2021屆北京市海淀區(qū)下學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)試題（二模）

第頁(yè),共頁(yè)第17頁(yè),共17頁(yè)第頁(yè),共頁(yè)2021屆北京市海淀區(qū)下學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)試題（二模）本試卷滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘。一、選擇題本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,4)，則cos?θ=（

A.45

B.35

C.-32.設(shè)a∈R，若(2+i)(a-i)=-1-3A.-1

B.-2

C.1

D.23.已知a=0.31.5,b=A.a<b<c

B.b<a<c C.a<c<b

D.b<c<a4.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，Px0,y0是該拋物線上的一點(diǎn)A.x0∈(0,1)

B.x0∈(1,+∞5.向量a→，b→，c→在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若e→為與c→A.1.5

B.2

C.-4.5

D.-36.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2+4x-6y+12=0A.3

B.2

C.-1

D.-37.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax，將函數(shù)f(x)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象恰好與函數(shù)f(x)的圖象重合，則a的值是（A.32

B.23

C.338.已知正方體ABCD-A1B1C1D1（如圖1），點(diǎn)P在側(cè)面CDD???A.? B.?C.? D.?9.已知實(shí)數(shù)α,β.“α+β=2kπ,k∈Z”是“sinA.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2,x?a|x+a|,x<a，若對(duì)于任意正數(shù)k，關(guān)于x的方程f(x)=k都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)A.0

B.1

C.2

D.無(wú)數(shù)二、填空題本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=2,an+1-2an12.已知(1+2x)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則n=

?；各項(xiàng)系數(shù)之和為

13.在△ABC中，a=3,b=7,∠B=2π3，則14.已知雙曲線M:x2a2-y2b2=1的左焦點(diǎn)為F1，A，B為雙曲線M15.普林斯頓大學(xué)的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類(lèi)有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”(Lookandsaysequence)，該數(shù)列的后一項(xiàng)由前一項(xiàng)的外觀產(chǎn)生.以i(i∈N,0?i?9)為首項(xiàng)的“外觀數(shù)列”記作Ai，其中A1為1、11、21、1211、111221、…，即第一項(xiàng)為1，外觀上看是1個(gè)1，因此第二項(xiàng)為11；第二項(xiàng)外觀上看是2個(gè)1，因此第三項(xiàng)為21；第三項(xiàng)外觀上看是1個(gè)2，1個(gè)1，因此第四項(xiàng)為1211，…，按照相同的規(guī)則可得其它Ai，例如A3為3、13、①若Ai的第n項(xiàng)記作an，Aj的第n項(xiàng)記作bn，其中2?i<j?9，則②A1中存在一項(xiàng)，該項(xiàng)中某連續(xù)三個(gè)位置上均為數(shù)字3③A1的每一項(xiàng)中均不含數(shù)字4④對(duì)于k?2，i≠1，Ai的第k項(xiàng)的首位數(shù)字與A1的第k+2其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

?.三、解答題本題共6題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16.如圖，在三棱錐P-ABC中，BC⊥AC,BC⊥PC，AC=BC=6，PA=PC=5，D,E分別是AC，PC的中點(diǎn).(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角A-DE-B的余弦值.17.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(1)直接寫(xiě)出ω的值；(2)再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)f(x)在區(qū)間-π12,π4上的最小值.條件①：直線x=7π1218.為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某地區(qū)小學(xué)聯(lián)合開(kāi)展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們的競(jìng)賽成績(jī)(單位：分)用莖葉圖記錄如下：(1)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率；(2)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取2人，估計(jì)這4人中男生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多的概率；(3)為便于普及冬奧知識(shí)，現(xiàn)從該地區(qū)某所小學(xué)參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選取10名男生?10名女生作為冬奧宜傳志愿者.記這10名男生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為μ1，這10名女生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為μ2，能否認(rèn)為19.橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程；(2)M，N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè))，∠MF1N=∠MEN=90°，直線20.已知函數(shù)f(x)=x-a(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若關(guān)于x的方程x-aln?x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為x021.已知有限集X，Y，定義集合X-Y={x∣x∈X，且x?Y}，|X|表示集合X中的元素個(gè)數(shù).(1)若X={1,2,3,4},Y={3,4,5}，求集合X-Y和Y-X，以及|(X-Y)∪(Y-X)|的值；(2)給定正整數(shù)n，集合S={1,2,?,n}，對(duì)于實(shí)數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合C={x∣x=a+b,a∈A,b∈B}.①求證：|A-S|+|B-S|+|S-C|?1；②求|(A-S)∪(S-A)|+|(B-S)∪(S-B)|+|(C-S)∪(S-C)|的最小值.

參考答案1.【答案】:C【解析】:【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【解答】設(shè)點(diǎn)P(-3,4)，因?yàn)閨OP|=(-3)故選C.2.【答案】:A【解析】:【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的等式，即可解得實(shí)數(shù)a的值.【解答】∵(2+i)(a-i)=(2a+1)+(a-2)故選A.3.【答案】:B【解析】:【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)，分別求三個(gè)數(shù)的范圍，再比較大小.【解答】由條件可知，a=0.31.5∈(0,1)，b=所以b<a<c.故選B.4.【答案】:B【解析】:【分析】根據(jù)焦半徑公式，直接求x0的范圍【解答】由條件可知p2=1，根據(jù)焦半徑公式|PF|=故選：B.5.【答案】:D【解析】:【分析】首先建系，確定向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【解答】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由圖可知a→=(-1,1)，b→則a→+故選D.6.【答案】:C【解析】:【分析】首先確定圓的圓心和半徑，再確定x的最大值.【解答】方程變形為(x+2)2+(y-3)2=1，圓心(-2,3)故選C.7.【答案】:D【解析】:【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換求出變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)a的值.【解答】由題意可得g(x)=3ax，再將g(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)又因?yàn)閒(x)=ax，所以，ax因?yàn)閍>0且a≠1，解得a=故選D.8.【答案】:D【解析】:【分析】由俯視圖可知，點(diǎn)P在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，對(duì)點(diǎn)P【解答】由俯視圖可知，點(diǎn)P在棱DD1對(duì)于A選項(xiàng)，若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，則三棱錐B1對(duì)于B選項(xiàng)，若點(diǎn)P與點(diǎn)D1重合，則三棱錐B對(duì)于C選項(xiàng)，若點(diǎn)P為線段DD1的中點(diǎn)，則三棱錐對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P在棱DD且右邊的一條邊的邊長(zhǎng)與正方體的棱長(zhǎng)相等，左視圖不可能如D選項(xiàng)所示.故選：D.9.【答案】:A【解析】:【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.【解答】當(dāng)α+β=2kπ,k∈Z時(shí)，sin且sinα+當(dāng)sin?(α+β)=sin?α+例如α=π,β=0時(shí)，此時(shí)sin?(α+β)=sin所以實(shí)數(shù)α,β.“α+β=2kπ,k∈Z”是“故選：A.10.【答案】:B【解析】:【分析】分a=0、a>0、a<0三種情況討論，作出函數(shù)f(x)的圖象，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的等式與不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)a的取值.【解答】當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2+2,x?0由圖可知，當(dāng)0<k<2時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=k有且只有一個(gè)實(shí)根，不合乎題意；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=x函數(shù)f(x)在(-∞,-a)上單調(diào)遞減，在(-a,a)上單調(diào)遞增，在由題意可得a2-a??若a<0，則f(x)=x?函數(shù)f(x)在(-∞,a)單調(diào)遞減，在a,a由題意可得a2-a2綜上所述，a=1.故選：B.11.【答案】:126【解析】:【分析】利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【解答】因?yàn)閍n+1-2a因此數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2所以an的前6項(xiàng)和為故答案為：126.12.【答案】:481【解析】:【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的公式2n=16【解答】展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和是2n=16，所以令x=1，(1+2)4故答案為：4；81.13.【答案】:154【解析】:【分析】運(yùn)用余弦定理求出c，最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【解答】由余弦定理可知：b2=a所以△ABC的面積為：1故答案為：15414.【答案】:3+1【解析】:【分析】利用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，連結(jié)BF1，BF2，根據(jù)圖形分析可得△【解答】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F2，連結(jié)BF1∵四邊形F1ABO是菱形，∴|BO|=1并且根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知△OBF2BF1=即3c-c=2a，即c故答案為：3+115.【答案】:①③④【解析】:【分析】列出Ai、Aj的前四項(xiàng)，觀察規(guī)律，可判斷①的正誤；利用反證法可判斷②的正誤；利用②中的結(jié)論可判斷③的正誤；根據(jù)Ai和【解答】對(duì)于①，a1=i，a2=1i，a3=111i，b1=j，b2=1j，b3=111j，由遞推可知，隨著n的增大，an和b所以，an對(duì)于②，若A1中存在一項(xiàng)，該項(xiàng)中連續(xù)三個(gè)位置上的數(shù)字均為3，即a由題中定義可知，an-1中必有連續(xù)三個(gè)位置上的數(shù)字均為3，即an-1以此類(lèi)推可知，a1中必有連續(xù)三個(gè)位置上的數(shù)字均為3，這與a對(duì)于③，由②可知，A1的每一項(xiàng)不會(huì)出現(xiàn)某連續(xù)三個(gè)數(shù)位上都是3，故A1中每一項(xiàng)只會(huì)出現(xiàn)1、2、對(duì)于④，對(duì)于k?2，i≠1，有a1=i，a2=1i，a3=111i，a4由上可知，記數(shù)列an的首位數(shù)字構(gòu)成數(shù)列cn，則數(shù)列cn為：i、1、1、3、1、1、3且當(dāng)k?2時(shí)，ck+3記A1的第k項(xiàng)記為bk，則b1=1，b2=11，b3=21，b4=1211，記數(shù)列bn的首位數(shù)字構(gòu)成數(shù)列{dn}，則數(shù)列dn為：1、1、2、1、1、3、1、1且當(dāng)k?4時(shí)，d由上可知，c2=d4，c3所以，當(dāng)k?2時(shí)，ck=故答案為：①③④.16(1)【答案】連接PD，因?yàn)镻A=PC，D為AC的中點(diǎn)，所以PD⊥AC，又BC⊥AC,BC⊥PC，AC,PC為平面PAC的兩條相交直線，所以BC⊥平面PAC，PD?平面PAC，所以BC⊥PD，BC,AC為平面ABC的兩條相交直線，所以PD⊥平面ABC，又PD?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC；【解析】:連接PD，由BC⊥平面PAC，得BC⊥PD，結(jié)合PD⊥AC可證得PD⊥平面ABC，進(jìn)而得證；(2)【答案】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DP為y,z軸，過(guò)點(diǎn)D作與CB平行的方向?yàn)閤軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以D(0,0,0),B(2,-1,0)，P(0,0,4),C(0,-3,0)，E0,-設(shè)平面BDE的法向量為n→=(x,y,z)，則n→?DB→=2x-y=0n→平面ADE的法向量為m→所以二面角A-DE-B的余弦值為m→【解析】:以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DP為y,z軸，過(guò)點(diǎn)D作與CB平行的方向?yàn)閤軸建立空間直角坐標(biāo)系，由平面的法向量計(jì)算求解即可.17(1)【答案】由圖象可知，函數(shù)f(x)的最小正周期T滿(mǎn)足T2=π2，【解析】:求出函數(shù)f(x)的最小正周期，由此可求得ω的值；(2)【答案】選擇條件①：因?yàn)橹本€x=7π12為函數(shù)所以，2×7π12+φ=∵-π2<φ<π2，φ=π3當(dāng)x∈-π12所以當(dāng)2x+π3=π6或5π6時(shí)，即當(dāng)x=-π選擇條件②：因?yàn)棣?,0是函數(shù)則2×π3+φ=π+2kπ(k∈∵-π2<φ<π2，φ=π3當(dāng)x∈-π12所以當(dāng)2x+π3=π6或5π6時(shí)，即當(dāng)x=-π【解析】:根據(jù)所選條件求得φ的表達(dá)式，結(jié)合φ的取值范圍可求得φ的值，再由f(0)=3求得A的值，由x∈-π12,π18(1)【答案】根據(jù)莖葉圖可知：男生共有15名，其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的共有5人，所以估計(jì)該男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率為：515【解析】:根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；(2)【答案】當(dāng)2名男生都在90分以上，2女生都在90以下，則此時(shí)概率為：C5當(dāng)2名男生都在90分以上，2女生有一個(gè)90以下，則此時(shí)概率為：C5當(dāng)2名男生有一個(gè)在90分以上，2女生都在90以下，則此時(shí)概率為：C10所以估計(jì)這4人中男生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多的概率：44735【解析】:根據(jù)題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可；(3)【答案】不能認(rèn)為μ1如果選出10名男生的成績(jī)沒(méi)有超過(guò)90分以上的，這時(shí)μ1如是選出10名女生成績(jī)是前10名的，這時(shí)μ2顯然μ1<μ【解析】:根據(jù)平均數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合特例法進(jìn)行判斷即可.19(1)【答案】因?yàn)镕1所以2c=2,2a=4?c=1,a=2，∵b2=【解析】:根據(jù)橢圓定義直接求解即可；(2)【答案】因?yàn)镸，N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以不妨設(shè)M(0,m)(m>0)，N(0,n)，因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)E位于x軸的兩側(cè)，所以設(shè)Ex0,由(1)知c=1，所以F1因?yàn)椤螹F1因?yàn)椤螹EN=kEM而x024+y02因?yàn)閥0<0，m>0，所以因此kEM=-4my=-4mx0x+m，令y=0，得|EP||PM|【解析】:設(shè)出M(0,m)(m>0)，根據(jù)直角的性質(zhì)求出N點(diǎn)坐標(biāo)、E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)P坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.20(1)【答案】根據(jù)定義直接得X-Y={1,2}，Y-X={5}，|(X-Y)∪(Y∪X)|=3.【解析】:直接根據(jù)定義求解即可；(2)①【答案】顯然|X|?0.若A∪B中含有一個(gè)不在S中的元素，則|A-S|+|B-S|?1，即|A-S|+|B-S|+|S-C|?1.若A?S，且B?S，則|A-S|=|B-S|=0，此時(shí)A中最小的元素a?1，B中最小的元素b?1，所以C中最小的元素a+b?2.所以1?C.因?yàn)镾={1,2,?,n}，所以|S-C|?1，即|A-S|+|B-S|+|S-C|?1，綜上，|A-S|+|B-S|+|S-C|?1.【解析】:分若A∪B中含有一個(gè)不在S中的元素和A?S，且B?S，兩種情況討論即可，當(dāng)A?S，且B?S時(shí)，可通過(guò)1?C得證；②【答案】由①知|A-S|+|B-S|+|S-C|?1.所以|(A-S)∪(S-A)|+|(B-S)∪(S-B)|+|(C-S)∪(S-C)|=|A-S|+|S-A|+|B-S|+|S-B|+|C-S|+|S-C|?|S-A|+|S-B|+|C-S|+1.若A∩S=?，或B∩S=?，則|S-A|+|S-B|?n，若A∩S≠?，且B∩S≠?，設(shè)A∩S=a1,且1?a1<則|S-A|=n-s，|B-S|=n-t，若s+t>n，因?yàn)??a所以a1+b1,集中C中，且均不等于1.所以|S-A|+|S-B|+|C-S|?2n-s-t+(s+t-n)=n，所以|(A-S)∪(S-A)|+|(B-S)∪(S-B)|+|(C-S)∪(S-C)|?|S-A|+|S-B|+|C-S|+1?n+1.當(dāng)A=B=S，C={2,3,?,2n}時(shí)，|(A-S)∪(S-A