*—1=0,知x=2,即c=2.

因此

答案：c>b>a

7.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)

者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷(xiāo)售的收入￡與廣告費(fèi)力之間滿(mǎn)

足關(guān)系￡=”?(〃為常數(shù)),廣告效應(yīng)為筋一4那么精明的商人

為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為(用常數(shù)”表示).

詳細(xì)分析：令t=Ce。),則N=*,

所以1一/J+：".

所以當(dāng)即4=%時(shí)，。取得最大值.

答案：%

(x—4,x—A,

8.(2018?浙江卷改編)已知2￡R,函數(shù)/(x)=2,「

lx—4x+3,X<A.

若函數(shù)作）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則z的取值范圍是

詳細(xì)分析：令作）=0,當(dāng)時(shí)，x=4.

當(dāng)xV2時(shí)，X2—4x+3=0,則x=l或x=3,

若函數(shù)作）恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，1V2W3或

2>4.

答案：（1,3]U（4,+8）

三、解答題

9.候鳥(niǎo)每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種

鳥(niǎo)類(lèi)的專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)，該種鳥(niǎo)類(lèi)的飛行速度。（單位：m/s）與其耗氧量Q

之間的關(guān)系為。=〃+㈤。83*（其中〃、b是實(shí)數(shù)）.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥(niǎo)類(lèi)

在靜止時(shí)其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行

速度為1m/s.

（1）求出〃、h的值；

（2）若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧

量至少要多少個(gè)單位？

解：（1）由題意可知，當(dāng)這種鳥(niǎo)類(lèi)靜止時(shí)，它的速度為Om/s,此

30

時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有“+/>log3行=0,

即?+/>=0;

90

當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s,故有〃+0]og3m=1,

整理得〃+2。=1.

?+/>=0,

解方程組得

”+2。=1,b=l.

(2)由(1)知,0=T+log3告.

所以要使飛行速度不低于2m/s,則有。22,

即一l+log3含22,即10g3告23,解得22270.

所以若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s,則其耗

氧量至少要270個(gè)單位.

10.(2018?江蘇卷節(jié)選改編)記，(x),g'(x)分別為函數(shù)於)，g(x)

的導(dǎo)函數(shù).若存在々ER,滿(mǎn)足於o)=g(x0)且/(勺)=(?))，則稱(chēng)“0

為函數(shù)於)與其0的一個(gè)“S點(diǎn)”.

(1)證明：函數(shù)_/(x)=x與g(x)=x2+2x—2不存在"S點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)府)=/一1與g(x)=Inx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)〃的值.

(1)證明：函數(shù)/(x)=x,g(x)=x2+2x—2,

則/(x)=l,g'(x)=2x+2.

由/(x)=g(x)且/(x)=g'(*)，得

|x=f+2x—2,

,此方程組無(wú)解，

[1=2x+2,

因此，人*)與g(*)不存在“S點(diǎn)”.

(2)解：函數(shù)危)=分2—1,或*)=加*,則，(*)=2or,g'(x)=(.

f

設(shè)xo為八r)與g(x)的“S點(diǎn)”，由於o)=g(x。)且，(x0)=g(x0),

得

oxo-l=lnXo,

混一l=lnXo,

1即2謁=1,(*)

2ax=—,

I0Xo

111e

得111工0=一不，即xo=e_3，則a=---------;---=不.

222(e_l)22

當(dāng)4=,時(shí),*0=0—；滿(mǎn)足方程組(*),即Xo為/(x)與g(x)的"S點(diǎn)”.

因此，”的值為*

專(zhuān)題強(qiáng)化練三

一、選擇題

1.(2018?湖南衡陽(yáng)第一次聯(lián)考)若“、b、c為實(shí)數(shù)，且“VZ＞VO,

則下列命題正確的是()

A.?c2<Z>c2Ba<6

D.aL>ab>b1

詳細(xì)分析：若c=0,則A不成立；選項(xiàng)B錯(cuò);

由〃V6V0,得二＞〃兒且岫＞/,從而D正確.

答案：D

2.(2018?合肥模擬)設(shè)函數(shù)於)=鬲，則使人〃)+1刃(〃+1)成

立的”的取值范圍是()

A.(―°°,—2)B.(-1,+8)

C.(-oo-2)U(-l,H-oo)D.(—8,-1)

詳細(xì)分析：加)+12%+1)臺(tái)園+12濯,

?24-3?+4

從而20.

(a+1)(a+2)

因?yàn)長(zhǎng)+3a+4>0對(duì)一切“WR恒成立,

所以原不等式等價(jià)于(〃+1)(〃+2)>0,解得?<—2或?>—1.

故所求〃的取值范圍是(一8,—2)U(—1,+°°).

答案：C

3.記不等式組廣-520,的解集為與，若V(x,y)^D,不

2y+lW0,

等式〃<2x+y恒成立，則”的取值范圍是()

A.(一8,3]B.|3,+8)

C.(一8,6|D.(-8,8|

詳細(xì)分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，

令z=2x+y,則y=—2x+z,

作直線y=-2x并平移，過(guò)點(diǎn)工時(shí),

y=-2x+z,在y軸上的截距最小.

又/(I,4),貝Zmin=2Xl+4=6.

所以aW6,

即”的取值范圍是(-8,6].

答案：C

i12

4.（2018?長(zhǎng)郡中學(xué)聯(lián)考）當(dāng)?！醇印矗瑫r(shí),若京+三面》42—2〃

恒成立，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為（）

A.[-2,0)U(0,4]B.[-4,0)U(0,2]

C.|-4,2|D.|-2,4|

1211

詳細(xì)分析：易得一==一乙一廠，且

1ni+11-2mm\1-2m)IOV/wV2].

又ZM(1—2/M)=T,2ZM(1—2/M)<

12〃?+(1-2m)2_1

2L2J=8-

當(dāng)且僅當(dāng)2/〃=l—2/w,即/?=；時(shí)取“=

所以—z=7Tz\-28.

nt1—2/〃tn（1—2ZM）

要使原不等式恒成立，只需公一2AW8,解得一2WAW4.

答案：D

5.變量x,y滿(mǎn)足＜2x—3yW9,則/+￡的最大值是（）

A.4B.9C.10D.12

詳細(xì)分析:作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.

表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,

[x+y=2,

由得4(3,

Sl2x-3y=9,-1)?

由圖形知，（*2+￡八”=|0*2=32+（-i）2=io.

答案：C

（xy^O,

6.實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足「°使z="x+y取得最大值的最優(yōu)解

有2個(gè)，則Zl=ax+y+l的最小值為（）

A.0B.-2C.1D.-1

詳細(xì)分析：畫(huà)出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示,

因?yàn)閦="x+y取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，所以一“=1,a=—

1,所以當(dāng)x=l,y=0或x=0,y=—1時(shí)，z=ox+y=—x+y有最

小值一1,所以《x+y+l的最小值是0.

答案：A

二、填空題

2*+y+320,

7.（2018?全國(guó)卷川）若變量x,y滿(mǎn)足約束條件＜x—2y+420,則

/—2W0,

Z=x+1y的最大值是.

詳細(xì)分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.

作直線產(chǎn)=一3%平移該直線，由圖可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)直

線x=2與直線X—2j+4=0的交點(diǎn)(2,3)時(shí)，z=x+5取得最大值，

故Zmax=2+；X3=3.

答案：3

8.(2018?天津卷)已知a￡R,函數(shù)加:)=

[x2+2x+?—2,xWO,

12I,若對(duì)任意x￡[-3,+°°),恒成

[-x-\-2x~2a,x>0.

立，則〃的取值范圍是.

詳細(xì)分析：當(dāng)一3WxW0時(shí)，恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為X2+2X

+a—2<-x恒成立，即您W—X2—3x+2恒成立，所以您-x2—3x

+2)min=2；

當(dāng)x>0時(shí),/(x)W|x|恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為一x?+2x—2aWx恒成立，

r、—X2+X.、(—Y+x)1

即422Z恒*"■成、工，所，以42(2Jmax=[8.

綜上可知，〃的取值范圍是：，2.

答案：；，2

9.在平面直角坐標(biāo)系xO伊中，M(a,〃)為不等式組<2x~3y^9,

所表示的區(qū)域上任意動(dòng)點(diǎn)，則V的最大值為

詳細(xì)分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，

長(zhǎng)^=2.

2x-3y=9

則M(a,A)在尸內(nèi)(含邊界).

h—1

易知丁q表示點(diǎn)M與點(diǎn)8(4,1)連線的斜率,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Z重合時(shí)，j5取最大值.

x+y=2,

又解得點(diǎn)4(3,-1),

12x—3y=9.

b—11—(—1)

所以口的最大值為總產(chǎn)FT—=2.

答案：2

10.設(shè)滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)-y所在的平面區(qū)域?yàn)镼,則Q

x0,

的外接圓方程是.

詳細(xì)分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域Q,如圖中陰影部分所

示.

則區(qū)域。是四邊形4BCO(含內(nèi)部及邊界).

易知5C_L/6,則外接圓的圓心為/C的中點(diǎn),

又4(0,6),C(2,0),

則該四邊形外接圓圓心為(1,3),半徑r=；|/C|=?,

故所求外接圓的方程為(x-iy+e—3)2=10.

答案：(X-1)?+8—3)2=10

11.(2018?河南八校質(zhì)檢)已知等差數(shù)列｛%｝中，“3=7,“9=19,

S”為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，則巧出的最小值是

〃〃十1

詳細(xì)分析：因?yàn)椤?=7,的=19,

—

小、工?9?319—7

所以公差”=/不=丁=2

所以“”=43+(〃—3)"=7+2(〃-3)=2〃+1,

n(3+2?+1)

所以S”=5=〃(〃+2),

S“+10〃(〃+2)+109

因此=；［(〃+1)+

%+12/1+2〃+1

2yJ（"+D,備=3.

9

當(dāng)且僅當(dāng)〃+l=—cv即?=2時(shí)取等號(hào).

〃十I

故器的最小值為&

答案：3

三、解答題

12.（2017?天津卷）電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)

劇時(shí)，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播

放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示:

連續(xù)劇播放廣告播放時(shí)收視人

連續(xù)劇

時(shí)長(zhǎng)（分鐘）長(zhǎng)（分鐘）次（萬(wàn)）

甲70560

乙60525

已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600

分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不

多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計(jì)劃播出的甲、

乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).

(1)用->列出滿(mǎn)足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面

區(qū)域；

(2)問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收

視人次最多？

解：(1)由已知，x,y滿(mǎn)足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為

,70*+6QyW600,"7x+6y<60,

5x+5y230,*+盧6,

5x^2y,即vx—2y<0,

x20,xGN,x20,xGN,

U20,MN,yCN,

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分中

的整數(shù)點(diǎn).

(2)設(shè)總收視人次為z萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y.

考慮z=60x+25y,將它變形為尸一與十噌,這是斜率為一告

隨Z變化的一族平行直線，費(fèi)為直線在y軸上的截距，當(dāng)真取得最大

值時(shí)，N的值最大.

又因?yàn)閤,y滿(mǎn)足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z=60x+

25.經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距段最大，即z最大.

7x+6v=60,

解方程組1、c得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3).

[x—2y=0,

所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)，才能使

總收視人次最多.

專(zhuān)題強(qiáng)化練四

一、選擇題

1.曲線y=e'+2x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為()

A.y=x+lB.y=x—1

C.y=3x+lD.j=—x+1

詳細(xì)分析：求導(dǎo)函數(shù)得了=/+2,當(dāng)*=0時(shí)，yf=e°+2=3,

所以曲線^=爐'+2》在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=3x+l.

答案：C

2.(一題多解)(2018?全國(guó)卷川涵數(shù)＞=一/+/+2的圖象大致

為()

詳細(xì)分析：法一易知函數(shù)y=—d+x2+2為偶函數(shù),

所以只需研究尸=一/+/+2在時(shí)的圖象與性質(zhì).

又V=-4Y+2X(X>0),

令V>o,得ovx<￥；令yvo,得x>申

所以>=—/+/+2在jo,￥]上遞增，在(￥，+s]上遞減.

因此選項(xiàng)D滿(mǎn)足.

法二令M=0,則尸2,排除A,B;令x=；,則尸一++：+

3

2=正+2>2,排除C.

答案：D

3.(2018?安徽江淮十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)外)=；/-9加x在區(qū)間

[a—1,上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,2]B.[4,+8)

C.(一8,2|D.(0,3]

詳細(xì)分析：易知外)的定義域?yàn)?0,+°°),

9

JL/(x)=x--.

9

由/(x)=x-^VO,解得0VxV3.

因?yàn)殪?=%?—91nx在[a—1,a+1]上單調(diào)遞減,

a—1>0,

所以，解得1V“<2.

?+1^3,

答案：A

4.(2018?安徽安慶二模)已知函數(shù)/(x)=2)?lnx-*(e是自然

對(duì)數(shù)的底數(shù))，則外)的極大值為()

A.2e-lB.--

e

C.1D.21n2

詳細(xì)分析：由題意知/(x)=2y］婕)一：,

所以-f(e)=-,

21

所以r(x)=,_=令/(x)=0,得x=2e,

當(dāng)x￡(0,2e)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)x￡(2e,+s)時(shí)，f(x)<0,

所以｛x)在(0,2e)上單調(diào)遞增，在(2e,+8)上單調(diào)遞減，

所以大幻的極大值為/(2e)=21n(2e)-2=

答案：D

5.(2018?鄭州質(zhì)檢)若函數(shù)y=/(x)存在〃一1(〃￡N*)個(gè)極值點(diǎn)，

則稱(chēng)>=/(*)為〃折函數(shù)，例如加:)=/為2折函數(shù).已知函數(shù)/(*)=

(x+l)ev-x(x+2)2,則於)為()

A.2折函數(shù)B.3折函數(shù)

C.4折函數(shù)D.5折函數(shù)

詳細(xì)分析：fix)=(x+2)eA—(x+2)(3x+2)=(x+2)(ev—3x—2).

令/(x)=0,得x=-2或eA=3x+2.

易知x=-2是/(x)的一個(gè)極值點(diǎn).

又e'=3x+2,結(jié)合函數(shù)圖象，y=e"與y=3x+2有兩個(gè)交點(diǎn)，

又e-2#：3(-2)+2=-4.

所以函數(shù)y=/(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，則於)為4折函數(shù).

答案：C

二、填空題

6.(2018?天津卷)已知函數(shù)Hx)=e'lnx,/(x)為於)的導(dǎo)函數(shù)，

則，(1)的值為.

詳細(xì)分析：因?yàn)?(x)=ex?3+/Inx=e6+Inx).

所以/(l)=e(l+lnl)=e.

答案：e

7.(2018?全國(guó)卷II)曲線y=2In(x+l)在點(diǎn)0(0,0)處的切線方程

為.

22

詳細(xì)分析：由于■=*+],所以A=y'lx=o=0+[=2,

所以切線方程為y=2x.

答案：y=2x

8.(2017?山東卷改編)若函數(shù)e%)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的

底數(shù))在外)的定義域上單調(diào)遞增，則稱(chēng)函數(shù)八*)具有〃性質(zhì)，下列

函數(shù)中具有M性質(zhì)的是(填序號(hào)).

①/(x)=2F頷*)=/；

③/(x)=3*④/㈤=cosx.

詳細(xì)分析：若火幻具有性質(zhì)M,則愴次叫，=/[/仇)+/'(*)]>0

在外)的定義域上恒成立，即/(xj+ra)>。在於)的定義域上恒成立.

對(duì)于①式,作)+八%)=2一"一2-，12=2-x(l-ln2)>0,符合題意.

經(jīng)驗(yàn)證，②③④均不符合題意；只有①/)=2一*具有〃性質(zhì).

答案：①

三、解答題

9.已知函數(shù)=X.

(1)求曲線y=/U)在點(diǎn)(0,人0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)於)在區(qū)間0,；上的最大值和最小值.

解：(1)因?yàn)?(x)=e*?cosx—x,所以/(0)=1,

f(x)=eA(cosx-sinx)—1,所以/(0)=0,

所以)=府)在(0,火0))處的切線方程為^-l=0(x-0),即y=

1.

(2)f(x)=ev(cosx-sinx)—1,令g(x)=f(x),

則g'(*)=—2sinx,ev^0在0,年上恒成立，且僅在x=0處等

號(hào)成立，

所以g(x)在0,g?上單調(diào)遞減，

所以g(x)〈g(0)=0,所以/(x)W0且在x=0處等號(hào)成立，

所以/(X)在0,上單調(diào)遞減，

..(n)IT

所以/(X)max=A0)=l,/(X)lnin=7|j-J=-y.

10.已知/(x)=lnx+：.

(1)求於)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若對(duì)任意x>0,均有x(21n?—Inx)W”恒成立，求正數(shù)a的

取值范圍.

解：(l)f(x)=(一%xG(0,4-oo).

①當(dāng)時(shí)，f(x)>0,於)在(0,+8)為增函數(shù)，無(wú)極值.

②當(dāng)”>0時(shí)，xe(0,〃)時(shí)，f(x)<0,左)在(0,〃)為減函數(shù);

XG(?,+8)時(shí)，f(X)>0,於)在(%+8)為增函數(shù)，

府)在(0,+8)有極小值，無(wú)極大值，

/(x)的極小值/(a)=In〃+l.

(2)若對(duì)任意x>0,均有x(2hia—Inx)Wa恒成立，即對(duì)任意x

>0,均有21n“w'+lnx恒成立，

由(1)可知/(x)的最小值為Ina+1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為21n“Win〃+1,

即InqWl,故OVaWe,

故正數(shù)a的取值范圍是(0,e|.

H.(2018?廣州調(diào)研)已知函數(shù)4?=(*—1)，一火2,其中參數(shù)〃

4

(1)討論外)單調(diào)性；

(2)當(dāng)?=—1時(shí)，函數(shù)g(x)=/(x)—xe*+x的最大值為nt,求不

超過(guò)陽(yáng)的最大整數(shù).

解：(1^(x)=xex—2ar=x(e'—2?).

①當(dāng)a<0時(shí)，ex-2?>0,

所以當(dāng)x￡(-8,0)時(shí)，f(x)<0,./(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，/(x)>0,於)單調(diào)遞增.

②當(dāng)0V〃V；時(shí)，OV24VL

*￡(一8,11124)時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

xG(lnla,0)時(shí)，f(x)<0,於)單調(diào)遞減；

xE(0,+8)時(shí)，f(x)>0,心)單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí)，x￡(—8,+8)時(shí)，f(x)2o,於)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a=—1時(shí)，g(x)=—e'+V+x,

g'(x)=—e'+2x+l,令g"(x)=—e*+2.

當(dāng)*￡(0,1112)時(shí)，gf,(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增；

xe(ln2,+8)時(shí),g〃(x)VO,/(x)單調(diào)遞減;

3

gf(0)=0,gf(l)=3-e>0,gf^=4-e2=V16-^<0,

所以存在唯一的xo￡(l,,使g，(x())=0,即exo=2xo+l.

所以當(dāng)x￡(0,X。)時(shí)，gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(xo,+8)時(shí)，g7(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

所以=g(xo)=-ex0+x；+x()=-(2x0+

1)4-xS+x0=xj—X0—1=|Xo-2J二

又Xo￡(l,1L所以/w]—1,—I

所以不超過(guò)陽(yáng)的最大整數(shù)為一1.

專(zhuān)題強(qiáng)化練五

一、選擇題

1.設(shè)作）是定義在R上的奇函數(shù)，且｛2）=0,當(dāng)x>0時(shí)，有

對(duì)V0恒成立,則不等式x%）>0的解集是（）

A.(-2,0)U(2,+8)B.(-2,0)U(0,2)

C.(一8,-2)U(2,+8)D.(一8,-2)U(0,2)

'.￥-4mZV+e1,1/J)]/XfI*)—f3

詳細(xì)分析：當(dāng)x>0時(shí)，J:-'=-------廿-----<0,

?A-

f(x)

所以0(x)=，X在(0,+8)上為減函數(shù)，又0(2)=0,

所以當(dāng)且僅當(dāng)0VxV2時(shí)，0(x)>O,此時(shí)x)(x)>0.

又於)為奇函數(shù)，所以〃(%)=*%)也為奇函數(shù).

故x%)>0的解集為(一8,-2)U(0,2).

答案：D

2.(2018?貴陽(yáng)聯(lián)考)已知函數(shù)於)的定義域?yàn)閨一1,41,部分對(duì)應(yīng)

值如下表：

X—10234

fix)12020

府)的導(dǎo)函數(shù)y=r(x)的圖象如圖所示.當(dāng)1V“V2時(shí)，函數(shù)>=

fix)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

詳細(xì)分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)y=

/(x)的大致圖象如圖所示.

由于八0)=/(3)=2,1<?<2,所以，=/(x)—”的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.

答案：D

3.(2018?廣東二模)已知函數(shù)於)=e、-lnx,則下面對(duì)函數(shù)於)

的描述正確的是()

A.Vxe(o,+oo),y(x)W2

B.VxG(0,+8),J(x)>2

C.3xoe(o,+8),y(xo)=O

D./(x)mi?e(o,1)

詳細(xì)分析：因?yàn)殪?=/—Inx的定義域?yàn)?0,+°°),

?*1xex—1

且/(x)=e

令g(*)=xeX—1,x>0,

則g'(x)=(x+l)eX>0在(0,+8)上恒成立，

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(0)g(l)=—(e-l)VO,

所以mxo￡(O,1),使g(x0)=0,則於)在(0,X。)上單調(diào)遞減，在

(Xo,+8)上單調(diào)遞增，

則H*)min=/兇))=ex0—lnx0,

又xo=f跖所以於)m『5+xo>2.

答案：B

4,若函數(shù)於)在區(qū)上可導(dǎo)，且滿(mǎn)足於)一"(*)>0,貝！J()

A.加1)<{3)B.切1)>人3)

C.VU)=/(3)D.h1)寸3)

'j八"1--relf/(x)1.xf(X)-f(X)

詳細(xì)分析：由于人工)>"仁)，則'^一--=P

f(x)

V0恒成立，因此y=J^一在R上是單調(diào)減函數(shù)，

麗J(3)/⑴加

所以F—一,即切⑴>人3).

答案：B

Inx,x>l,

5.(2018?佛山市質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)="j_1若相V〃，

’X十1,

且/>)=/(〃)，則〃一"2的最小值是()

A.3-21n2

C.2D.e+1

詳細(xì)分析：作出函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示.

若/MV〃，且八〃。=/5),

則當(dāng)lnx=l時(shí)，得*=6,

因此lV〃We,—IV/wWl.

又In〃=；/?+],即/w=21n〃-1.

所以?—/?=?—21n〃+1,

2

設(shè)〃(〃)=〃-21n〃+l(lV〃<e),則hr(n)=l—~.

當(dāng)配(〃)>0,得2V〃We;當(dāng)"(〃)V0,得1V〃V2.

故當(dāng)n=2時(shí)，函數(shù)〃⑺取得最小值A(chǔ)(2)=3-2hi2.

答案：A

二、填空題

6.做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27ndm3,且用

料最省，則圓柱的底面半徑為dm.

詳細(xì)分析：設(shè)圓柱的底面半徑為Kdm,母線長(zhǎng)為/dm,則P=

27

n/?2/=27n,所以/=不，要使用料最省，只需使圓柱形水桶的表面

積最小.

S22

*=n/?+2n/?/=nJ?+2nK

所以S'表=2nK一下

令S陵=0,得A=3,則當(dāng)A=3時(shí)，S表最小.

答案：3

7.對(duì)于函數(shù)y=fix),若其定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)xi，x2,

使得/?勺)=l(i=l,2)成立，則稱(chēng)函數(shù)作)具有性質(zhì)P.若函數(shù)加)=

既具有性質(zhì)P,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

詳細(xì)分析：依題意，的)=1,即工=1在R上有兩個(gè)不相等實(shí)

所以”=xe*在R上有兩個(gè)不同的實(shí)根，令0(x)=xe',

則(pr(x)=ev(x+l),

當(dāng)x<—1時(shí)，(pf(x)<0,o(x)在(一8,—1)上是減函數(shù)；

當(dāng)x>一1時(shí)，(pr(x)>0,e(x)在(-1,+8)上是增函數(shù).

因此0(x)極小值為。(-1)=一；.

在同一坐標(biāo)系中作y=°(x)與y=a的圖象，又當(dāng)xVO時(shí)，<p(x)

=xe'VO.

-10

由圖象知，當(dāng)一：VaV0時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故實(shí)數(shù)〃的取

值范圍為［一:

,0.

答案：(-；

8.（2018?江蘇卷改編）若函數(shù)NQnZJ—oxZ+igER）在（0,+

8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則火X)在［0,1］上的最大值是.

詳細(xì)分析：f(x)=6x2—2ax=2x(3x—a)(a^R),

①當(dāng)時(shí)，，(x)>0在(0,+8)上恒成立，則於)在(0,+

8)上單調(diào)遞增.又所以此時(shí)/(*)在(0,+8)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不

滿(mǎn)足題意，因此4>0.

②當(dāng)?>o時(shí)，令/(x)=o得%=彳.

當(dāng)OVxV4時(shí)，，(x)VO,7(x)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,

JJ

/(x)為增函數(shù)，所以x>0時(shí)，作)有極小值，為/，=一靠+1.

因?yàn)槿藊)在(0,+8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

夠)=0,所以“=3.

所以

所以/(X)=2X3-3X2+1,則/(x)=6x(x-1).

當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，，(x)<0,故作)在x￡［0,1］上是減函數(shù),

所以火X)max=A0)=L

答案：1

三、解答題

x-1

已知函數(shù)

9./(x)=?A-y—Inx.

⑴求小)的單調(diào)區(qū)間；

,、、-e2,x+1

(2)求證：In

(