二次函數(shù)(考點(diǎn)強(qiáng)化)(解析版)

專題12二次函數(shù)

一、考向分析

二次函數(shù)是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等

式、幾何知識等結(jié)合在一起綜合考查，且一般為壓軸題.中考命題不僅考查二次函數(shù)的概念、

圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，而且注重多個知識點(diǎn)的綜合考查以及對學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問

題能力的考查.

二、思維導(dǎo)圖

??般地.再如〉--ar*?AJ曲語效

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三、最新考綱

1.理解二次函數(shù)的有關(guān)概念.

2.會用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì).

3.會根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移.

4.熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關(guān)的實(shí)際問題.

5.會用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.

四、考點(diǎn)強(qiáng)化

【考點(diǎn)總結(jié)】一、二次函數(shù)的概念

一般地，如果>=加+瓜+03,b,c是常數(shù)，存0),那么y叫做x的二次函數(shù).

注意：(1)二次項(xiàng)系數(shù)W0;

(2)加+笈+匕,必須是整式；

(3)一次項(xiàng)可以為零，常數(shù)項(xiàng)也可以為零，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以同時為零;

(4)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

【考點(diǎn)總結(jié)】二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

二次函數(shù))，=加+笈+。(〃，力，c,為常數(shù)，c#0)

二A

/A"

圖象

(?>0)(?<0)

開口方向開口向上開口向下

直線x=一工

對稱軸直線

(b_4ac-lr\(b_4〃c—吟

頂點(diǎn)坐標(biāo)

\2a'4a)

當(dāng)一裊時，)'隨x的增大而減??；當(dāng)一W時，y隨x的增大而增大；

增減性

當(dāng)x>—5時，>隨x的增大而增大h

當(dāng)x>一五時，y隨x的增大而減小

wb*曰?..4ac-b1

最值當(dāng)X——2a時，y有取小值4a當(dāng)》一一2°時，V有最大值4a

【考點(diǎn)總結(jié)】三、二次函數(shù)圖象的特征與a,b,c及Z/—4ac的符號之間的關(guān)系

項(xiàng)目

字W字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

6=0對稱軸為建

bab>0（b與a同號）對稱軸在F軸左側(cè)

a/rCO（b與a異號）對稱軸在、軸右側(cè)

c=0經(jīng)過原點(diǎn)

cc>0與》軸正半軸相交

c<0與》軸負(fù)半軸相交

62-4?c=0與X軸有唯一交點(diǎn)（頂點(diǎn)）

62-4acIf—4ac>0與彳軸有兩個交點(diǎn)

/一4,“〈0與l軸沒有交點(diǎn)

【考點(diǎn)總結(jié)】四'二次函數(shù)圖象的平移

拋物線>與y=q（x—%）2,>=加+左，y=〃（x—〃）2十左中間相同，則圖象的形狀和大小

都相同,只是位置的不同.

上加下減

y=ax2ay=ax\k

向

向

右

右

0M

VV

。

。))

、

、

左

左

左

左

加

M加M

右

<右<

00

減

)減)

平

平

移

移

與

三

一

個

個

單

單

位

位

向上（&）、下依<）平移向個單位

2>002

y=a(^c-h)上加下減尹y=a(x-h)+k

【考點(diǎn)總結(jié)】五、二次函數(shù)關(guān)系式的確定

設(shè)一般式：y—<vc+bx+c（a^0）.

若已知條件是圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)一般式>=加+法+c（存0）,將已知條件代入，求出a,b,C的值.

【考點(diǎn)總結(jié)】六'二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1.二次函數(shù)），=加+法+<?（〃和），當(dāng)y=0時、就變成了五+以+0=0（存0）.

2.加+桁+。=0（辱0）的解是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3.當(dāng)/=〃-4%>0時，拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)；

當(dāng)/=〃一4ac=0H寸，拋物線與x軸有一個交點(diǎn)；

當(dāng)-4①<0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

五、新題解析

一、單選題

1.(202卜西安市第二十三中學(xué)九年級一模)已知二次函數(shù)了=4(%-根)2(“>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

A(-l,p),B(3應(yīng))，且〃<9,則m的取值范圍是()

A.m<-\B.m<\C.-l<m<1D.m>\

【答案】B

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到或壯-1,解得即可.

【詳解】

解：?.?二次函數(shù)y=a(x-/n)2(a>0),

,它的圖象開口向上，對稱軸為直線x=

?.?圖象經(jīng)過點(diǎn)A(—l,p),B(3,q),且〃<4，

/.m+1<3一根或叫，—1,

解得加<1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?河南許昌市?九年級一模)如圖1,在等邊三角形A8C和矩形OEFG中，AC=OE,點(diǎn)C,D,G

都在直線/上，且AC，/于點(diǎn)C,DEL于點(diǎn)D,且。，B,E三點(diǎn)共線，將矩形。EFG以每秒1個單位長度

的速度從左向右勻速運(yùn)動，直至矩形DEFG和△ABC無重疊部分，設(shè)矩形。EFG運(yùn)動的時間為f秒，矩形

QEFG和AA8C重疊部分的面積為S,圖2為S隨/的變化而變化的函數(shù)圖象，則函數(shù)圖象中點(diǎn)，的縱坐標(biāo)

是()

圖1

A.我

B.25/3C.

【答案】C

【分析】

根據(jù)圖2可知在第3秒時矩形DEFG和4ABC重疊部分的面積最大，求出重疊面枳即可得解.

【詳解】

解：在圖2的函數(shù)圖象中，點(diǎn)H的意義為第3秒時矩形?！闒G和△ABC重疊部分的面積最大,

根據(jù)題意知，矩形DEFG以每秒1個單位長度的速度從左向右勻速運(yùn)動,

又?若矩形。EFG和△ABC重疊部分的面積最大時，D在C處,

；.CD=3

如圖,

:第5秒時，S=0,

；.G在C處,

，GD+CD=5

，GD=2

在等邊三角形BPQ和等邊三角形ABC中，NMBC=30。，MB=3,BN=MB-MN=3-2=1

ABC=2CM,BQ=2QN

由勾股定理得，QN=Y，，CM=y/3

3

???AC=CM=25PQ=2QN=^5

3

SAABC=—XACXBM=-x2\/3x3=3>/3

22

<1DC瓶1I2百百

SARPQ--XPQXBN=—xlx------=——

2233

當(dāng)矩形DEFG^lAABC重疊部分的面積最大時，則有：

S-SAABC-SABPQ=3V3———■———■yfi

33

二點(diǎn)”的縱坐標(biāo)是

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形面積公式以及函數(shù)圖象，明確點(diǎn)H的意義是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2021.內(nèi)蒙古呼和浩特市.九年級三模)以下四個命題：

①如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5,那么這個三角形是直角三角形；

②在實(shí)數(shù)-7.5,厲，4,^21,-it,(0)2中，有4個有理數(shù)，2個無理數(shù)；

③有一個圓錐，與底面圓直徑是道且體積為叵的圓柱等高，如果這個圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么

2

4

它的母線長為一：

3

④二次函數(shù)y=奴2-lax+1,自變量的兩個值x”x2對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi,y2,若|加-1|>|%2-1|,則a(yi-y2)>0.

其中正確的命題的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

①根據(jù)三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5,分別求出這三個角，即可判斷.

②根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷.

③設(shè)圓錐的高為從底面半徑為r,母線長為R,根據(jù)題意可推出R:r=2:l,即可求出〃=2叵，得出結(jié)論

3

4

取+產(chǎn)=R2,從而求出R=一，即可判斷.

3

④該二次函數(shù)的對稱軸為直線戶1,分情況討論當(dāng)4<0時和4>0時，角和”的大小，即可判斷。(》少2)是否

大于0.

【詳解】

3

①如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5,則這個三角形的三個角分別為180°x±=45。、

12

45

180°x—=60°,180°x—=75°,所以這個三角形不是直角三角形，故原命題是假命題；

1212

②在實(shí)數(shù)-7.5,岳,4,強(qiáng)7=-3,-兀，(0/=2中，-7.5,后7=-3,4,(0>=2為有理數(shù)共4個，

不為無理數(shù)共2個，故原命題是真命題：

③設(shè)圓錐的高為人，底面半徑為r,母線長為R,根據(jù)題意得2萬「=粵”，則R:r=2:l.由力(3)2人=走萬

18022

得力=2叵.因?yàn)樾?/=R2,即(亞)2+]_尸=7?2」!|舊=&(負(fù)值舍去)，即它的母線長是*,故原

33433

命題是真命題；

④二次函數(shù)丁=依2_26+1圖象的對稱軸是直線戶1,若“<0時，如圖：

V|X1-l|>|X2-lb

；?丁1勺2,

a(y\-yi)>Q.

當(dāng)a>0時，同理可證a(yi-y2)>0,故原命題是真命題.

綜上所述，正確的命題的個數(shù)為3個.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理.掌握三角形內(nèi)角和定理，有理數(shù)和無理數(shù)的定義，弧長的計算，勾股定理以及二

次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2021.內(nèi)蒙古呼和浩特市.九年級三模）已知m#）,函數(shù)y=-mx2+nVy=—在同一直角坐標(biāo)系中的大致

x

圖象可能是（）

【答案】B

【分析】

先根據(jù)拋物線判斷m,n的正負(fù)性,再判斷反比例函數(shù)圖像所在象限，逐一驗(yàn)證各個選項(xiàng)，即可得到答案.

【詳解】

則雙曲線丫=理應(yīng)該位于第一、三象限，故本選項(xiàng)錯誤;

A.由拋物線知-m<0,即m>0,n>0,所以mn>0,

X

則雙曲線廣吧■位于第一、三象限，故本選項(xiàng)正確；

B.由拋物線知-m>0,即m<0,n<0,所以mn>0,

X

則雙曲線丫=吧應(yīng)該位于第二、四象限，故本選項(xiàng)錯誤;

C.由拋物線知-m<0,即m>0,n<(),所以mn<0,

X

則雙曲線丫=吧應(yīng)該位于第一、三象限，故本選項(xiàng)錯誤.

D.由拋物線知-m>0,即m<0,n<0,所以mn>0,

X

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)圖形綜合，熟練掌握二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

5.（2021?廣東陽江市.九年級一模）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（一2,0）,且對稱軸為直線x=l,其部

分圖象如圖所示.對于此拋物線有如下四個結(jié)論：①b=2a；②4a+2b+c>0；③若n>m>0,則x=l+m

時的函數(shù)值小于x=l—n時的函數(shù)值；④點(diǎn)一或,0一定在此拋物線上.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【分析】

由題意易得x=-2=l,a<0,b>0,c>0,拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,進(jìn)而可得拋物線

2a

的對稱性可得與X軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,然后問題可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由拋物線丫=2*2+6乂+（:經(jīng)過點(diǎn)（一2,0）,且對稱軸為直線x=l,可得：

h

x=----=1,a<0,b>0,c>0,

2a

：.b^-2a,故①錯誤；

...根據(jù)拋物線的對稱性可得與X軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,

當(dāng)x=2時，貝U有y=4a+2/?+c,

?.,當(dāng)x21時，y隨x的增大而減小，

：.4a+2b+c>0,故②正確；

;拋物線開口向下，對稱軸為直線x=l,

?,?橫坐標(biāo)是l?n的點(diǎn)的對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+n,

若n>m>0,

I+n>1+m,

?,.x=l+m時的函數(shù)值大于x=l-n時的函數(shù)值，故③錯誤；

Vb=-2a,拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（一2,0）,

?二0=4a+4a+c,即c=-8a,

-=4,

2a

點(diǎn)1—三,0）一定在此拋物線上，故④正確；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?安徽九年級一模）如圖，平行四邊形ABCQ中，AB=20cm,8C=30cm,NA=60。，點(diǎn)尸從點(diǎn)A出

發(fā)，以lOcms的速度沿A-B-C-。作勻速運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以6cms的速度沿4。作勻速運(yùn)動，

直到兩點(diǎn)都到達(dá)終點(diǎn)為止.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為s）,△APQ的面積為S（cm2）,則S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系的圖象

大致是（）

【答案】B

【分析】

先分點(diǎn)P在AB、BC、CD邊三種情況分別求出函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式得到函數(shù)圖象，從而得到正確選

項(xiàng).

【詳解】

①如圖，當(dāng)P在AB邊上時，作高PH,

則PH=APBinA=10，義=5品，AQ=6t,

S=-AQVPH==15^r(0<t<2),此時圖像為拋物線的一部分，且開口向匕

22

②當(dāng)P在邊BC上時，如圖，

,此時圖象為正比例函數(shù)的一部分，是一條上升的線

段;

則PH=DPBin60。=10(7—。心.=3573-5后

2

S=gAQUPH=-5回=-15舟+10573(5<r<7),

此時圖象為拋物線的一部分，且開口向下；

綜上所述，S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是B,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵在于分段討論函數(shù)的解析式從而得到綜合圖象.

7.（2021?山東臨沂市?九年級一模）二次函數(shù)丁=辦2+必+,（。工0）圖象的一部分如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（一1,加），與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,0）,給出以下結(jié)論：①而c>0；②4a—2/7+c>0；③若

C（—5,必）為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則X<>2；④當(dāng)-3<x<0時方程ox?+云+c=f有實(shí)數(shù)

根，則r的取值范圍是其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】

由拋物線的開口方向判斷。與o的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷。與o的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物

線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】

①函數(shù)的對稱軸在y軸左側(cè)，故而>o,而c>o,故必c>o正確，符合題意：

②由圖像可以看出x=-2時，y=4a-2b+c>0正確，符合題意；

③若8（—■!，%）、C（—g,%）為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，函數(shù)的對稱軸為x=—l，點(diǎn)C比點(diǎn)5離對稱軸近，故

正確，符合題意；

④當(dāng)一3<%<0時方程ax2+bx+c=t有實(shí)數(shù)根，即y=ax?+區(qū)+。與y=r有交點(diǎn)，故則f的取值范圍是

正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圖像與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2。與。的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方

程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵.

8.（2021?上海金山區(qū)?九年級一模）已知二次函數(shù)y=（x—2『-1,那么該二次函數(shù)圖像的對稱軸是（)

A.直線x=2B.直線x=-2C.直線尤=1D.直線x=—1

【答案】A

【分析】

根據(jù)頂點(diǎn)式坐標(biāo)直接得到二次函數(shù)圖象的對稱軸.

【詳解】

解：?.?二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是y=(x-2p—1,

函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象對稱軸的求解方法.

二、解答題

9.(2021.西安市第二十三中學(xué)九年級一模)如圖，拋物線y=/+2x-c與x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸分別

交于點(diǎn)A,C,且。4=OC,它的對稱軸為直線/.

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)P是直線AC上方對稱軸上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQLAC于點(diǎn)0.若PQ=PO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x2+2x-3；(-D；⑵尸(-1,2+而或(-1,2-兩

【分析】

(1)令x=(),可得y=-c,得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-c),根據(jù)。4=OC表示出A的坐標(biāo)為(-c,0),將其

代入y=f+2x-c,可得關(guān)于c的一元二次方程，解方程可得c的值，繼而即可求解;

（2）根據(jù)點(diǎn)A、C坐標(biāo)易得l」Q4C為等腰直角三角形，直線AC的表達(dá)式為y=一》-3,設(shè)直線1與直線AC

PD

的交點(diǎn)為D.易知APQD為等腰宜角三角形，繼而可知PQ，根據(jù)對稱軸和直線AC求出點(diǎn)D坐標(biāo),

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（T,機(jī)），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得尸=加2+1?。=m+2,2。2=若空，由

PQ=PO可得關(guān)于m的方程，解方程即可求解.

【詳解】

解：（1）???拋物線y=x2+2x-c與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,

；?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-c）.

?；Q4=0C，且點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一c,0）.

,拋物線y=X?+2x-c經(jīng)過點(diǎn)A,

c2-2c-c=0-

解得q=o（舍去），c2=3.

.??拋物線的表達(dá)式為y=f+2x—3.

,/y=x2+2x-3=（x+l）2-4,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）.

（2）；A點(diǎn)的坐標(biāo)為（一3,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-3）,

:.DOAC為等腰直角三角形，宜線AC的表達(dá)式為y=-*一3,

ZOC4=45°.

設(shè)直線1與直線AC的交點(diǎn)為D.

軸，

ZPDA=ZOCA=45°.

???PQLAC,

，△PQ。為等腰直角三角形，

???PQ卷

當(dāng)x=—l時，>=一%一3=-2,.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-2).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,而)，

則P02=m2+l,PD=m+2,PQ2=""丁.

；PO=PQ,

解,得m=2土V6.

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(—1,2+指)或(—1,2—#).

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及到待定系數(shù)法求解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、

兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會數(shù)形結(jié)合的思想.

10.(2021.河南許昌市.九年級一模)拋物線y=x2-2ax-a-3與x軸交于點(diǎn)4,B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。

(4,-4-3)在拋物線的圖象上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)現(xiàn)規(guī)定平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)為“不動點(diǎn)”.已知點(diǎn)N(M,//),QW)是拋物線y

=N-2or-〃-3圖象上的“不動點(diǎn)”，點(diǎn)，是點(diǎn)N,。之間拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)M。重合)，求點(diǎn)〃的縱

坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】(1)y=x2-4x-5；(2)-9<y<“3石.

2

【分析】

(1)把點(diǎn)D坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a,問題得解；

（2）先根據(jù)"不動點(diǎn)''的定義求出N、Q的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線性質(zhì)確定對稱軸、開口方向，得到點(diǎn)N、Q

位于對稱軸兩側(cè)，求出拋物線圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可確定點(diǎn)H取值范圍.

【詳解】

解：（1）?.?點(diǎn)￡）（4,-。-3）在拋物線），=N-2ax-a-3的圖象上，

??16-8a-a-3=-a-3

解得a=2,

???拋物線解析式為y=r-4x-5；

（2）點(diǎn)、NGN,）w）,Q（如鬼）是拋物線y=/-4x-5圖象上的“不動點(diǎn)”，

.*.x2-4x-5=x,

BPx2-5片5=0,

2

人一，（5+3后5+361（5-3囪5-3石）

.??點(diǎn)N、Q的坐標(biāo)分別為一-一，一-一、一-一，一--,

I22八22J

由拋物線y=x2-4x-5得對稱軸為x=2,開口向上；

.?.N、Q位于對稱軸兩側(cè)，

圖象有最低點(diǎn)，坐標(biāo)為（2,-9）,

二點(diǎn)”的縱坐標(biāo)的取值范圍為-9Vy〈旺電.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，拋物線的性質(zhì)等知識，理解"不動點(diǎn)''的定義，構(gòu)造方程求出點(diǎn)N、Q坐標(biāo)

是解題關(guān)鍵.

11.（2021?河南許昌市?九年級一模）臨近新年，某玩具店計劃購進(jìn)一種玩具，其進(jìn)價為30元/個，已知售價

不能低于成本價.在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)該玩具每天的銷售量y（個）與售價x（元/個）之間滿足一次函數(shù)關(guān)

系，y與尤的幾組對應(yīng)值如表：

X40455055

y80706050

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果規(guī)定該玩具每天的銷售量不低于46件，當(dāng)該玩具的售價定為多少元/個時，每天獲取的利潤卬最

大，最大利潤是多少？

【答案】(1)y=—2X+160；(2)當(dāng)銷售單價x為55兀時，日銷售利潤最大，最大利潤是125()兀.

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)日銷售利潤=一個玩具的利潤x日銷售量即可求出函數(shù)關(guān)系式，配方可得最大利潤.

【詳解】

解：(1)y=kx+b(k/0),

40k+6=80

根據(jù)題意得:

50%+。=60

，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+160；

(2)?.?該玩具每天的銷售量不低于46件，售價不能低于成本價，

.-2%+160>46

??*?

%>30

解得：30<x<57,

設(shè)銷售利潤為w元，

則w=(x-3())(-2x+160)

=-2x2+220%-4800

=-2(x-55『+1250,

V-2<0,

,當(dāng)x=55時，w有最大值為1250,且55在30至57之間，符合題意，

答：當(dāng)銷售單價x為55元時，日銷售利潤最大，最大利潤是1250元.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意，找到關(guān)鍵描述語，求出函數(shù)的解析式，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

12.(2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市?九年級一模)2020年是脫貧攻堅收官之年，為貫徹落實(shí)黨中央全面建成小康

社會的新部署，某貧困地區(qū)的廣大黨員干部深入農(nóng)村積極開展“精準(zhǔn)扶貧”工作.如果將農(nóng)村家庭人均年純收

入8000元作為一個標(biāo)準(zhǔn)，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未達(dá)標(biāo).2019年7月，為估計該地區(qū)能否在2020年底達(dá)

到上述標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計了當(dāng)時該地某一貧困家庭2019年1至6月的人均月純收入，匯總?cè)缦拢?/p>

月份代碼123456

人均月純收（元）310350390430470510

根據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)該家庭人均月純收入y與月份代碼x之間具有一次函數(shù)關(guān)系（記2019年1月、2月、…、2020

年1月、…分別為尤=1,x=2,x=13?...?依此類推）.

由于新冠肺炎疫情的影響，該家庭2020年第一季度每月人均月純收入只有2019年12月人均月純收入的三

分之二.根據(jù)以上信息，完成以下問題.

（1）求該家庭人均月純收入y與月份代碼X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若疫情沒有暴發(fā)，2020年底該家庭能否達(dá)到人均年純收入8000元的標(biāo)準(zhǔn)？

（3）2020年3月初開始，在當(dāng)?shù)攸h員干部的扶持下，該家庭的人均月純收入y與月份代碼x之間滿足二次

函數(shù)），=/+放+。的關(guān)系.若該家庭2020年12月人均月純收入不低于1400元，求。的最小值.

（4）若以該家庭2020年3月人均月純收入為基數(shù)，以后每月的增長率為。，為了使該家庭2020年底能達(dá)

到人均年純收入8000元的標(biāo)準(zhǔn)，a至少為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

._______________J01

（參考數(shù)據(jù)：“52+4x120x4*62.81）（參考公式:l+x+/+…+x9=----；（1+a）|（^：1+10<z+45a2+120a3

'x-\

（⑷<0.15）.

【答案】⑴y=40x+270；（2）2020年底該家庭能達(dá)到人均年純收入8000元的標(biāo)準(zhǔn)；（3）一的最小值為61；

（4）a至少應(yīng)為0.07.

【分析】

（1）由待定系數(shù)法可以得到所求函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)（I）得到的函數(shù)關(guān)系式求解可以得到答案；

（3）根據(jù)（1）所得函數(shù)關(guān)系式及已知條件可以用b表示出c,再根據(jù)2020年12月的月收入情況可以得到

關(guān)于b的不等式，解不等式即可得到b的最小值；

（4）由題意可以得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得解.

【詳解】

（1）設(shè)人均月純收入y與月份代碼X之間的函數(shù)表達(dá)式為y^kx+m,

3]0=kITIA:=40,

將數(shù)據(jù)(L310),(2,350)代入得:《；“,'解得,

350=2k+m,m=270,

故函數(shù)表達(dá)式為y=40x+270.

(2)2020年1月對應(yīng)x=13,2020年12月對應(yīng)x=24,

則2020年該家庭的人均年純收入為12個月人均月純收入之和，

即(13x40+270)+(14x40+270)+…+(24x40+270)=270x12+40x(13+14+…+24)=12120>8000,

故2020年底該家庭能達(dá)到人均年純收入8000元的標(biāo)準(zhǔn).

(3)該家庭2019年12月人均月純收入為:12x40+270=750(元)

2

該家庭2020年3月份的人均月純收入為750x-=500(元)；

3

由題意得,152+15b+c=500,二c=275-15b,又242+24b+c>1400,Ab>61,

故b的最小值為61.

(4)由題意,1000+500+500(1+a)+500(1+a)2+...+500(1+a)9>8000,

得500((1+a)-11uooo,其中(I+a)+10a+45a2+120a3(|a|<0.15),整理得:120a2+45a-4>0.

tz+1-1

令120a2+45a-4=0.得a=一45±J45-+4xl20x&..一戶007a20045,

240

故不等式的解集為a￡0.45(舍去)或a>0.07,.*.a至少應(yīng)為0.07.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、一元

一次不等式與一元二次不等式的求解是解題關(guān)鍵.

13.(2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市?九年級三模)如圖，一次函數(shù)丫=