東南大學(xué)2022年研究生入學(xué)試題 數(shù)學(xué)分析-2023修改整理_第1頁
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試題編號(hào)：601試題名稱：數(shù)學(xué)分析

一．推斷題（推斷下列命題正誤,若正確請(qǐng)證實(shí),否則請(qǐng)給出反例說明（本題共4小題,每題6分,滿分24分）.

1.[,]ab上每個(gè)單調(diào)函數(shù)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn).

2.在有界閉區(qū)間[,]ab上黎曼可積的函數(shù)必在[,]ab上有原函數(shù).

3.若na非負(fù)、單調(diào)遞減,且lim0nnna→∞=,則級(jí)數(shù)1

nna∞=∑收斂.4.曲線221xy+=上每一點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可確定隱函數(shù)()yyx=.

二．計(jì)算題（本題共6小題,每題8分,滿分48分）.

5.求極限21lim[ln(1)]xxxx

→∞+-.6.求極限2222212lim(1)(1)(1)nnnnnn

→∞+++.7.求冪級(jí)數(shù)143n

nxn∞

=-∑的和函數(shù)(0)x≥.8.求曲線2226,0xyzxyz++=++=在點(diǎn)(1,2,1)-處的切線方程.

9.計(jì)算曲線積分22CydxxdyIxy-=+?

,其中C為曲線33cos,sin(0)2xtyttπ==≤≤的一段.

10.計(jì)算曲面積分22(1)84xdydzxydzdxxzdxdy∑-+-??,其中∑是由曲線

(0)yxeya=≤≤繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面,取外側(cè).

三．解答題（本題共8小題,前6小題每題10分,后2小題每題9分,滿分78分）.

11.給定實(shí)數(shù)0x及b,01b,存在一個(gè)0δ>,使得若[,],yabyxδ∈->=?.證實(shí)：

（1）函數(shù)()fx在(0,1)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）至少存在一點(diǎn)(0,1)ξ∈,使得0'()()ffxdxξ

ξ=?.16.設(shè)()fx在0x=的某鄰域內(nèi)有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù),且0()lim0xfxx→=.證實(shí)：級(jí)數(shù)11()nnfn

∞=∑肯定收斂.17.設(shè)2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),

xyxyxyfxyxyxy?+≠?=+??=?研究f在原點(diǎn)的延續(xù)性、可微性以及兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)的延續(xù)性.

18.證實(shí)反常積分20sin1xpxx+∞+?關(guān)于[,)

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