初二數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)《正方形的性質(zhì)》經(jīng)典150例題及解析

初二數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)《正方形的性質(zhì)》經(jīng)典150例題及解

析

副標(biāo)題

題號一二三總分

得分

一、選擇題（本大題共52小題，共156.0分）

1.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖

所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正

方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為。，較短直角邊長為6,若（。+匕）2=21,大正

方形的面積為13,則小正方形的面積為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】【分析】

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用有關(guān)知識，觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形

的面積-4個直角三角形的面積，利用已知（"+b）2=21,大正方形的面積為13,可以得

出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案.

【解答】

(a+b)2=21,

.'.cr+2ab+tT=21,

???大正方形的面積為13,

.'.cT+b2=\3,

.,.2^=21-13=8,

???小正方形的面積為13-8=5.

故選C.

2.如圖，正方形ABC。中，"為BC上一點(diǎn)，ME1AM,

A/E交AO的延長線于點(diǎn)E.若AB=12,BM=5,則。E

的長為（）

A.18B.gC.|

【答案】B

【解析】解：?.?四邊形ABC。是正方形，AB=\2,BM=5,

??.MC=12-5=7.

vMEliAM,

.-.zS4ME=90°,

AZAMB+ZCMG=90°.

???4AM8+48AM=90。,

：.z.BAM=Z.CMG,zB=zC=90°,

??.△ABM?ZiMCG,

嚼制,艮唱周,解得CG=|,

—般.

vAE||BC,

:/E=ACMG,乙EDG=KC,

:AMCGSXEDG,

故選：B.

先根據(jù)題意得出AABWsaMCG,故可得出CG的長，再求出0G的長，根據(jù)

△MCGsxEDG即可得出結(jié)論.

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的

關(guān)鍵.

3.如圖，點(diǎn)E、F、G、”分別是四邊形ABC。邊A3、

BC、CD、D4的中點(diǎn).則下列說法：

①若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形；

②若4clBD,則四邊形EFGH為菱形；

③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相

平分；

④若四邊形EFGH是正方形,則AC與BD互相垂直

且相等.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】解：因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，

當(dāng)對角線8O=AC時，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對角線時，中點(diǎn)四邊形是矩形，

當(dāng)對角線4c=8。，且AC1BO時，中點(diǎn)四邊形是正方形，

故④選項(xiàng)正確，

故選：A.

因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對角線BD=AC時，中點(diǎn)四邊形是菱形,

當(dāng)對角線4cl8。時，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對角線AC=B。，且AC18D時，中點(diǎn)四邊

形是正方形，

本題考查中點(diǎn)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是記住一般

四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對角線BO=AC時，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對角

第2頁，共123頁

線ACJ_BD時，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對角線4c=80,且AC1B3時，中點(diǎn)四邊形是正

方形.

4.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角

坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABC。的邊48在彳軸

上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。，固定點(diǎn)A,B,把正方

形沿箭頭方向推，使點(diǎn)。落在y軸正半軸上點(diǎn)處,

則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（）

A.（國，1）B.（2,1）C.（1,0）D.（2,國）

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確地識別圖形是解題的關(guān)

鍵.由已知條件得到AD=AD=2,A0^B=\,根據(jù)勾股定理得到石車國,

于是得到結(jié)論.

【解答】

解：-:AD'^AD=2,A0=|AB=1,

???。。=|胸2—講國

■.■CD'=2,C'D'WAB,

.■■C（2,國），

故選

5.如圖，以直角三角形。、仄c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和

正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S|+S2=S3圖形個數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】解：⑴S］搦2,S2搟2,53=肥

,.Y/24-/72=C2,

步伸臥

.,.S|+52=53.

2S「2

Bh生

2=S3

rr

222

^-^

l-

l

：$+S2=S3.

2

⑶S曲2,$2#2，S3=1c,

,.7Z2+/?2=C2,

..唧2糊卷，

??.S]+S2=S3.

22

(4)S]=〃2,S2=b,S3=cf

222

va+b=cf

???S1+S2=S3.

綜上可得，面積關(guān)系滿足$+&=S3圖形有4個.

故選

根據(jù)直角三角形〃、8、C為邊，應(yīng)用勾股定理，可得a2+%2=c2.

(1)第一個圖形中，首先根據(jù)等邊三角形的面積的求法，表示出3個三角形的面積；

然后根據(jù)a2+b2=c2,可得S|+S2=S3.

(2)第二個圖形中，首先根據(jù)圓的面積的求法，表示出3個半圓的面積；然后根據(jù)

a2+b2=c2,可得Si+52=$3.

(3)第三個圖形中，首先根據(jù)等腰直角三角形的面積的求法，表示出3個等腰直角三

角形的面積；然后根據(jù)。2+匕2=,2,可得S+S2=S3.

(4)第四個圖形中，首先根據(jù)正方形的面積的求法，表示出3個正方形的面積；然后

根據(jù)/+代02,可得SI+S2=S3.

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在任何一個

直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.此題還考查了等腰直

角三角形、等邊三角形、圓以及正方形的面積的求法，要熟練掌握

6.如圖，正方形4BCO的對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AB=3眼，E為0C上一點(diǎn)，

0E=\,連接BE,過點(diǎn)A作AF1BE于點(diǎn)F,與80交于點(diǎn)G,則BF的長是()

A.gB.國c.gD.§

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，

掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定

定理證明AGAO三AEB。，得至|JOG=OE=1,證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

計算即可.

第4頁，共123頁

【解答】

解：???四邊形ABCO是正方形，AB=3同,

."08=90°,AO=BO^CO=3,

MF1BE,

???乙EBO=^GAO,

在ZiGA。和△E80中，

tZ-GAO=Z.EB0

A0=B0

[Z.A0G=/_B0Ef

??.△GAO三△E3O,

???OG=OE=1,

：.BG=2,

在mZkBOE中，BE4OB2+0引畫

,:乙BFG=^BOE=900,乙GBF=^EBO,

:.ABFGS^BOE,

???噩,即噩,

解得，BF餐.

故選A.

7.如圖所示，在正方形4BCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長交BC邊的延長

線于E點(diǎn)，對角線8。交AG于尸點(diǎn).已知FG=2,則線段AE的長度為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的中位線，利用相似三

角形的性質(zhì)求出AF的長度是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出A8IIC。，進(jìn)而可得出△ABFs/^G。巴根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

可得出圖=圖=2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度，由CG||AB、A8=2CG可得出CG

為AE4B的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度，此題得解.

【解答】

解：???四邊形ABCZ）為正方形，

：.AB=CD,ABWCD,

：dBF"GDF,(BAF=(DGF,

??△ABFFGDF，魯圖=2,

???A尸=2GF=4,??.AG=6.

???CGIIAB,AB=2CGf

.?.CG為AEAB的中位線,

■■■AE=2AG=\2.

故選D.

8.如圖，四邊形ABC。是邊長為6的正方形，點(diǎn)E在邊AB上,

BE=4,過點(diǎn)E作EFII8C,分別叫BRCZT于G,F兩點(diǎn)。若

MN分別是OG,CE的中點(diǎn)，則MN的長為（）

A.3

B.國

D.4

【答案】C

【解析】【分析】

解法一：作輔助線，構(gòu)建矩形和直角三角形NM”，利用平行線分線段成比例定

理或中位線定理得：MK=FK=1,NP=3,PF=2,利用勾股定理可得MN的長；

解法二：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明AEMF三ACM。，則EM=CM,利用勾股定

理得：財政+6+漉,心舊+6+2國,可得AEBG是等腰直角三角形，分別

求EM=CM的長，利用勾股定理的逆定理可得AEMC是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角

形斜邊中線的性質(zhì)得MN的長.

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)題，本題的關(guān)鍵是證明

是直角三角形.

【解答】

解：解法一：如圖1,過M作MK1CD于K,過N作NP1C。于P,過M作MH1PN于

H,

則MK\\EF\\NP,

?；LMKP=4MHP=XHPK=90°,

二四邊形是矩形，

:.MK=PH,MH=KP,

"NPWEF,N是EC的中點(diǎn)，

CPCN|NPCNi

,*PF-EN-jEF-EC-2'

圖1

第6頁，共123頁

.-.PF=|FC=|8￡=2,NP用EF=3,

同理得：FK=DK=l,

???四邊形ABC。為正方形，

:2BDC=45°,

是等腰直角三角形，

:.MK=DK=1,NH=NP-HP=3-\=2,

■■.MH=2+1=3,

在RtAMNH中,由勾股定理得：MN^JNH?+而卻22+3$［國;

解法二：如圖2,連接kM、EM、CM,

?.?四邊形ABC。為正方形，

.?.44BC=/BCZ>"￡)C=90°,BC=CD,

.-EFWBC,

.-./.GFD=^BCD=90°,EF=BC,

..EF=BC=DC,

"00=恨4℃=45。，

是等腰直角三角形，

???M是。G的中點(diǎn)，

:.FM=DM=MG,FM1DG,

.-.AGFM=ACDM=45°,

??△EMFWACMD,

：.EM=CM,

過M作MHLCD于H,

由勾股定理得：8。底+6?卜漉,

比m+6車2麗

???z￡BG=45°,

???△EBG是等腰直角三角形,

:.EG=BE=4,

.?.8G=4眼，

.?.DM速

:.MH=DH=1,

.?.C//=6-l=5,

.?皿=芯叫匠7?|=兩

?：C^EM2+CM2,

.?.NEMC=90。，

?.W是EC的中點(diǎn)，

故選C.

9.如圖，在正方形ABCQ中，AC為對角線，E為AB上一點(diǎn),

過點(diǎn)E作與4C、DC分別交于點(diǎn)G,F,H為

CG的中點(diǎn)，連接OE,EH,DH,FH.下列結(jié)論：

?EG=DFi②ZAEH+ZAZW=18O°；③AEH尸三△DHC；④若圖=|，則3sA麗13SA/WC，

其中結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】。

【解析】解：①???四邊形A8CD為正方形，EF\\AD,

:.EF=AD=CD,"CO=45°,zGFC=90°,

.?.△CFG為等腰直角三角形，

:.GF=FC,

：EG=EF-GF,DF=CD-FC,

:?EG=DF,故①正確；

②???△C/G為等腰直角三角形，”為CG的中點(diǎn)，

:?FH=CH,乙GFH二乙GFC=450=乙HCD,

,EF=CD

在和"HC中,H器；第C"

:AEHFaDHC(SAS),

；.LHEF=CHDC,

???AAEH+/LADH=MEF+LHEF+/LADF-^HDC=2LAEF+〃DF=180°,故②正確;

③???△C~G為等腰直角三角形，〃為CG的中點(diǎn)，

???FH=CH,zGFH=0zGFC=45°=zHCD,

zEF=CD

在和△O〃C中，\/-EFH=/.DCH

FH=CH

:.△EHFmADHC(SAS),故③正確；

④制用

??.AE=2BE,

?.?△CbG為等腰直角三角形，〃為CG的中點(diǎn),

：,FH=GH,zFHG=90°,

,:乙EGH=^FHG+乙HFG=900+乙HFG=cHFD,

~EG=DF-

在和△。尸”中，UEGH=Z.HFDf

??△EGH/DFH(SAS),

???LEHG=(DHF,EH=DH,乙DHE=乙EHG+乙DHG=乙DHF+乙DHG=乙FHG=90°,

??.△EHD為等腰直角三角形,

過“點(diǎn)作垂直于CD于M點(diǎn)，如圖所示：

設(shè)HM=x,則DM=5x,CD=6X,

22

貝(JSM用X〃MXCD=3X2,5A￡D//=|XD/7=13X,

：3S>EDH=\3S>DHC，故④正確；

故選：D.

①根據(jù)題意可知乙4CQ=45。，則GF二FC,則EG=EF-GF=CD-FC=DF；

第8頁，共123頁

②由SAS證明尸三△力，C,得到從而

Z-AEH+/ADH=Z-AEF+/.HEF+Z-ADF-/-HDC=180°；

③同②證明即可：

-

2

④若:3一,則AE=2BE,可以證明AEG“三△。尸”，則4EHG=N￡?HF且E4=?！?，則

一

NCHE=90。，△￡/〃）為等腰直角三角形，過H點(diǎn)作HM垂直于8于M點(diǎn)，設(shè)HM=x,

22

貝?。軩M=5x,力“=虛擊,CD=6x,貝I」SAO〃H|xHMxC￡）=3f,5A￡OW=|XD//=13X.

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、

勾股定理、三角形面積的計算等知識：熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決

問題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知正方形ABC。，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，DE與4c

相交于點(diǎn)F,連接8F,下列結(jié)論：①義"產(chǎn)S“DF;

②SACO/U^SACEF;③SAAD產(chǎn)2sAeEF;④SAAD產(chǎn)2SACDF，其中正

確的是（）

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

【答案】c

【解析】解：?.?四邊形A8C。是正方形,

.-.ADWCB,AD=BC=AB,￡.FAD=/.FAB,

在和AAPB中，

AF=AF

/.FAD=/.FAB

AD=AB

B

.,.△AF￡)=AAFB,

???SAAB產(chǎn)S"DF，故①正確，

|4D,AD\\EC,

；BE=EC=

-S?4

???S^CQ尸2sKE尸，S〉A(chǔ)D產(chǎn)4sACEF，S?AD產(chǎn)2sxeDF，

故②③錯誤④正確，

故選：C.

由△"￡＞三"FB,即可推出SA?=5"DF，故①正確，E&BE=￡C=^C=|AD,AD\\EC,

推出尋用,可得SACO產(chǎn)2SACEF，S&AD產(chǎn)4sAeEF，s4AD尸25ACDF，故②③錯誤④正

確，由此即可判斷.

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識,

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

11.如圖1,分別沿長方形紙片A8CC和正方形紙片EFGH的對角線AC,EG剪開，拼

成如圖2所示的口KLMN,若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形，且。KZJWN

的面積為50,則正方形EFG”的面積為（）

A.24B.25C.26D.27

【答案】B

【解析】解：如圖，設(shè)PM=PL=NR=KR=a,正方形OR。尸的邊長為4

.?.a2=25,

二正方形EFGH的面積=J=25,

故選：B.

如圖，設(shè)PM=PL=NR=KR=a,正方形ORQP的邊長為從構(gòu)建方程即可解決問題；

本題考查圖形的拼剪，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)

構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

12.如圖，正方形A8C。的對角線上一動點(diǎn)P,作于點(diǎn)

M,PNLCD于點(diǎn)N,連接BP,BN,若AB=3,BP避，則

BN的長為（）

A.國

B.國或畫

C.4

D.5

【答案】B

【解析】解：延長NP交AB于從

,?,四邊形ABCD是正方形,

/.zBAC=90°,ABWCD,

第10頁，共123頁

??PNLCD,

..PN1AB,

工乙HAP=^HPA=45。,

：?AH=PH,-&AH=PH=X9則B”=3小

在RMBH中,VPB2=PH2+B/72,

AX2+(3-X)2=(胭)2,

AX=1或2,

當(dāng)E時，BH=CN=2,在R/"CN中，鳥聞步+前鹿+22|=|羽,

當(dāng)x=2時，BH=CN=1,在RsBCN中,BN=\JBC2+CN^=，匠+1苒畫.

綜上所述，8N的長為晅或畫.

故選B.

延長NP交AB于H.易知AH=PH,設(shè)AH=PH=x,則BH=3-x,在RAPBH中，根據(jù)

PB2=PH2+BH2,可得f+（3-x）2=（囤）2,推出E或2,接下來分兩種情形分別求出

BN即可.

本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

13.如圖，正方形ABC。的邊長為1,點(diǎn)E,F分別是對角線AC

上的兩點(diǎn)，EGLAB.EI1.AD,FH1AB,FJ1.AD,垂足分別

為G,/,H,J.則圖中陰影部分的面積等于（）

A.1

B.|

DJ

【答案】B

【解析】解：?.?四邊形488是正方形，

二直線AC是正方形ABCD的對稱軸，

■■■EGLAB.EI1AD,FHLAB,FJLAD,垂足分別為G,I,H,J.

根據(jù)對稱性可知：四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等,

浦S#方彩48。。=目，

故選：B.

根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，解決問題即可；

本題考查正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型.

【答案】A

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，將正方形4BCO中的陰影三角形繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90。

后，得到的圖形為A,

故選：A.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，正方形OABC繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到正方

形ODEF,連接AF,則"FA的度數(shù)是()

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

【答案】C

【解析】解：???正方形048c繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到正方形OOER

.”。尸=90°+40°=130°,OA=OF,

..Z.OFA=(180°-130°)+2=25°.

故選：C.

先根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到〃。下的度數(shù)，OA=OF,再根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)即可求得NOE4的度數(shù).

考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的

夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.同時考查了正方形的性質(zhì)和等腰三角形的

性質(zhì).

16.如圖，將邊長為畫的正方形繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)30。，那么圖中陰影部分的面積為

()

A.3B.國C.3星D.3制

【答案】C

【解析】解：連接

在aABM和AC，中，

第12頁，共123頁

BM=BM

AB=CB

乙BAM=乙BC'M

??.△ABMwZkC'BM,

90°-z4

z2=z3=^—=30°,

在A48M中，

AA/=|^xtan30o=1,

S〉A(chǔ)BM=gxAMx曷g,

正方形的面積為：畫］=3,

陰影部分的面積為：3-2x腎=3國，

故選：C.

連接8M,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和四邊形的性質(zhì)，證明AABM三AC'BM,得到42=43=30。，

利用三角函數(shù)和三角形面積公式求出AABM的面積，再利用陰影部分面積=正方形面積

2&ABM的面積即可得到答案.

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明兩三角形全

等是解決本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在正方形A8CD中，A8=3,點(diǎn)M在CQ的邊上,

且DW=1,與AAOM關(guān)于AM所在的直線對稱，

將AADM按順時針方向繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。得到AABF,連

接EF,則線段E尸的長為（）

A.3

B.國

C.施

D.國

【答案】C

【解析】解：如圖，連接BM.

???△AEM與AA。例關(guān)于AM所在的直線對稱，

.-.AE=AD,^MAD=^MAE.

???△AOM按照順時針方向繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。得到

.t.AF=AM,乙FAB=zJWAD.

:.乙FAB=cMAE

：,Z.FAB+z.BAE=z.BAE+z.MAE.

???NE4E二4MAB.

.?.△FAE三△M45(SAS).

：.EF=BM.

???四邊形ABC。是正方形，

：.BC=CD=AB=3.

???DM=1,

：.CM=2.

.?.在RtABCM中,8歷=|匠+3彳=國,

.-.EF^T^,

故選：c.

解法二：如圖，過E作"G||A。，交48于從交CD于G,作ENLBC于N,則

zAHG=^MGE=90°f

由折疊可得，zAEM=zD=90°,AE=AD=3fDM=EM=\,

???AAEH+乙MEG=乙EMG+乙MEG=90。,

???/AEHNEMG,

:?bAEHs〉EMG,

??敏

設(shè)何G=x,貝ljE”=3x,DG^\+x^AH,

:.RtAAEH中,(1+x)2+(3x)2=32,

解得X|=1,X2=-l(舍去)，

用=8N,CG=CM-MG=|=EN,

又vBF=DM=T,

./用

.,&MEN中，EF\IEN2+萬麗=|羽,

故選：C.

解法一：連接BM.先判定△F4E三△MAB(SAS),即可得至ljEF=BM.再根據(jù)BC=CD=AB=3,

CM=2,利用勾股定理即可得到，RaBCM中,二曲,進(jìn)而得出E尸的長；

解法二：過￡作HGWAD,交AB于，，交CO于G,作EAUBC于N,判定△AEHS^EMG,

即可得到屏圖=|，設(shè)MG=x,則加3x,DG=]+x^AH,利用勾股定理可得，RfAAEH

中，(1+x)2+(3x)2=32,進(jìn)而得出后”=等8兇CG=CM-MG=|=EN,FN用，再根據(jù)

勾股定理可得，RfAAEN中,EF=^EN2+F還啊.

本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)

點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后

的圖形全等.

18.如圖，正方形A8CD中，E為AB中點(diǎn),FE1AB,AF=2AE,FC交BD于0,則4OOC

的度數(shù)為()

A.60°B,67.5°C.75°D.54°

【答案】A

第14頁，共123頁

【解析】解：如圖，連接OF、BF.

?：FE工AB,AE=EB,

：.FA=FB,

-AF=2AEf

：.AF=AB=FB,

??.△AFB是等邊三角形，

\'AF=AD=AB,

???點(diǎn)4是△。呂尸的外接圓的圓心，

^FDB=^.FAB=30°,

???四邊形A8CO是正方形，

ADAB=AABC=9009ZADB=ZDBC=45°,

:?乙FAD=cFBC,

.,.△E4D=AFBC,

"DF="CB=15。,

二.乙DOC=乙OBC+乙OCB=6U0.

故選A.

解法二：連接5足易知乙FCB=15。,￡.DOC=Z.OBC+^FCB=450+15°=60°

如圖，連接“、BF.如圖，連接。F、8尸.首先證明"如肺48=30。，再證明

△FADW&FBC,推出乙4。尸=/FCB=15。，由此即可解決問題.

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加輔助圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

19.正方形ABC。在直角坐標(biāo)系中的位置如下圖表示，將正

方形ABC。繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)180。后，C點(diǎn)的坐

標(biāo)是()

A.(2,0)

B.(3,0)

C.(2,-1)

D.(2,1)

【答案】B

【解析】解：AC=2,

則正方形ABCO繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)180。后C的對應(yīng)點(diǎn)設(shè)是C',貝IJAC'=AC=2,

則OC=3,

故C'的坐標(biāo)是(3,0).

故選:B.

正方形ABC。繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)180。后，C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)與C一定關(guān)于A對稱，A

是對稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)，據(jù)此即可求解.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)與C一定關(guān)于4對稱，A是對稱點(diǎn)連線的中

點(diǎn)是關(guān)鍵.

20.如圖，正方形ABC。的對角線AC與8D相交于點(diǎn)O,乙4c8

的角平分線分別交A8、BD于M、N兩點(diǎn).若AM=2,則線段

ON的長為（）

'I

C.1

D-i

【答案】c

【解析】解：作MHL4C于H,如圖，

???四邊形ABC。為正方形，

.?zMAH=45°,

.?.△AM”為等腰直角三角形，

???CM平分乙4CB,

.?.8M=M”=|目

；.AB=2+園

.?.AC=04B迪（2+圓=2舟2,

??.OC=14C=圓1,C”=AC-A”=2舟2^§=2逋,

■.■BD1.AC,

:ACONSACHM,

W即播,

：.ON=1.

故選：C.

作MHHC于H,如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得ZM4H=45。，則AAMH為等腰直角三角形,

所以4"=仞”=臥例遮，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得BA儀WH逋，則48=2調(diào)，于是利

用正方形的性質(zhì)得到4C=［字8=2例+2

OC=1AC迪+1,所以CH=AC-AH=2+的，然后證明△CON-AC”M,再利用相似比可計

算出ON的長.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已

有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.也考查了角平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì).

第16頁，共123頁

21.如圖，正方形ABC。的對角線8。長為2明，若直線/滿足:

①點(diǎn)。到直線/的距離為強(qiáng)；

②4、C兩點(diǎn)到直線/的距離相等.

則符合題意的直線/的條數(shù)為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B

【解析】解：如圖，連接AC與8。相交于0,

?.?正方形ABCD的對角線BD長為2居，

.?.oo=0

直線/||AC并且到D的距離為圍，

同理，在點(diǎn)。的另一側(cè)還有一條直線滿足條件，

故共有2條直線I.

故選：B.

連接AC與50相交于0,根據(jù)正方形的性質(zhì)求出。。逋,然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和

平行線間的距離相等解答.

本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對角線互相垂直平分，點(diǎn)。到。的距

離小于限是本題的關(guān)鍵.

22.如圖，點(diǎn)E是正方形力BCD的邊DC上一點(diǎn)，把AADE繞點(diǎn)

A順時針旋轉(zhuǎn)90。到△A8F的位置.若四邊形AECF的面積為

20,DE=2,則AE的長為（）

A.4B.犧C.6D.2內(nèi)

【答案】D

【解析】解：???”￡）￡繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。到"8F的位置.

二四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于20,

.?.AO=DC=2國

?；DE=2,

??.R/AAOE中，但加02+。酢2困

故選：D.

利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進(jìn)而可求出正方形

的邊長，再利用勾股定理得出答案.

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，正確利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是

解題關(guān)鍵.

23.如圖，正方形ABCD中，A8=6,點(diǎn)E在邊CD上，且

CD=3DE.將△ACE沿4E對折至AAFE,延長EF交邊BC

于點(diǎn)G,連接AG、CF.則下列結(jié)論：

①AABG三AAFG；②BG=CG；③AG||CF；④

（§）￡AGB+AAED=145°.

其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】解：①正確.

理由：

■■AB=AD=AF,AG=AG,Z.B=zAFG=90°,

:.RmABGmRmAFG(HL)；

②正確.

理由：

EF=DE=|cD=2,設(shè)BG=FG=x,則CG=6-x.

在直角AECG中，根據(jù)勾股定理,得(6-x)2+42=(x+2)2,

解得x=3.

.?.BG=3=6-3=CG；

③正確.

理由：

?:CG=BG,BG=GF,

：.CG=GF,

.??△FGC是等腰三角形，乙GFC〃GCF.

又?:RSABGNRSAFG；

??.Z_AGB="GF,幺GB+"GF=2〃GB=180°-乙FGC=^GFC+乙GCF=24GFC=2乙GCF,

：?￡AGB=zAGF=乙GFC二乙GCF,

???AG||CE

④正確.

理由：

??,SAGC￡=1GC?C￡=|X3X4=6,

雙"￡=縱尸止!x6x2=6,

?'?S^EGGS^AFE;

⑤錯誤.

,：z.BAG=Z.FAG,Z.DAE=Z.FAE,

又?2840=90°,

：.^GAE=45°,

."GB+"E￡)=180°-NGAE=135°.

故選：C.

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證用AABG三心AAPG；在直角AECG中，根據(jù)勾

股定理可證BG=GC；通過證明"GB=〃GP=NGFC=4GCF,由平行線的判定可得

AGHCF：分別求出SAEGC與S”FE的面積比較即可；求得NG4F=45。，

AAGB+￡AED=18O°-zGAF=135°.

本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平

行線的判定，三角形的面積計算等知識.此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注

意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

24.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載.

如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片

按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi).則圖中陰影部分的面積等于()

第18頁，共123頁

A.直角三角形的面積

B.最大正方形的面積

C.較小兩個正方形重疊部分的面積

D.最大正方形與直角三角形的面積和

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那

么a+tr^c2.

根據(jù)勾股定理得到c2=a2+^,根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積公式計算即可.

【解答】

解：設(shè)直角三角形的斜邊長為c,較長直角邊為乩較短直角邊為a,

由勾股定理得，CL'/,

陰影部分的面積(c-Z?)=a-ac+ab=a(a+b-c),

較小兩個正方形重疊部分的長=〃-(c-b),寬=a,

則較小兩個正方形重疊部分底面積=aCa+b-c),

???知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個正方形重疊部分的面積，

故選：C.

25.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD±,&AEF

是等邊三角形，連接AC交EF于G,下列結(jié)論：

①BE=DF,②ZLD4F=15°,③AC垂直平分EF,@BE+DF=EF,

⑤SACE產(chǎn)25AABE-

其中正確結(jié)論有()個.

A.4B.3C.2

【答案】A

【解析】解：???四邊形ABC。是正方形，

..AB=BC=CD=AD,4B=4BCD=4D=LBAD=90°.

???△AEF等邊三角形，

■.AE=EF=AF,z￡4F=60°.

.?zBAE+z_D4F=30°.

在放“8E和中，

(AE=AF

\AB=AD'

RmABEmRt^ADF(HL),

；.BE=DF(故①正確).

：.ADAF+^DAF=30°,

即ND4F=15。(故②正確)，

■,BC=CD,

.?.BC-BE=CD-DF,B|JCE=CF,

-AE=AF9

./C垂直平分Ef（故③正確）.

設(shè)由勾股定理，得

EF=國，CG=

2

AG=AEsin60o=EFsin60°=2xCGsin60°=

.AC-曬+通,

2

.?.BE+DF=［母-JG騎r，（故④錯誤），

,?SACE產(chǎn)目

0x-x0x+xr~2

G_--------_X

；.2SAAB￡用=SACEF，（故⑤正確）.

綜上所述，正確的有4個，

故選：A.

通過條件可以得出“8E三”。品從而得出NBAENOAF,BE=DF,由正方形的性質(zhì)就

可以得出EC=FC,就可以得出4c垂直平分EF,設(shè)EC=x,BE=y,由勾股定理就可以

得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF,利用三角形的面積公式分別表示出S.“,和2s”g

再通過比較大小就可以得出結(jié)論.

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性偵的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，

等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)

解題時關(guān)鍵.

26.如圖，在正方形A8C。中，連接BO,點(diǎn)O是2。的中點(diǎn)，若

M、N是邊AD上的兩點(diǎn)，連接M。、NO,并分別延長交邊

8c于兩點(diǎn)M'、N',則圖中的全等三角形共有（）

A.2對

B.3對

C.4對

D.5對

【答案】C

【解析】解：???四邊形A8C。是正方形，

.-.AB=CD=CB=AD,^A=^C=AABC=AADC=90°,AD\\BC,

在AAB。和ABCO中，

\,AB=BC\

Z.A=zq

=cd'

:.XABDm&BCD,

■■■AD//BC,

第20頁，共123頁

:/MDO=AM'BO,

在△MOZ)和△〃'。8中，

&MDO=4M'B0

[/.MOD=/.M'OB

IDM=BM''

:△MDOmxM、BO,同理可證ANOO三△"'OB,：.4M0N三4M'ON',

???全等三角形一共有4對.

故選C.

可以判斷AAB。三△BCO,△M。。三△〃'BO,2N0D七國N'OB,△MON三△〃'ON'.由

此即可得出答案.

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形

的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.

27.如圖，在正方形ABC。中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,2)、(-1,0)、(-3,

0),將正方形A8C。向右平移3個單位，則平移后點(diǎn)/)的坐標(biāo)是()

-3-2-1O

A.(-6,2)B.(0,2)C.(2,0)D.(2,2)

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化-平移，是基礎(chǔ)題，比較簡單.

首先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出。點(diǎn)坐標(biāo)，再將。點(diǎn)橫坐標(biāo)加上3,縱坐標(biāo)不變即可.

【解答】

解：???在正方形ABCZ)中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,2)、(-1,0)、(-3,0),

..D(-3,2),

???將正方形ABCO向右平移3個單位，則平移后點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,2),

故選8.

28.如圖，正方形ABC。的邊長為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)E處,

折痕為GH.若BE：EC=2：1,則線段CH的長是()

A.3

【答案】B

【解析】解：設(shè)C，=x,則力H=E，=9-x,

-BE：EC=2：1,BC=9,

:.CE=3BC=3,

.?.在Rti^ECH中，EH^EC^+CH2,

即(9-x)2=32+X2,

解得：尸4,

即CH=4.

故選：B.

根據(jù)折疊可得。H=E”，在直角ACEH中，設(shè)CH=x,則DH=EH=9-x,根據(jù)BE：EC=2：

1可得CE=3,可以根據(jù)勾股定理列出方程，從而解出CH的長.

本題主要考查正方形的性質(zhì)以及翻折變換，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對稱變換.在直角三角

形中，利用勾股定理列出方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

29.如圖，在邊長為12的正方形ABCD中，E是邊CO的中點(diǎn)，將沿ZiADE對折至A4FE,

延長EF交2c于點(diǎn)G,則BG的長為()

A.5

B.4

C.3

D.2

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，此

類題目，要注意翻折變換前后的對應(yīng)角和對應(yīng)邊分別相等，本題關(guān)鍵在于最后利用勾股

定理列出方程.利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系得出ZB="FG=9O。，利用HL定理

得出"8G三"FG即可；利用勾股定理得出GE^CGZ+CE2,進(jìn)而求出8G即可.

【解答】

解：在正方形ABCQ中，AD=AB=BC=CD,4D=4B=LBCD=90°,

???將AAOE沿AE對折至AAFE,

：.AD=AF,DE=EF,NO=〃FE=90。，

：.AB=AF,zB=zAFG=90°,

又“G二AG,

在RmABG和RdAFG中，

^AG=AG

\AB=AF'

???RsABGmR小AFG(HL),

：.BG=GF,

???E是邊CO的中點(diǎn)，

?.DE=CE=6,

-&BG=x,則CG=12xGE=X+69

VG￡2=CG2+CE2,

:.(x+6)2=(12-x)2+62,

解得x=4,

.-.BG=4.

第22頁，共123頁

故選B.

30.如圖，在正方形ABC。中，AB=4,P是線段AO上的動點(diǎn),

PEJ/C于點(diǎn)E,PFLBD于點(diǎn)F,則PE+PF的值為()

A.國

B.4

C.項(xiàng)

D.2

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各

性質(zhì)求出PE+PF=OA是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的對角線互相垂直可得OA1OD,對角

線平分一組對角可得NOA￡>=45。，然后求出四邊形OEP尸為矩形和AAPE是等腰直角三

角形，再根據(jù)矩形的對邊相等可得PF=OE并根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PE=AE,

從而得到PE+PF=OA,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)解答即可.

【解答】

解：在正方形4BCD中，OALOD,/.OAD=45°,

■：PELAC,PFLBD,

四邊形OEP尸為矩形，4APE是等腰直角三角形，

：.PF=OE,PE=AE,

PE+PF=AE+OE=OA,

■：AB=BC=4,

OA--jAC=2X4?-2M，

?■PE+PF=2^,

故選A.

31.四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABC。,過各較長直角邊的中點(diǎn)作垂

線，圍成面積為S的小正方形EFGH,已知AM為較長直角邊,人”=漉￡￡

則正方形ABCD的面積為()

A.125B.10SC.95D.85

【答案】C

【解析】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的定義等知識,

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.設(shè)

AM=2a.BM=b.則正方形A8C。的面積=442+6\由題意可知EF=(2a-/?)-2(a-b)

^2a-b-2a+2b=b,由此即可解決問題.

【解答】

解：如圖，由題意知四個白色的四邊形為全等的矩形,

即AK+KN=EF+FQ,KN=FQ,

所以，所以BM=EF,

因?yàn)锳M=?^EF\AB^BM^\AM].

所以踵宙，

所以|S正方形48cd=口曲9E”=9S.

32.如圖，在正方形ABC。中，AABE和AC。/為直角三角形,

Z^EB=ZCFD-9O°,4E=CF=5,BE=DF=12,則EF的一長是

()

A.7

B.8

C.7因

D.7居

【答案】C

【解析】解：如圖所示：

???四邊形ABCQ是正方形，

.■.Z.BAD=/ABC=/.BCD=zADC=90°,AB=BC=CD=AD,

.?ZBAE+Ntt4G=90°,

在AABE和△(?￡)尸中，

：.4ABEm4CDF(SS5),

.-.AABE=ACDF,

■.■ZAEB=Z.CFD=9O°,

.?."BE+NBAE=90°,

第24頁，共123頁

：.￡ABE=Z.DAG=/-CDF,

同理："BE=乙DAG=(CDF=乙BCH,

.-.ZDAG+ZL4DG=ZCDF+Z/4DG=90°,

BPzDGA=90°,

同理：zC//B=90°,

在ZkABE和A4OG中，

/4ABE=乙DAG

)Z.AEB=/.DGA=90°

[AB=DA'

.?.△ABE三ZkADG(A4S),

??AE=DG,BE=AG,

同理：AE=DG=CF=BH=5fBE=AG=DF=CH=\2f

???EG=GF=FH=EF=12-5=7,

vzGEH=180o-90o=90°,

四邊形EGF"是正方形，

也EG=7國

故選：C.

由正方形的性質(zhì)得出N8AZ)=ZABC=4BCD="OC=90。，AB=BC=CD=AD,由SSS證明

△ABE二KDF,得出NABE=4C￡＞凡證出〃BE=NOAG=4COF=4BC”，由A4S證明

△ABEGADG,得出AE=Z)G,BE=AG,同理：AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,

得出EG=GF="/=EF=7,證出四邊形EG"/是正方形，即可得出結(jié)果.

本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的判定與

性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

33.如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，其坐標(biāo)為(2,1),以0A為邊

在x軸上方作正方形04BC,則正方形OABC的頂點(diǎn)C的

坐標(biāo)是()

A.(―2,1)

B.(1,3)