高考數(shù)學(xué)玩轉(zhuǎn)壓軸題專(zhuān)題71與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的數(shù)學(xué)考題

專(zhuān)題7.1與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的數(shù)學(xué)考題一、方法綜述：關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)文化的意識(shí)的養(yǎng)成，努力推進(jìn)數(shù)學(xué)文化的教育，已經(jīng)成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教師與改革的一個(gè)重要特征，在新課改的數(shù)學(xué)命題中，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)得到足夠的重視，但并沒(méi)由得到應(yīng)有的落實(shí)，造成數(shù)學(xué)文化教學(xué)的缺失的根本原因在于教師自身數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的缺乏，令人欣喜的是在近幾年的高考試題中已經(jīng)開(kāi)始有意識(shí)的進(jìn)行嘗試和引導(dǎo)，在眾多的經(jīng)典試題中，湖北卷的數(shù)學(xué)文化題更超凡脫俗和出類(lèi)拔萃，因此，我們特別策劃了此專(zhuān)題，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，選取典型樣題深度解讀，希望能夠給予廣大師生的復(fù)習(xí)備考以專(zhuān)業(yè)的幫助與指導(dǎo).二、解答策略：類(lèi)型一、取材數(shù)學(xué)游戲游戲可以讓數(shù)學(xué)更加好玩，在游戲中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，或蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理的智力游戲可籠統(tǒng)地稱(chēng)為數(shù)學(xué)游戲，把數(shù)學(xué)游戲改編為高考試題，既不失數(shù)學(xué)型，又能增加了考題的趣味性，充分體現(xiàn)了素質(zhì)教育與大眾數(shù)學(xué)的理念。例1、五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的數(shù)是3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次。已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依次循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為 。探究提高：以數(shù)學(xué)游戲?yàn)樗夭牡拿聘呖碱}目，創(chuàng)造了既寬松又競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境，拉近了考生與數(shù)學(xué)的心理距離，但要注意游戲素材的選擇應(yīng)與考生的實(shí)際生活密切相關(guān)，便于考生更好地理解游戲。例如：2012年高考湖北卷第13題“回文數(shù)”，考查排列、組合和歸納推理等知識(shí)。本題以此為背景，以簡(jiǎn)單的游戲?yàn)榉治鲇?jì)算對(duì)象，考查學(xué)生的閱讀理解能力和合情推理能力。舉一反三：回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。女022,,11,3443,94249等。顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33…，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121,…，191,202,…，999。則4位回文數(shù)有個(gè)；2n+1(n￡N+)位回文數(shù)有個(gè)。【解析】按照回文數(shù)的定義，1位回文數(shù)有1,2",…9等g個(gè)，又已知2位回文數(shù)有g(shù)個(gè)，3位回文數(shù)有90=9父1。個(gè)，4位回文數(shù)有1001,1111,……,1991,2002,…，的匆，共90=9區(qū)10個(gè)，5位回文數(shù)有9Ml1個(gè)，6位回文數(shù)有9父1"個(gè)，…以此類(lèi)推，故猜想2n+1(neN.)位回文數(shù)與2n+2(neN.)位回文數(shù)個(gè)數(shù)相等，均為9x10n個(gè).類(lèi)型二、取材數(shù)學(xué)名著如數(shù)學(xué)家的傳記、數(shù)學(xué)演講報(bào)告、數(shù)學(xué)講義等，這些都是命制考題好的素材，從中選取一段有關(guān)的數(shù)學(xué)素材，突出索要考查的數(shù)學(xué)知識(shí)，在引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)知能并重的同時(shí)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例2、【2018百校聯(lián)盟聯(lián)考】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：”今有金維，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為a.(i=1,2，…,10),TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"且a<a<…<a，若48a=5M，則i=( )A.4B.5C.6D.7解析：由題意知,由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為設(shè)公差為血?jiǎng)t廣+叼=:人":;：:，解得研=竺不」，\o"CurrentDocument"%+0^=4 + =4 16 8所以該金杖的總重量城=1。M生+吐父,=15,\o"CurrentDocument"16 2 8丫4阻=5M二贊+ =75,解得？=5,故選C.探究提高：本題主要考查閱讀能力、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于中檔題等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類(lèi)基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量4,d,n,an,Sn,,一般可以“知二求三”，通過(guò)列方程組所求問(wèn)題可以迎刃而解，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程舉一反三：【2017屆江西省贛州市高三上學(xué)期期末考試】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：”有一個(gè)走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則該人第五天走的路程為()A.48里B.24里C.12里D.6里【答案】C2

丐Hl.物【解析】設(shè)第一天走的路程為%里,則———=37&,%二192所以%=a±所以%=a±x14(-)=192￥1.H=12,故選C.類(lèi)型三、取材數(shù)學(xué)名題數(shù)學(xué)名題具有非凡的魅力，它常常蘊(yùn)涵深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容、經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法或與一些數(shù)學(xué)大師相關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)名題能持續(xù)地是命制試題的重點(diǎn)取材之一。例3、在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書(shū)中，用如圖1所示的三角形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士?帕斯卡的著作（1655年）介紹了這個(gè)三角形.近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó)，所以有些書(shū)上稱(chēng)這是“中國(guó)三角形"Chinesetriangle）如圖1,17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式：Cr+Cr+1=Cr±1,其中n是行數(shù)，r^N.請(qǐng)類(lèi)比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是nn n+1圖1II1113 6 311114 圖1II1113 6 311114 12 12 41XXJ_1520302051 x X X X 16 30 60 60 30 6圖21C1C1Cr+1.

n+2n+1C1Cr C1 Crn+1n n+2n+1解析類(lèi)比觀察得,將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)十，而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱n+1之?dāng)?shù)，故類(lèi)比式子Cr+Cr+1=Cr+1,有nn n+1

答案二+"Z二=~~答案C1 Cr C1 Cr+1 C1 Crn+2n+1 n+2n+1 n+1n探究提高：《九章算術(shù)》大約成書(shū)于公元1世紀(jì)，是中國(guó)古代最著名的傳世數(shù)學(xué)著作，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完成的體系，本題取材《九章算術(shù)》與著名的17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”相結(jié)合考查了組合數(shù)的運(yùn)算，很好的把中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著和歐洲數(shù)學(xué)有解的結(jié)合在一起，進(jìn)行和合理命題。舉一反三：【2017屆河南省安陽(yáng)市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)】三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱(chēng)為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱(chēng)為朱實(shí)、黃實(shí)，利用2X勾X股+（股-勾）2-4X朱實(shí)+黃實(shí)一弦實(shí)，化簡(jiǎn)，得勾2+股2-弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1力3,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）A.866B.500C.300D.134【答案】D【解析】由題意，大正方形的邊長(zhǎng)為小中間小正形的邊長(zhǎng)為湎-L則所求黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1000k類(lèi)型四、取材數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)猜想是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力之一，是數(shù)學(xué)發(fā)展中最活躍、最主動(dòng)、最積極的因素，也是人類(lèi)理性中最富有創(chuàng)造性的部分，數(shù)學(xué)猜想一旦被證明，就將轉(zhuǎn)化為定理，從而豐富數(shù)學(xué)理論，即使被否定或不能被證實(shí)，也常常能給數(shù)學(xué)帶來(lái)不可預(yù)期的成果，數(shù)學(xué)猜想是命制考題的好素材，它包含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法。例4、古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來(lái)研究數(shù)，例如：

他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10,…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù);類(lèi)似地，稱(chēng)圖2中的1,4,9,16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)一=；但+1),同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)九=儲(chǔ)，貝I］由4=*但￡川」可排除kD,又由但+1)知%必為奇數(shù)，故選二探究提高：合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理。數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向。合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確。而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)。舉一反三：我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：”今有金維，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為ai(i=1,2,…，10,且a<a<…<a，若48a=5M，則i=( )A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由題意知，由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an},設(shè)公差為d,則f2a+d=2 15,1 ... f2a+d=2 15,1 ... ……1510x91-,{c1 ，解得a= ,d=—，所以該金杖的總重量M=10x+—--x—=15,2a+17d=4 116 8 16 2 81{1 2a+a=448a=5M,TJI+（i）x8175，解得i=6,故選c.類(lèi)型五、取材數(shù)學(xué)圖形例5、一幅圖勝過(guò)一千字，”數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”圖形不僅包含大量信息，而且形象直觀，生動(dòng)絢麗，還能展示數(shù)學(xué)之美，圖形是數(shù)學(xué)總要的組成部分，高考試題中自然少不了這樣的試題，同時(shí)能較好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，甚至富有詩(shī)意的數(shù)學(xué)圖形?！?018北京豐臺(tái)二?！垦帩舛?PlasmaConcentration)是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：-最低中毒制度(MTQ4 5；6 7S 10 11 12?小時(shí)j!*——持堞期' 』!我留期根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中，不正確的個(gè)數(shù)是???①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒③每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用④首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：對(duì)于①，由圖象中最低有效濃度與體內(nèi)血港濃度的第一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可知正確;對(duì)于②.當(dāng)?shù)诙€(gè)單位的藥服用一小時(shí)時(shí)的血灑濃度為峰濃度，此時(shí)第一個(gè)單位的藥物已服用三小時(shí),此時(shí)血灌濃度必超過(guò)最低中毒濃度,因此一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒,正確;對(duì)于③，由圖知，每間隔5.5小時(shí)服用該藥物,血灌濃度都在最低有效濃度之上,正確;對(duì)于④，苜次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位,過(guò)一個(gè)小時(shí)之后,第二個(gè)單位的藥物達(dá)到峰濃度,兩個(gè)單位的藥物的血液濃度仍超過(guò)最低中毒濃度，故錯(cuò)誤;綜上可知,應(yīng)選A.探究提高：本題考查根據(jù)圖象識(shí)別信息的能力,屬于中檔題目.觀察圖象提供的信息,準(zhǔn)確的獲取信息是解題關(guān)鍵.由圖象可得函數(shù)先增后減，在t=1時(shí)取到極大值，在血液濃度所對(duì)應(yīng)的值超過(guò)最低中毒濃度時(shí),會(huì)發(fā)生藥物中毒,因此兩次服藥的間隔不能太小,需要看是否有兩次藥效之和超過(guò)最低值.舉一反三：【2018廣東湛江二?！磕钞a(chǎn)品進(jìn)入商場(chǎng)銷(xiāo)售，商場(chǎng)第一年免收管理費(fèi)，因此第一年該產(chǎn)品定價(jià)為每件70元，年銷(xiāo)售量為11.8萬(wàn)件，從第二年開(kāi)始，商場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品征收銷(xiāo)售額的1%的管理費(fèi)（即銷(xiāo)售100元要征收X元），于是該產(chǎn)品定價(jià)每件比第一年增加了 x%元，預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量減少x萬(wàn)件，要使第二年-x%商場(chǎng)在該產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)中收取的管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元，則x的最大值是（ ）A.2B.6C.8.5D.10【答案】DI【解析】第二年年銷(xiāo)售量為1LE-4萬(wàn)件，定價(jià)為每件70+上集=翌1,第二年商場(chǎng)在該產(chǎn)品經(jīng)1%100-x營(yíng)中收取的管理費(fèi)。1上—x）- 之14,解得2工工工1口，則工的最大值是如.選D.類(lèi)型六、取材數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)代科學(xué):數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)代科學(xué)泛指最近一段時(shí)間國(guó)內(nèi)外發(fā)生的數(shù)學(xué)方面的大事，被廣大媒體和公眾共同關(guān)注，具有方向性和短暫性和聚焦性等特點(diǎn)，命題專(zhuān)家從一段時(shí)事材料中甄選一個(gè)角度，簡(jiǎn)明扼要的交代時(shí)事背景，抽象出數(shù)學(xué)模型，突出索要考查的數(shù)學(xué)問(wèn)題，類(lèi)似于文科綜合卷中的時(shí)事材料，既能達(dá)到一般試題的考查效果，又能融入肥厚的數(shù)學(xué)文化，平添點(diǎn)滴生活氣息。例6、2016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過(guò)了探月工程重大專(zhuān)項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過(guò)，正式開(kāi)始實(shí)施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道H繞月飛行.若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和H的焦距，用2al和2a2分別表示橢圓軌道cc_I和n的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：①a+c=a+c；②a—c=a—c；?^<^；④ca>ac.TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2 1 1 2 2aa12 121 2其中正確式子的序號(hào)是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解析觀察圖形可知a1>a2,c1>c2，??.a1+c1>a2+c2，即①式不正確；a]—C]=a2—C2=|PF|,即②式正確；由31—01=32—c2>0,cJc/0,知仁《二&,即與（與，從而ca>ac,與>&.即④式正確，③式不正確，答案Dcccc 1212aa2 12 12探究提高1.命題者抓住“嫦娥奔月”這個(gè)古老而又現(xiàn)代的浪漫話題，以探測(cè)衛(wèi)星軌道為背景，抽象出共一條對(duì)稱(chēng)軸、一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)橢圓的幾何性質(zhì)，并以加減乘除的方式構(gòu)造兩個(gè)等式和兩個(gè)不等式，考查橢圓的幾何性質(zhì)，可謂匠心獨(dú)運(yùn).2.注意到橢圓軌道I和n共一個(gè)頂點(diǎn)p和一個(gè)焦點(diǎn)F,題目所給四個(gè)式子涉及長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和半焦距，從焦距入手，這是求解的關(guān)鍵，本題對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行了比較全面的考查，是一道名副其實(shí)的小中見(jiàn)大、常中見(jiàn)新、蘊(yùn)文化于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)應(yīng)用之中的好題.舉一反三：12.12017屆貴州省黔東南州高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)】秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入乂的值為3,每次輸入口的值均為4,輸出$的值為484,則輸入門(mén)的值為A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】由程序框圖,得E=&4七5=4同+4-=2萬(wàn)=263+4=52*=箝s=4KS2+4=160,k=4;s=160?3+4=52rk=5；結(jié)束循環(huán).即輸入口的值為4.故選C.三、強(qiáng)化訓(xùn)練：1.12017課標(biāo)1,理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

A.C.nB.一A.C.nB.一8nD.一4【答案】B【解析】由題意可知，此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例，由圖可知其概率11<P<不，故選B。422.12017課標(biāo)II,理3］我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞【答案］B【解析】設(shè)塔的頂層共有元盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為工，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有：爺鄉(xiāng)=381,解得尤=3,即塔的頂層共有3盞，故選E。.【2017屆河北省石家莊市第二中學(xué)高三下學(xué)期模擬聯(lián)考］在《九章算術(shù)》中有一個(gè)古典名題“兩鼠穿墻”問(wèn)題：今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢？大意是有厚墻五尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.問(wèn)幾天后兩鼠相遇？（ ）【答案］［解析］由題意得，可先估計(jì)，兩天不夠，三天有多，設(shè)需要x天，11 2則可得1+2+4~2）+1+1+j（x-2）一5,解得乂-2”故選A..【2017屆安徽省江南十校高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)］《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)字名著，書(shū)中《均屬章》有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等.問(wèn)各德幾何.”其意思為“已知心B、C、D、F五人

A、B兩人所得與C、D、A、B兩人所得與C、D、F三人所得相同，且A、B、C、D、F每人所得依次成等差數(shù)列.問(wèn)五人各得多少錢(qián)?A.一錢(qián)”（“錢(qián)”是古代的一種重量單位）.在這個(gè)問(wèn)題中，F(xiàn)所得為（）B.［錢(qián)5 3C.［錢(qián) D.錢(qián)【答案】【解析】設(shè)《B,dGE每人所得依次為％聲”聲“5x4

5a,+ -d=S由題設(shè)丐?咒?叫?/?日5=S且%艮國(guó)1 2 =2aL?d=3at-i-9d故%二=7應(yīng)選答案乩.【2017屆廣西玉林市、貴港市高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)】《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為（ ）A.2B.A.2B.4C.4+4J2D.6+4J?【答案】D【解析】由三視圖知,該幾何體是底面為斜邊邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,高為2的直三棱柱,所以該幾何體的表面積為22-…也故選表面積為2.【2017屆重慶市高三上學(xué)期第一次診斷模擬（期末）】我國(guó)古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書(shū)之一的《九章算術(shù)》有一衰分問(wèn)題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣（）A.104人B.108人C.112人D.120人【答案】B【解析】解析：由題設(shè)可知這是一個(gè)分層抽樣的問(wèn)題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為8100 8100300x 300x 108,則A「B—[1,2）,應(yīng)選答案B.8100+7488+6912 22500 -10

.【河北省衡水中學(xué)2017屆高三下學(xué)期三調(diào)】關(guān)于圓周率人數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如注明的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)n的值：先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，Y）；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，V）的個(gè)數(shù)DTOC\o"1-5"\h\z最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)F估計(jì)n的值，假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是口一34,那么可以估計(jì)n的值約為（ ）22 47 51 53A.——B.——C.——D.——7 15 16 17【答案】B【解析】如圖，點(diǎn)僅削在以。為鄰邊的正方形內(nèi)部，正方形面積為1,黑爐能構(gòu)成鈍角三角形的三邊,x+v>1 11 -n— 47則t?1，如圖弓形內(nèi)部，面積為F-r由題意4234,解得tt=—,故選E.x+y<1 42 =—— 251 120.【2017屆四川省簡(jiǎn)陽(yáng)市期末檢測(cè)數(shù)學(xué)】齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則齊王的馬獲勝概率為（）A.：C.1B.D.A.：C.1B.D.【答案】B3+2+12【解析】齊王的馬獲勝概率為不丁-［選B.11

.【江西省鷹潭市2017屆高三第一次模擬考試】如圖的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入口，3的值分別為6,8,。，則輸出a和的值分別為（）A.2，4B.乙5C.0，4D.為（）A.2，4B.乙51解析】模擬執(zhí)行程序框圖，可得：a=6.b=8,i=0,不滿足不滿足"b,b=8-6=2J=2,滿足石>b,3=6-2=4,i=箝滿足a>b,s=4-2=2J=4；不滿足"AL滿足"L輸出目的值為2,i的值為4,故選A.10.12017屆福建省莆田市高三下學(xué)期質(zhì)量檢查考試】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有如下問(wèn)題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問(wèn)積幾何？”設(shè)每層外周枚數(shù)為，如圖是解決該問(wèn)題的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A.121B.81C.74D.49【答案】B12

【解析】滿足日S32，第一次循環(huán):S=Ln=2月=8s滿足，第二次循環(huán):S=吼ri=3.a=16s滿足日s32,第三次循環(huán)：S=25m=4.a=2&y滿足者532,第四次循環(huán)：5=49,n=5,a=32y滿足者532,第五次循環(huán):S=BLn=6閏=40.故選B..【湖北省穩(wěn)派教育2017屆高三一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)】斐波拉契數(shù)列0,1,1,2,3,5,8…是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列，定義如下：F（。）-。,「⑴-1，「（n）-F（n-1）+F（n-2）（n〉2,ntN）,某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)求解斐波拉契數(shù)列前15項(xiàng)和的程序框圖，那么在空白矩形框和判斷框內(nèi)應(yīng)分別填入的語(yǔ)句是（）A.c-”<14B.b-c,i《A.c-”<14B.b-c,i《14C.c-a,i<15D.b-c,i《1.5【答案】B【解析】依題意知，程序框圖中變量專(zhuān)為累加變量，變量，9（其中C=8+b）為數(shù)列連續(xù)三項(xiàng)，在每一次循環(huán)中，計(jì)算出，的值后，變量b的值變?yōu)橄乱粋€(gè)連續(xù)三項(xiàng)的第一項(xiàng)九即z=b,變量〈的值為下一個(gè)連續(xù)三項(xiàng)的第二項(xiàng)b,即b=<,所以矩形框應(yīng)填入b=G又程序進(jìn)行循環(huán)體前第一次計(jì)算，的值時(shí)已計(jì)算出數(shù)列的前兩項(xiàng)，因此只需要循環(huán)12次就完成，所以判斷框中應(yīng)填入i￡14.故選B..【江西省紅色七校2017屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考】下邊程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框圖（圖中“mMODn”表示“，1除以■?:的余數(shù)），若輸入的m,n分別為485,135,則輸出的m=（）13

A.0B.5C.25D.45【答案】B【解析】當(dāng)m-485,n一A.0B.5C.25D.45【答案】B【解析】當(dāng)m-485,n一135時(shí)，V-8。，此時(shí)m-135,n一8。，進(jìn)入循環(huán)，y-55,m一80,n一55，進(jìn)入循環(huán)，v-25,m-55,n-2.5，進(jìn)入循環(huán)，V-5, ，進(jìn)入循環(huán)，y-0,m一5,n一0此時(shí)退出循13.12017屆安徽省江南十校高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）】中國(guó)的計(jì)量單位可以追溯到4000多年前的氏族社會(huì)末期，公元前221年，秦王統(tǒng)一中國(guó)后，頒布同一度量衡的詔書(shū)并制發(fā)了成套的權(quán)衡和容量標(biāo)準(zhǔn)器下圖是古代的一種度量工具“斗”（無(wú)蓋，不計(jì)量厚度）的三視圖（其正視圖和側(cè)視圖為等腰梯形）則此“斗”D.6000【答案】B【解析】由題設(shè)提供的三視圖可知該幾何體是一個(gè)上下底邊長(zhǎng)分別為正方形的四棱臺(tái)，其體積V=J400+100+200)K12=2300,應(yīng)選答案民14.【河南省安陽(yáng)市2017屆高三第二次模擬考試】北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要數(shù)學(xué)成就之一為隙積術(shù)，所謂隙14積，即“積之有隙”者，如累棋、層壇之類(lèi)，這種長(zhǎng)方臺(tái)形狀的物體垛積.設(shè)隙積共層，上底由-b個(gè)物體組成，以下各層的長(zhǎng)、寬依次各增加一個(gè)物體，最下層(即下底)由>^個(gè)物體組成，沈括給出求隙積中n n物體總數(shù)的公式為s-小2b+d)a+(b+2d)c]+Jc-a).已知由若干個(gè)相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所示，則該垛積中所有小球的個(gè)數(shù)為()僻視圖A.8,3B.弘C.85D.S6【答案】C【解析】從題設(shè)及三視圖中所提供的圖形信息和數(shù)據(jù)信息可知 ”3加一1,匚一7,八5,>5,代入公式5 5x4920255S|Q+5)x3+([+：0)x7]+[7—3) + 85.應(yīng)選答案C.6 3 6 316.12017屆遼寧省大連育明高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期末考試】意大利數(shù)學(xué)家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列" ： ,即「(1)一「(2)一1,「(川一「(廿1)+「(—)23E(5),此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列出),b20D=.【答案】1【解析】由題意得〉引入仃兔子數(shù)列”：&1235X13,乳34.55的,144,233,■3此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為1.12022比0.1,12。.221,9“構(gòu)成以網(wǎng)頁(yè)為周期的周期數(shù)列，所以耳皿/1.17.【廣西南寧市2017屆高三第一次適應(yīng)性測(cè)試】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金維，長(zhǎng)五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)155尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由細(xì)到粗是均勻變化的，其重量為M.現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段，記第段的重量為凡「二2,…二0）,［口］＜力＜…＜尺。，若；一SM則【答案】6【解析】這是一個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題，由題意得金杖的重量-卜（2+4）一15斤，且匚二］；設(shè)數(shù)列口」的公15 1 13i差為d，則求得--高，八,-'-a,--+----48a1-5M,： +6.75,解得-6.18.【河南省洛陽(yáng)市2017屆高三第二次統(tǒng)一考試（3月）】意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,12358,.該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列口」稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，則（a1a3~a22）+（a2a4-a32）+（a3a5^4?）+…+^3201532017~32016-二 -【答案】1【解析】anan+2-an!l+an+ian+3-an+2=aa、+aJ-a?+an）-a2=aa、+a4a「a2、

nn+2n+1'n+1n+31n+2nn+2n+In+2n+2-九+九J-3：，-312一312-0,所以所求式等于-2-1-1?19.【河北省衡水中學(xué)2017屆高三下學(xué)期三調(diào)】在公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出:“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比"，此即\/_1＜）1歐幾里得未給出k的值.17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式V-kD」中的常數(shù)k稱(chēng)為“立圓率”或“玉積率”.類(lèi)似地，對(duì)于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式U-kD,求體積（在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，口表示棱長(zhǎng)）.假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為口）、等邊圓柱（底面圓的直徑為口）、正方體（棱長(zhǎng)為口）的“玉積率”分別為k,與，"，那么1〈.北二與一7T7T【答案】161解析】由題意得】球的體積為%=-口/=-口【-『=4=>1<1=-3 、3 32 6 16等邊圓柱的體積為％=JiR、=n(-12a=-a5=>k2=-j正方體的體積可廣了=與二1〉所以L20.【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2017年第一次高考模擬考試】進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，不同進(jìn)制之間可以相互轉(zhuǎn)化，例如把十進(jìn)制的89轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，根據(jù)二進(jìn)制數(shù)“滿二進(jìn)一”的原則，可以用2連續(xù)去除89得商，然后取余數(shù)，具體計(jì)算方法如下：89=2x44+144-2x22+022-2x11+0-2x5+15=2x2+l2-2x1+0l-2x0+l把以上各步所得余數(shù)從下到上排列，得到89-這種算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法，稱(chēng)為“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化為七進(jìn)制數(shù)為.【答案】1百門(mén)【解析】由題設(shè)中提供的計(jì)算方法可得89=7x12+5-7x1+51=7x0+1把以上各步所得余數(shù)從下到上排列，得到89-155m，應(yīng)填答案21.【河北省邢臺(tái)市2017下學(xué)期第一次月考】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一個(gè)，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適11重一斤.問(wèn)本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金，第2關(guān)收稅金為剩余金的《第3111關(guān)收稅金為剩余金的7第4關(guān)收稅金為剩余金的不第5關(guān)收稅金為剩余金的95關(guān)所收稅金之和，恰好1斤.問(wèn)原來(lái)持金多少？”若將題中“5關(guān)所受收稅金之和，恰好重1斤.問(wèn)原來(lái)持金多少？”改成“假設(shè)這個(gè)人原來(lái)持金為x,按此規(guī)律通過(guò)第8關(guān)”，則第8關(guān)需收稅金為x.【答案】:17【解析】由題設(shè)可知第一關(guān)需收稅金1第二關(guān)需收稅金上卻第三關(guān)需收稅金則以此規(guī)TOC\o"1-5"\h\z2 23 23412345671 1 1律可推測(cè)到第八關(guān)時(shí)，應(yīng)收稅金為f=應(yīng)填答案一.23456789 72 1122.【河南省焦作市2017