生物統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析

生物統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析第1頁/共144頁某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，投喂不同的飼料，經(jīng)1個月以后，各組魚的增重(g)結(jié)果列于下表。重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286311.8262.8247.4279.8表6-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)20個樣本4個平均數(shù)第2頁/共144頁(2)試驗(yàn)誤差不統(tǒng)一，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低。t檢驗(yàn)：C42

＝6次6個標(biāo)準(zhǔn)誤(1)檢驗(yàn)過程煩瑣。判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差異顯著性6次都接受Hoα錯誤(3)推斷的可靠性低，檢驗(yàn)時犯α錯誤概率大。t檢驗(yàn)自由度較小P=(0.95)6＝0.735P＝1-0.735＝0.265第3頁/共144頁將所有這些組數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對所有各組平均數(shù)間是否有差異作出判斷。方差分析，又稱為變量分析，是英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析是對兩個或多個樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。方差分析(Analysisofvariance，ANOVA)第4頁/共144頁方差分析的基本原理1單因素方差分析2二因素方差分析3多因素方差分析4方差分析缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)5方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換6第六章方差分析第5頁/共144頁三、數(shù)學(xué)模型一、相關(guān)術(shù)語四、平方和與自由度的分解五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)-----F檢驗(yàn)六、多重比較二、方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理第6頁/共144頁一、相關(guān)術(shù)語試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的原因或原因組合稱為試驗(yàn)因素。試驗(yàn)因素也稱為處理因素，簡稱為因素或因子。為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞和處理效應(yīng)的高低，在實(shí)驗(yàn)中具體測定的性狀或觀測的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。例如日增重、酶活性、產(chǎn)量等。（一）試驗(yàn)因素第7頁/共144頁在試驗(yàn)中可以人為調(diào)控的因素在試驗(yàn)中不能人為調(diào)控的因素可控因素（固定因素）非控因素（隨機(jī)因素）試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、…等來表示。因素的水平不能嚴(yán)格控制，或水平能控制，其效應(yīng)為隨機(jī)變量；重復(fù)時可得到相同的結(jié)果。因素的水平可準(zhǔn)確控制，且水平固定后，其效應(yīng)也固定；重復(fù)時不易得到相同的結(jié)果。（一）試驗(yàn)因素第8頁/共144頁每個試驗(yàn)因素的不同狀態(tài)（處理的某種特定狀態(tài)或數(shù)量上的差別）稱為因素水平，簡稱為水平。因素是一個抽象的概念，水平是一個較為具體的概念。溫度酶活性15℃、20℃、25℃、30℃水平用代表該因素的字母加下標(biāo)1、2、3、…等來表示。如A1、A2、A3、…，B1、B2、B3、…等。一、相關(guān)術(shù)語（二）因素水平第9頁/共144頁試驗(yàn)處理常稱為處理，指對受試對象給予的某種外部干預(yù)（或措施），是試驗(yàn)中實(shí)施的因子水平的一個組合。單因素處理多因素處理一、相關(guān)術(shù)語（三）試驗(yàn)處理第10頁/共144頁一個4種不同配合飼料對魚的飼喂試驗(yàn)，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是飼喂某一種飼料。試驗(yàn)因素的一個水平考察在該因素不同水平值上性狀量值的變化規(guī)律，找出最佳水平或估計(jì)其總體變異。兩個或兩個試驗(yàn)因素的一個水平組合考察反應(yīng)量在各因素不同水平、水平組合上的變化規(guī)律，找出水平的最佳組合或估計(jì)總體變異。因素處理目的舉例3種播種密度對4個小麥品種的產(chǎn)量的影響研究，試驗(yàn)共有3×4=12個水平組合。其它單因素處理多因素處理可以同時研究主效應(yīng)、交互作用

第11頁/共144頁試驗(yàn)誤差是指試驗(yàn)中由于無法控制的因素所引起的差異，簡稱為誤差。隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差一、相關(guān)術(shù)語（四）試驗(yàn)誤差第12頁/共144頁在實(shí)驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體，即根據(jù)研究目的而確定的觀測總體。在試驗(yàn)中，將一個處理實(shí)施在兩個或兩個以上的試驗(yàn)單位上。處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)即處理的重復(fù)數(shù)。植物個體、動物個體以及不同的組織、器官等都可以作為試驗(yàn)單位。一、相關(guān)術(shù)語（五）試驗(yàn)單位（六）重復(fù)第13頁/共144頁重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286311.8262.8247.4279.8表6-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)試驗(yàn)指標(biāo)單因素水平重復(fù)第14頁/共144頁觀測值差異基本思想：將測量數(shù)據(jù)的總變異按照變異原因不同分解為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并作出其數(shù)量估計(jì)。

處理效應(yīng)誤差效應(yīng)二、方差分析基本思想第15頁/共144頁比較處理效應(yīng)和誤差效應(yīng)在總變異中所占的比例。處理效應(yīng)試驗(yàn)誤差相差不大，說明試驗(yàn)處理對指標(biāo)影響不大。相差較大，即處理效應(yīng)比試驗(yàn)誤差大得多，說明試驗(yàn)處理影響是很大的，不可忽視。第16頁/共144頁表6-2每組具n個觀測值的k組樣本符號表三、數(shù)學(xué)模型處理A1A2…Ai…Ak重復(fù)x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2………………x1jx2j…xij…xkj………………x1nx2n…xin…xkn總和Ti.T1.T2.…Ti.…Tk.T..=∑xij平均xi.x1.x2.xi.xk.x..第i個處理的第j個觀測值第i個處理n個觀測值的和全部觀測值的和第i個處理的平均數(shù)全部觀測值的總平均數(shù)第17頁/共144頁表6-2每組具n個觀測值的k組樣本符號表處理A1A2…Ai…Ak重復(fù)x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2………………x1jx2j…xij…xkj………………x1nx2n…xin…xkn總和Ti.T1.T2.…Ti.…Tk.T..=∑xij平均xi.x1.x2.xi.xk.x..第i個處理觀測值總體平均數(shù)試驗(yàn)誤差三、數(shù)學(xué)模型第18頁/共144頁第i個處理的效應(yīng)，即處理i對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響固定模型隨機(jī)模型混合模型三、數(shù)學(xué)模型第19頁/共144頁固定模型各處理的效應(yīng)值τi

是固定值，它是由固定因素所引起的效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)因素的各水平是根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康氖孪戎饔^選定的而不是隨機(jī)選定的。在固定模型中，除去隨機(jī)誤差之后的每個處理所產(chǎn)生的效應(yīng)是固定的，試驗(yàn)重復(fù)時會得到相同的結(jié)果。方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個水平，并不能將其結(jié)論擴(kuò)展到未加考慮的其它水平上。第20頁/共144頁各處理的效應(yīng)值τi

不是固定的數(shù)值，而是由隨機(jī)因素所引起的效應(yīng)。τi

是一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體中的隨機(jī)變量。選取4窩動物，每窩均有4只幼仔，分析不同窩出生的幼仔體重是否顯著。從美國經(jīng)進(jìn)的黑核桃品種在不同緯度生態(tài)條件下試種，觀察該品種對不同地理?xiàng)l件的適應(yīng)情況。隨機(jī)模型第21頁/共144頁在隨機(jī)模型中，水平確定之后其處理所產(chǎn)生的效應(yīng)并不是固定的，試驗(yàn)重復(fù)時也很難得到相同的結(jié)果。方差分析所得到的結(jié)論，可以推廣到這個因素的所有水平上。隨機(jī)模型第22頁/共144頁在設(shè)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)推斷上有明顯不同，因此進(jìn)行方差分析時的公式推導(dǎo)也有所不同。其平方和與df的分解公式?jīng)]有區(qū)別，但在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)數(shù)是不同的。模型分析的側(cè)重點(diǎn)也不完全相同，方差期望值也不一樣，固定模型主要側(cè)重于效應(yīng)值的估計(jì)和比較，而隨機(jī)模型則側(cè)重效應(yīng)方差的估計(jì)和檢驗(yàn)。對于單因素方差分析來說，兩者并無多大區(qū)別。隨機(jī)模型固定模型123第23頁/共144頁在多因素試驗(yàn)中，既有固定效應(yīng)的試驗(yàn)因素，又有隨機(jī)效應(yīng)的試驗(yàn)因素，則屬于混合模型．混合模型為推斷全國6～7歲孩的身長發(fā)育狀況，隨機(jī)抽取3個省，每個省分為城市和農(nóng)村兩類地區(qū)，各抽取20例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。這其中城市與農(nóng)村兩個水平組成的地區(qū)屬于固定效應(yīng)型，由于省份的三個水平是通過抽樣確定的，屬于隨機(jī)效應(yīng)型。在實(shí)際應(yīng)用中，固定模型應(yīng)用最多，隨機(jī)模型和混合模型相對較少。第24頁/共144頁觀測值變異處理間的變異處理內(nèi)的變異方差第25頁/共144頁總平方和總自由度處理間處理內(nèi)處理間處理內(nèi)四、平方和與自由度的分解第26頁/共144頁四、平方和與自由度的分解（一）平方和分解第27頁/共144頁0第28頁/共144頁每一處理n個觀測值離均差平方和累加k個處理的離均差平方和累加總平方和SST處理內(nèi)平方和SSe處理間平方和SSt第29頁/共144頁C（矯正數(shù)）第30頁/共144頁第31頁/共144頁第32頁/共144頁四、平方和與自由度的分解（二）自由度分解第33頁/共144頁重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286總和1559131412371399平均數(shù)311.8262.8247.4279.8表6-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)k=4n=5nk=20第34頁/共144頁(1)平方和計(jì)算(2)自由度計(jì)算(3)方差計(jì)算第35頁/共144頁五、顯著性檢驗(yàn)－－－F檢驗(yàn)1提出假設(shè)2確定顯著性水平3計(jì)算統(tǒng)計(jì)量4統(tǒng)計(jì)推斷否定Ho，接受HA,說明不同飼料飼喂魚的增重差異是極顯著的，用不同的飼料飼喂，增重是不同的。第36頁/共144頁在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值整理成一張方差分析表。在實(shí)際進(jìn)行方差分析時，只須計(jì)算出各項(xiàng)平方和與自由度，各項(xiàng)均方的計(jì)算及F檢驗(yàn)可在方差分析表上進(jìn)行。變異來源dfSSs2FF0.05F0.01飼料間311435.353811.7837.1323.245.29飼料內(nèi)168551.60534.475總變異1919986.95**表中的F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗(yàn)因素齊行。表6-3不同飼料飼喂魚增重的方差分析表第37頁/共144頁F值顯著或極顯著，否定了無效假設(shè)H0

，表明試驗(yàn)的總變異主要來源于處理間的變異，試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異。變異來源dfSSs2FF0.05F0.01飼料間311435.353811.7837.1323.245.29飼料內(nèi)168551.60534.475總變異1919986.95表6-3不同飼料飼喂魚增重的方差分析表**并不能說明每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。第38頁/共144頁統(tǒng)計(jì)上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。六、多重比較有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。最小顯著差數(shù)法(LSD法)最小顯著極差法(LSR法)第39頁/共144頁由統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher提出的，其實(shí)質(zhì)是兩個平均數(shù)相比較的t檢驗(yàn)法。LSD(leastsignificantdifference)法在F檢驗(yàn)顯著的前提下，先計(jì)算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα，然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較。在α水平上差異顯著在α水平上差異不顯著第40頁/共144頁LSD檢驗(yàn)均數(shù)差值標(biāo)準(zhǔn)誤誤差方差兩組數(shù)據(jù)誤差均方的自由度tα自由度被比較的兩個均數(shù)t檢驗(yàn)第41頁/共144頁(1)計(jì)算最小顯著差數(shù)

LSDα；(2)列出平均數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSDα比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。LSD法方法步驟第42頁/共144頁(xi)飼料平均數(shù)差異顯著性(xi.-247.4)(xi.-262.8)(xi.-279.8)A1311.864.4**49.0**32.0*A4279.832.4*17.0A2262.815.4A3247.4表6-44種飼料飼喂魚增重差異顯著性表梯形表示法（三角形法）第43頁/共144頁飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4(1)全部平均數(shù)從大到小依次排列;abcbcABAB(2)在最大的平均數(shù)上標(biāo)字母a，將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的標(biāo)a，直至某個與之相差顯著的則標(biāo)以字母b;(3)以該標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個比它大的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母a的右邊加標(biāo)字母b;(4)以標(biāo)b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以下未曾標(biāo)有字母的平均數(shù)比較，凡差數(shù)不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b，直至差異顯著的平均數(shù)標(biāo)以字母c，再與上面的平均數(shù)比較;(5)重復(fù)進(jìn)行，直至最小的平均數(shù)有了標(biāo)記字母，并與上面的平均數(shù)比較后為止。(6)差異極顯著標(biāo)記方法同上，用大寫字母標(biāo)記。B字母標(biāo)記法第44頁/共144頁LSD法實(shí)際上是用t檢驗(yàn)對所有平均數(shù)進(jìn)行一對一的檢驗(yàn)。自50年代以來，提出了多重范圍檢驗(yàn)的思想：即把平均數(shù)按大小排列后，對離得遠(yuǎn)的平均數(shù)采用較大的臨界值。應(yīng)用較多的有最小顯著極差法(LSR法)。LSD法沒有考慮平均數(shù)依數(shù)值大小排列上的秩次，多次重復(fù)使用t檢驗(yàn)的方法，會大大增加犯α錯誤的概率。LSD法只需計(jì)算一個LSDα，應(yīng)用方便。第45頁/共144頁LSR(leastsignificantranges)法LSR法采用不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)據(jù)(秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度。這種在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度的顯著性檢驗(yàn)方法稱為最小顯著極差法。SSR檢驗(yàn)q檢驗(yàn)新復(fù)極差檢驗(yàn)(newmultiplerangetest)(theshortestsignificantranges)鄧肯(Duncan)法Duncan多范圍檢驗(yàn)法（Duncanmultiplerangetest）第46頁/共144頁(1)按相比較的樣本容量計(jì)算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤(2)查SSR表，自由度dfe，所含平均數(shù)個數(shù)M(3)將各平均數(shù)按大小順序排列，用各個M值的LSRα進(jìn)行檢驗(yàn)。附表8(P324)新復(fù)極差檢驗(yàn)SSR值表dfM（檢驗(yàn)極差的平均數(shù)個數(shù)）2345616(0.05)3.003.143.243.303.3416(0.01)4.134.314.424.514.57第47頁/共144頁表6-64種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)LSR值（SSR檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbcABABcB表6-54種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)(LSD檢驗(yàn)）飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbbABABB表6-74種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)(SSR檢驗(yàn)）第48頁/共144頁q檢驗(yàn)q檢驗(yàn)法也稱為Student-Newman-Keuls(SNK)檢驗(yàn)，是以統(tǒng)計(jì)量q的概率分布為基礎(chǔ)的。附表9(P324)q值表dfM（檢驗(yàn)極差的平均數(shù)個數(shù)）2345616(0.05)3.003.654.054.344.5616(0.01)4.134.785.195.495.72第49頁/共144頁表6-84種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)LSR值（q檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0237.7441.88LSR0.0142.7049.4353.66飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbbAAABB表6-94種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)(q檢驗(yàn)）B第50頁/共144頁LSR值（q檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0237.7441.88LSR0.0142.7049.4353.66LSR值（SSR檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70k=2,三種方法顯著尺度是相同的。k>2,三種方法顯著尺度不相同。第51頁/共144頁精度要求高的試驗(yàn)精度要求一般的試驗(yàn)各個處理平均數(shù)與對照相比的試驗(yàn)q檢驗(yàn)SSR檢驗(yàn)LSD檢驗(yàn)犯α錯誤的概率LSD檢驗(yàn)SSR檢驗(yàn)q檢驗(yàn)>>第52頁/共144頁方差分析步驟定義總平方和與自由度的分解；(2)列方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)；(3)若F檢驗(yàn)顯著，進(jìn)行多重比較（注明方法）方差分析是對兩個或多個樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。它是將測量數(shù)據(jù)的總變異按照變異來源分解為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并作出其數(shù)量估計(jì)。第53頁/共144頁第二節(jié)單因素方差分析單因素方差分析的目的：正確判斷該試驗(yàn)因素各水平的相對效果。組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不等的方差分析第54頁/共144頁一、組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析例6.2測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個地區(qū)黃鼬冬季針毛的長度，每個地區(qū)隨機(jī)抽取4個樣本，測定的結(jié)果如下表所示，比較其差異顯著性。地區(qū)東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州132.029.225.523.322.3232.827.426.125.122.5331.226.325.825.122.9430.426.726.725.523.7表6-10不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度(mm)第55頁/共144頁(1)平方和計(jì)算(2)自由度計(jì)算(3)方差計(jì)算(4)F檢驗(yàn)第56頁/共144頁變異來源dfSSs2FF0.05F0.01地區(qū)間4173.7143.42850.1483.064.89地區(qū)內(nèi)1512.990.866總變異19186.70**表6-11不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度方差分析表第57頁/共144頁地區(qū)平均數(shù)差異顯著性0.050.01東北31.60內(nèi)蒙古27.40河北26.03安徽24.75貴州22.85表6-12不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度顯著性比較(LSD檢驗(yàn)）abbccdABBCCDD第58頁/共144頁二、組內(nèi)觀測次數(shù)不等的方差分析處理12……i……k重復(fù)n1n2……ni……nk變異來源dfSSs2F處理間處理內(nèi)總變異表6-13組內(nèi)觀測次數(shù)不等的方差分析第59頁/共144頁第60頁/共144頁例6.3用某種小麥種子進(jìn)行切胚乳試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)分為三種處理：整粒小麥(I)，切去一半胚乳(II)，切去全部胚乳(III)，同期播種于條件較一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選留兩株，成熟后進(jìn)行單株考種，每株粒重結(jié)果如表，試進(jìn)行方差分析。處理株號合計(jì)平均數(shù)12345678910ⅠⅡIII21202429252224252822232525292130312627242626202120424414625.524.424.3表6-14小麥切胚乳試驗(yàn)單株粒重（g）n1

＝8，n2

＝10，n3

＝6，N＝24第61頁/共144頁(1)平方和的計(jì)算(2)自由度的計(jì)算(3)列方差分析表變異來源SSdfs2F處理間處理內(nèi)6.8233.72213.410.70.318總變異230.523第62頁/共144頁第63頁/共144頁第三節(jié)二因素方差分析兩個因素共同影響試驗(yàn)指標(biāo)的試驗(yàn)處理。主效各試驗(yàn)因素的相對獨(dú)立作用稱為該因素的主效應(yīng)，簡稱為主效。它是由于因素水平的改變而造成因素效應(yīng)的改變?；プ骰プ餍?yīng)是由于兩個或多個試驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，則二因素間存在交互作用，簡稱互作。第64頁/共144頁因素間的交互作用顯著與否關(guān)系到主效應(yīng)的利用價值。若交互作用顯著，則各因素的效應(yīng)就不能累加，最優(yōu)處理組合的選定應(yīng)根據(jù)各處理組合的直接表現(xiàn)選定。二因素間是否存在交互作用有專門的統(tǒng)計(jì)判斷方法，有時也可根據(jù)專業(yè)知識判斷。若交互作用不顯著，則各因素的效應(yīng)可以累加。各因素的最優(yōu)水平組合，即為最優(yōu)的處理組合。有時交互作用相當(dāng)大，甚至可以忽略主效應(yīng)。第65頁/共144頁第三節(jié)二因素方差分析無重復(fù)觀測值的二因素方差分析有重復(fù)觀測值的二因素方差分析第66頁/共144頁無重復(fù)觀測值的二因素方差分析二因素?zé)o交互作用時，每個處理可只設(shè)一個觀測值。因素A

因素BB1B2…Bb總和平均數(shù)A1x11x12…x1bT1.x1.A2x21x22…x2bT2.x2.…………………Aaxa1xa2…xabTa.xa.總和T.1T.2…T.bT平均數(shù)x.1x.2…x.bx..A因素a個水平，B因素b個水平，每個處理組合只有1個觀測值。表6-15無重復(fù)觀測值的二因素?cái)?shù)據(jù)資料第67頁/共144頁第68頁/共144頁（1）平方和的分解（2）自由度的分解（3）計(jì)算方差（4）F值的計(jì)算：第69頁/共144頁例6.4

將一種生長激素配成M1、M2、M3、M4、M5五種濃度，并用H1、H2、H3三種時間浸漬某大豆品種的種子，出苗45天后的各處理每一植株的平均干物重（g）。濃度（A）時間（B）H1H2H3M11314144113.67M21212133712.33M333393.00M410910299.67M5254113.674043441278.08.68.88.47表6-15激素處理對大豆干物重的影響(g)激素濃度和時間均為固定因素，適應(yīng)于固定模型。第70頁/共144頁（1）平均和計(jì)算（2）自由度的計(jì)算第71頁/共144頁變異來源dfSSs2FF0.05F0.01濃度間4289.0672.27116.56**3.847.01時間間誤差281.734.940.870.621.404.468.65總變異14295.73F檢驗(yàn)結(jié)果表明，不同激素濃度對大豆干物重有極顯著差異。（4）進(jìn)行多重比較（用SSR檢驗(yàn)）表6－16激素處理對大豆干物重影響的方差分析濃度間的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤均為b=3是每一濃度的觀測值數(shù)目。如果要比較時間間的效應(yīng)，由于每一時間有a=5個觀測值，其平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤應(yīng)為（3）列方差分析表第72頁/共144頁M2345SSR0.053.263.403.483.52SSR0.014.754.945.065.14LSR0.051.481.551.581.60LSR0.012.162.252.302.34表6-17不同濃度大豆干物重多重比較SSR和LSR值查SSR值表，當(dāng)dfe=8，M=2，3，4，5時SSR值、LSR值列于下表濃度平均數(shù)差異顯著性α＝0.05α＝0.01M1M2M3M4M513.6712.339.673.673.00aabccAABCC表6-18不同濃度大豆干物重差異顯著性檢驗(yàn)（SSR檢驗(yàn)）第73頁/共144頁對固定模型而言，結(jié)論只能適用于參加試驗(yàn)的幾個水平，不能任意推廣到其他水平上去。如果存在兩個因素的互作，方差分析中就不能用互作來估計(jì)誤差，必須在有重復(fù)觀測值的情況下對試驗(yàn)誤差進(jìn)行估計(jì)。無重復(fù)觀測值的二因素方差分析，所估計(jì)的誤差實(shí)際上是這兩個因素的相互作用，這是在兩個因素不存在互作，或互作很小的情況下進(jìn)行估計(jì)的。第74頁/共144頁因素A因素BTi.xi.B1B2…BbA1x111x121…x1b1T1.x1.x112x122…x1b2…………x11nx12n…x1bnA2x211x221…x2b1T2.x2.x212x222…x2b2…………x21nx22n…x2bn…………………Aaxa11xa21…xab1Ta.xa.xa12xa22…xab2…………xa1nxa2n…xabnT.jT.1T.2…T.bx.jx.1x.2…x.bTx..A因素a水平，B因素有b水平，每一重復(fù)都包括ab次實(shí)驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)重復(fù)n次。第75頁/共144頁有重復(fù)觀測值的二因素方差分析A因素i水平，B因素j水平，第k次重復(fù)觀測值總平均值A(chǔ)因素i水平的效應(yīng)B因素j水平的效應(yīng)A因素i水平和B因素j水平的交互作用隨機(jī)誤差第76頁/共144頁（1）平方和的分解為：A因素a水平，B因素有b水平，每一重復(fù)都包括ab次實(shí)驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)重復(fù)n次。abnSSt第77頁/共144頁（3）各項(xiàng)的方差分別為（2）自由度的分解為第78頁/共144頁（4）F檢驗(yàn)αi、βj、(αβ)ij

和εijk是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。αi，βj及(αβ)ij

均為固定效應(yīng)。固定模型隨機(jī)模型（以A為固定因素，Ｂ為隨機(jī)因素為例）A和B的效應(yīng)為非可加性，αi

為固定效應(yīng)，βj及(αβ)ij

為隨機(jī)效應(yīng)。混合模型第79頁/共144頁例6.5為了研究某種昆蟲滯育期長短與環(huán)境的關(guān)系，在給定的溫度和光照條件下在實(shí)驗(yàn)室培養(yǎng)，每一處理記錄4只昆蟲的滯育天數(shù)，結(jié)果列于表中，是對該材料進(jìn)行方差分析。光照（A）溫度（B）250C300C350C5h·d-1143138120107101100808389931017610h·d-1961037891796183598076616715h·d-1798396986071786467587183表6-19不同溫度及光照條件下某種昆蟲滯育天數(shù)第80頁/共144頁由于溫度和光照條件都是人為控制的，為固定因素，可依固定因素分析。將表6-19中數(shù)字均減去80，整理得下表光照（Ａ）標(biāo)本號溫度（B）250C300C350C5h·d-112346358402721200391321－4271188443910h·d-112341623－211－1－193－210－4－19－13－2648－38－3615h·d-11234－131618－20－9－2－16－13－22－93－5236－47－41272－41－38193第81頁/共144頁（1）平方和計(jì)算第82頁/共144頁（2）自由度分解第83頁/共144頁(4)列方差分析表變異來源dfSSs2FF0.05F0.01光照間25367.062683.5321.94**3.355.49溫度間25391.062695.5322.03**3.355.49光照×溫度誤差427464.943303.25116.24122.340.952.734.11總變異35295.73F檢驗(yàn)結(jié)果表明，濃度間和時間間的F值大于F0.01，即昆蟲滯育期長短主要決定于光照和溫度，而與兩者之間的互作關(guān)系不大。表6-20昆蟲滯育天數(shù)方差分析表（3）計(jì)算方差第84頁/共144頁了解各種光照時間及溫度對滯育期的影響，需進(jìn)行不同光照間及不同溫度間的多重比較。（5）多重比較光照（A）間平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤溫度（B）間平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤第85頁/共144頁例6.6在啤酒生產(chǎn)中，為了研究烘烤方式（A）與大麥水分（B）對糖化時間的影響，選了兩種烘烤方式，4種水分共8種處理，每一處理重復(fù)三次，結(jié)果如下表。烘烤方式(A)水分(B)B1B2B3B4A112.09.516.018.013.010.015.519.014.512.514.017.0A25.013.017.515.06.514.018.516.05.515.016.017.5表6-21不同烘烤方式及水分的糖化時間A固定因素B隨機(jī)因素混合模型第86頁/共144頁烘烤方式（A）標(biāo)本號水分（B）B1B2B3B4A112.0-0.56.08.051.023.00.05.59.034.52.54.07.09.52.015.524.0A21-5.03.07.55.039.52-3.54.08.56.03-4.55.06.07.5-13.012.022.018.5-3.51437.542.590.5第87頁/共144頁（1）平方和的分解第88頁/共144頁（2）自由度分解第89頁/共144頁變異來源dfSSs2FF0.05F0.01烘烤方式A15.5105.5100.15410.1934.12水分B3228.86576.28855.482**3.245.29A×B誤差316107.61522.00035.8721.37526.089**3.245.29總變異23363.99表6-22大麥糖化時間方差分析表（3）列方差分析表第90頁/共144頁F檢驗(yàn)結(jié)果表明，水分和A×B的F值大于F0.01，大麥中的水分及水分與烘烤方式之間的互作對糖化時間的影響達(dá)到了極顯著水平。變異來源dfSSs2FF0.05F0.01烘烤方式A15.5105.5100.15410.1934.12水分B3228.86576.28855.482**3.245.29A×B誤差316107.61522.00035.8721.37526.089**3.245.29總變異23363.99表6-22大麥糖化時間方差分析表烘烤方式對糖化時間的作用不顯著。在生產(chǎn)上應(yīng)注意大麥的含水量及根據(jù)含水量來選擇合適的烘烤方式。第91頁/共144頁固定模型隨機(jī)模型混合模型由于SSAB一般要大于SSe，交互作用存在時更為明顯。因此若不能區(qū)分因素是隨機(jī)或固定，有可能錯用統(tǒng)計(jì)量，導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。因此在兩個以上因素的方差分析中，區(qū)分因素類型顯得更為重要。隨機(jī)、混合模型中，沒有重復(fù)時，仍無法把SSAB和SSe分開，此時隨機(jī)模型仍可對主效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，混合模型中也可以對固定因素的主效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)。但當(dāng)交互作用存在時，僅檢驗(yàn)主效應(yīng)沒有太大意義，因?yàn)橛锌赡苁墙换プ饔闷鹬饕饔?。在因素間存在交互作用時，不設(shè)重復(fù)的試驗(yàn)是無意義的。因此試驗(yàn)時應(yīng)盡可能設(shè)置重復(fù)，除非有可靠的證據(jù)證明交互作用不存在。第92頁/共144頁第四節(jié)多因素方差分析A因素a水平B因素b水平n次重復(fù)C因素c水平第93頁/共144頁實(shí)際分析時，可將三因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成三個兩向表（A、B因素組合，B、C因素組合，A、C因素組合），把三因素方差分析化為二因素方差分析。BjAiC1xij11xij12…xij1nC2xij21xij22…xij2n……………Ccxijc1xijc2…xijcnSSASSBSSABCkAiB1xi1k1xi1k2…xi1knB2xi2k1xi2k2…xi2kn……………Bbxibk1xibk2…xibknCkBjA1x1jk1x1jk2…x1jknA2x2jk1x2jk2…x2jkn……………Aax1jk1xajk2…xajknSSASSCSSACSSBSSCSSBC第94頁/共144頁總平方和:全部試驗(yàn)觀測值的平方和誤差平方和:同一處理下數(shù)據(jù)的變異平方和總平方和的分解總自由度的分解dfT=dfA+dfB+dfC+dfAB+dfAC+dfBC+dfABC+dfe第95頁/共144頁例6.6為了研究在豬飼料中添加胱氨酸（因素A）、蛋氨酸（因素B）和蛋白質(zhì)（因素C）對豬日增重（kg）的影響，設(shè)計(jì)了下面的試驗(yàn)，每一組共用兩頭豬作重復(fù).試作方差分析。第96頁/共144頁胱氨酸(A)蛋氨酸(B)蛋白質(zhì)(C)日增重(g)合計(jì)00121.110.972.08141.521.452.970.025121.090.992.08141.271.222.490.05120.851.212.06141.671.242.910.050121.301.002.30141.551.533.080.025121.031.212.24141.241.342.580.05121.120.962.08141.761.273.030.100121.221.132.35141.381.082.460.025121.341.412.75141.401.212.610.05121.341.192.53141.461.392.850.150121.191.032.22140.801.292.090.025121.361.162.52141.421.392.810.05121.461.032.49141.621.272.89合計(jì)31.5028.9760.47A因素4水平B因素3水平2次重復(fù)C因素2水平固定模型第97頁/共144頁蛋氨酸(B)胱氨酸(A)T.j.00.050.100.1505.055.384.814.3119.550.0254.574.825.365.3320.080.0504.975.115.385.3820.84Ti..14.5915.3115.5515.0260.47蛋白質(zhì)(C)胱氨酸(A)T..k00.050.100.15126.226.627.637.2327.70148.378.697.927.7932.77Ti..14.5915.3115.5515.0260.47蛋氨酸(B)蛋白質(zhì)(C)T.j.121408.9510.6019.550.0259.5910.4920.080.0509.1611.6820.84T..k27.7032.7760.47第98頁/共144頁（1）列兩向表，整理數(shù)據(jù)（2）平方和計(jì)算第99頁/共144頁第100頁/共144頁第101頁/共144頁（３）自由度的分解為第102頁/共144頁變異來源dfSSs2FF0.05F0.01胱氨酸A30.04270.01420.4453.014.72蛋氨酸B20.05260.02630.8243.405.61蛋白質(zhì)C10.53550.535516.787**4.267.82A×B60.25430.04241.3292.513.67A×C30.23990.08002.5083.014.72B×C20.08210.04101.2853.405.61A×B×C誤差6240.06850.76530.01140.03190.3572.513.67總變異47363.99檢驗(yàn)結(jié)果表明，蛋白質(zhì)對豬日增重影響極其顯著，胱氨酸及蛋氨酸的影響不顯著，推測飼料中不缺乏這兩種氨基酸。表6-23豬增重試驗(yàn)方差分析表第103頁/共144頁方差分析的數(shù)據(jù)一般都是根據(jù)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)事先設(shè)計(jì)好的，缺一不可。意外事件常使某一個或某幾個數(shù)據(jù)丟失，比如收獲的作物可能遭到毀壞，動物可能有死亡，或者在記錄時可能漏記或記錯等等。數(shù)據(jù)的缺失使平方和的線性可加模型無效，因此無法直接進(jìn)行方差分析。缺失的數(shù)據(jù)可用統(tǒng)計(jì)方法從理論上估計(jì)出，用計(jì)算出的數(shù)據(jù)去彌補(bǔ)缺失的數(shù)據(jù)，這樣就可以用前面介紹過的方法進(jìn)行分析。第104頁/共144頁第五節(jié)方差分析缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)缺失一個數(shù)據(jù)的估計(jì)方法缺失兩個數(shù)據(jù)的估計(jì)方法使補(bǔ)上缺失的數(shù)據(jù)后，誤差平方和最小。彌補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)的原則有一點(diǎn)必須明確，缺失數(shù)據(jù)估計(jì)并不能恢復(fù)原來的數(shù)據(jù)，只能是補(bǔ)足后不致于干擾其余數(shù)據(jù)，估計(jì)的數(shù)據(jù)并不能提出任何新的信息，因此，試驗(yàn)中應(yīng)盡量避免這類情況發(fā)生。注意第105頁/共144頁B1B2B3B4B5B6B7B8總和A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA32737362437413343278A43042354046473846324總和124164112+x1491761711441761216+x上表中x23是缺失的，需要補(bǔ)上。表6-24缺失一個數(shù)據(jù)試驗(yàn)結(jié)果表缺失一個數(shù)據(jù)的估計(jì)方法第106頁/共144頁B1B2B3B4B5B6B7B8總和A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA32737362437413343278A43042354046473846324總和124164112+x1491761711441761216+x誤差的平方和第107頁/共144頁為了SSe

達(dá)到最小，第108頁/共144頁B1B2B3B4B5B6B7B8總和A13039414242393838309A23746434351443549348A32737362437413343278A43042354046473846324總和1241641551491761711441761259由于缺失數(shù)據(jù)是估計(jì)值，當(dāng)缺失一個數(shù)據(jù)時，總自由度應(yīng)當(dāng)減1。表6-24缺失一個數(shù)據(jù)試驗(yàn)結(jié)果表缺失一個數(shù)據(jù)的估計(jì)方法因素A和因素B的自由度仍是(a-1)和(b-1)，誤差自由度也相應(yīng)減1。第109頁/共144頁B1B2B3B4B5B6B7B8總和A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA3273736243741y43245+yA43042354046473846324總和124164112+x149176171111+y1761183+x+y缺失二個數(shù)據(jù)的估計(jì)方法表6-25缺失二個數(shù)據(jù)試驗(yàn)結(jié)果表第110頁/共144頁使SSe

極小，應(yīng)滿足經(jīng)整理，解得：x＝42.97，y＝30.57即：第111頁/共144頁缺失的數(shù)據(jù)補(bǔ)上后進(jìn)行方差分析時，總自由度dfT和誤差自由度dfe均減2。缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)值是使誤差平方和為最小的值。因此，處理項(xiàng)平方和是向上偏欹的。但是，若缺失數(shù)據(jù)不是很多，對處理平均數(shù)之間的檢驗(yàn)不會有太大的影響。第112頁/共144頁由于誤差自由度減小，F(xiàn)檢驗(yàn)的靈敏度相應(yīng)降低，對分析問題是不利的，補(bǔ)救的數(shù)據(jù)只是不干擾方差分析，并不能提供丟失的信息，所以進(jìn)行試驗(yàn)時，要謹(jǐn)慎小心，盡量避免數(shù)據(jù)的丟失。在缺失數(shù)據(jù)估計(jì)出來之后，將估計(jì)值填到缺失的位置上，然后，按一般方差分析方法進(jìn)行分析，只要把總自由度和誤差自由度項(xiàng)減去缺失數(shù)據(jù)即可。第113頁/共144頁對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析是有條件的，即方差分析的有效性建立在一些基本假定上。如果分析的數(shù)據(jù)不符合這些基本假定，得出的結(jié)論就不會正確。一般地說，在試驗(yàn)設(shè)計(jì)時，就應(yīng)考慮方差分析的條件。第114頁/共144頁第六節(jié)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換基本假定正態(tài)性可加性方差同質(zhì)性第115頁/共144頁試驗(yàn)誤差是服從正態(tài)分布的獨(dú)立的隨機(jī)變量。非正態(tài)分布的資料進(jìn)行適當(dāng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)后，也能進(jìn)行方差分析。正態(tài)性方差分析只能估計(jì)隨機(jī)誤差，順序排列或順序取樣資料不能作方差分析。應(yīng)用方差分析的資料應(yīng)服從正態(tài)分布，即每一觀測值Xij應(yīng)圍繞相應(yīng)的平均數(shù)呈正態(tài)分布。第116頁/共144頁可加性方差分析的每一次觀察值都包含了總體平均數(shù)、各因素主效應(yīng)、各因素間的交互效應(yīng)、隨機(jī)誤差等部分，這些組成部分必須以疊加的方式綜合起來，即每一個觀察值都可視為這些組成部分的累加和。方差分析的數(shù)學(xué)模型明確提出了處理效應(yīng)與誤差效應(yīng)應(yīng)該是“可加的”，正是由于這一“可加性”，才有了樣本平方和的“可加性”，亦即有了試驗(yàn)觀測值總平方和的“可剖分”性。第117頁/共144頁可加性可加性是否顯著有專門的統(tǒng)計(jì)方法。方差分析的數(shù)學(xué)模型均為線性可加模型，其理論分析是建立在線性統(tǒng)計(jì)模型的基礎(chǔ)上的，這正說明可加性性是方差分析的重要先決條件。如果試驗(yàn)資料不具備這一性質(zhì)，那么變量的總變異依據(jù)變異原因的剖分將失去根據(jù)，方差分析不能正確進(jìn)行。第118頁/共144頁方差同質(zhì)性誤差異質(zhì)將使檢驗(yàn)中某些處理效應(yīng)得到錯誤的結(jié)果。如有方差異質(zhì)的現(xiàn)象，可將變異特別明顯的數(shù)據(jù)剔除；或者將試驗(yàn)分成幾個部分分析，使每部分具有同質(zhì)的方差。各個處理觀測值總體方差σ2應(yīng)是相等的，即不同處理不能影響隨機(jī)誤差的方差。只有這樣，才有理由以各個處理均方的合并均方作為檢驗(yàn)各處理差異顯著性的共同的誤差均方。第119頁/共144頁正態(tài)性可加性方差同質(zhì)性理論分析：數(shù)據(jù)具有正態(tài)性統(tǒng)計(jì)分析：方差齊性檢驗(yàn)兩個總體方差是否相等的檢驗(yàn)：F檢驗(yàn)。在方差分析中若要對方差齊性進(jìn)行檢驗(yàn)，必然涉及多個總體方差進(jìn)行比較。如兩兩進(jìn)行多次比較，會增加第一類錯誤的可能性。常用的多總體方差齊性檢驗(yàn)：對數(shù)方差分析、巴勒特檢驗(yàn)、Fmax檢驗(yàn)。第120頁/共144頁正態(tài)性可加性方差同質(zhì)性進(jìn)行方差分析的基本前提或基本假定。如果在分差分析前發(fā)現(xiàn)有某些異常的觀測值、處理或單位組，只要不屬于研究對象本身的原因，在不影響分析正確性的條件下應(yīng)加以刪除。第121頁/共144頁樣本的非正態(tài)性、不可加性和方差的異質(zhì)性通常連帶出現(xiàn)，主要的是考慮處理效應(yīng)與誤差效應(yīng)的可加性，其次才考慮方差同質(zhì)性。數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換有些資料就其性質(zhì)來說就不符合方差分析的基本假定。其中最常見的一種情況是處理平均數(shù)和均方有一定關(guān)系（如泊松分布和二項(xiàng)式分布）。對這類資料不能直接進(jìn)行方差分析，而應(yīng)考慮采用非參數(shù)方法分析或進(jìn)行適當(dāng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后再作方差分析。第122頁/共144頁平方根轉(zhuǎn)換對數(shù)轉(zhuǎn)換反正弦轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換第123頁/共144頁平方根轉(zhuǎn)換特點(diǎn)：對方差的降縮作用較強(qiáng)。樣本平均數(shù)與其方差有比例關(guān)系，采用平方根轉(zhuǎn)換可獲得同質(zhì)的方差。適用于各組均方與其平均數(shù)之間有某種比例關(guān)系的資料，尤其適用于總體呈泊松分布的資料。第124頁/共144頁表6-26燕麥田中某種雜草的株數(shù)35.2537.7585.25413.00395.75xi20165231538047787151377319326316142244221817775384381A5A4A3A2A1處理表6-27燕麥田中某種雜草的株數(shù)的平方根5.75.89.020.219.8xi4.54.07.217.719.548.89.312.319.417.935.15.67.820.521.024.24.18.823.220.91A5A4A3A2A1處理方差異質(zhì)第125頁/共144頁變異來源dfSSs2FF0.05F0.01處理間4866.663216.66646.425**3.064.89處理內(nèi)1569.9954.667總變異19936.658表6-28燕麥田中某種雜草的株數(shù)平方根轉(zhuǎn)換后方差分析第126頁/共144頁資料中的效應(yīng)成比例而不是可加的，或者標(biāo)準(zhǔn)差（或極差）與平均數(shù)大體成比例時。對數(shù)轉(zhuǎn)換通常，對數(shù)轉(zhuǎn)換對于削弱大變數(shù)的作用要比平方根轉(zhuǎn)換強(qiáng)。對數(shù)變換用于穩(wěn)定方差，如果原變量的標(biāo)準(zhǔn)差直接隨均數(shù)變化而改變，即其變異系數(shù)為一常數(shù)，當(dāng)效應(yīng)是成比例的而不是可加的時候，應(yīng)用對數(shù)變換可以同時改善效應(yīng)的可加性與方差齊性。第127頁/共144頁時期捕蛾燈對數(shù)值ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ119.150.1123.01.281.702.09223.4166.0407.41.372.222.61339.5223.9398.11.602.352.60423.458.922