重慶大學(xué)機(jī)械振動(dòng)與噪聲控制

重慶大學(xué)機(jī)械振動(dòng)與噪聲控制第一頁(yè)，共110頁(yè)。機(jī)械振動(dòng)與噪聲控制

第一章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)振動(dòng)理論與應(yīng)用TheoryofVibrationwithApplications2第二頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3第三頁(yè)，共110頁(yè)。關(guān)于單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的概念典型的單自由度系統(tǒng):彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)

梁上固定一臺(tái)電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無(wú)重彈簧，系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)4第四頁(yè)，共110頁(yè)。天津大學(xué)2.1.1自由振動(dòng)方程2.1.2振幅、初相位和頻率

2.1.3等效剛度系數(shù)

2.1.4扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)5第五頁(yè)，共110頁(yè)。2.1.1自由振動(dòng)方程當(dāng)物塊偏離平衡位置為x距離時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為其中取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程彈簧的靜變形固有圓頻率返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)6第六頁(yè)，共110頁(yè)。其通解為：其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)，可解返回首頁(yè)2.1.1自由振動(dòng)方程TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)7第七頁(yè)，共110頁(yè)。兩種形式描述的物塊振動(dòng)，稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)自由振動(dòng)。另一種形式無(wú)阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)初相位角

振幅返回首頁(yè)2.1.1自由振動(dòng)方程TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)8第八頁(yè)，共110頁(yè)。2.1.2振幅、初相位和頻率系統(tǒng)振動(dòng)的周期系統(tǒng)振動(dòng)的頻率系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為圓頻率

是物塊在自由振動(dòng)中每2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。f、

只與振動(dòng)系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量m有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。因此，通常將頻率f稱(chēng)為固有頻率，圓頻率

稱(chēng)為固有圓頻率。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)9第九頁(yè)，共110頁(yè)。用彈簧靜變形量dst表示固有圓頻率的計(jì)算公式

物塊靜平衡位置時(shí)固有圓頻率返回首頁(yè)2.1.2振幅、初相位和頻率TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)10第十頁(yè)，共110頁(yè)。2.1.3等效剛度系數(shù)單自由度線(xiàn)性系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程等效的概念這一方程，可以等效為廣義坐標(biāo)的形式返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)11第十一頁(yè)，共110頁(yè)。串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度例在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。解：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二彈簧變形相等。

振動(dòng)過(guò)程中，物塊始終作平行移動(dòng)。處于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是dst，而彈性力分別是

系統(tǒng)平衡方程是返回首頁(yè)2.1.3等效剛度系數(shù)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)12第十二頁(yè)，共110頁(yè)。如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來(lái)兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則 k稱(chēng)為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。系統(tǒng)的固有頻率返回首頁(yè)2.1.3等效剛度系數(shù)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)13第十三頁(yè)，共110頁(yè)。（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二彈簧受力相等。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，它的靜位移dst等于每根彈簧的靜變形之和，即dst=d1st+d2st

由于每根彈簧所受的拉力都等于重力mg，故它們的靜變形分別為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于返回首頁(yè)2.1.3等效剛度系數(shù)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)14第十四頁(yè)，共110頁(yè)。如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于k稱(chēng)為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和返回首頁(yè)2.1.3等效剛度系數(shù)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)15第十五頁(yè)，共110頁(yè)。組合彈簧的等效剛度例質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計(jì)，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2,又AC=a，AB=b，求物塊的自由振動(dòng)頻率。解：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplicationsC2.1.3等效剛度系數(shù)2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)16第十六頁(yè)，共110頁(yè)。彈性梁的等效剛度例一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從h的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長(zhǎng)為的簡(jiǎn)支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率、振幅和最大撓度。返回首頁(yè)2.1.3等效剛度系數(shù)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)解：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來(lái)代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形則求出系統(tǒng)的固有頻率17第十七頁(yè)，共110頁(yè)。由材料力學(xué)可知，簡(jiǎn)支梁受集中載荷作用，其中點(diǎn)靜撓度為求出系統(tǒng)的固有頻率為中央受集中載荷的簡(jiǎn)支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為返回首頁(yè)2.1.3等效剛度系數(shù)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)18第十八頁(yè)，共110頁(yè)。以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系，并以撞擊時(shí)刻為零瞬時(shí)，則t=0時(shí)，有自由振動(dòng)的振幅為梁的最大撓度

返回首頁(yè)2.1.3等效剛度系數(shù)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)19第十九頁(yè)，共110頁(yè)。2.1.4扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等效系統(tǒng)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)扭振。扭振系統(tǒng)稱(chēng)為扭擺。OA為一鉛直圓軸，圓盤(pán)對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO。在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定OA的質(zhì)量略去不計(jì)，圓盤(pán)的位置可由圓盤(pán)上任一根半徑線(xiàn)和該線(xiàn)的靜止位置之間的夾角來(lái)決定，稱(chēng)扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使圓盤(pán)產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)20第二十頁(yè)，共110頁(yè)。根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程扭振的運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，盡管前述直線(xiàn)振動(dòng)和當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動(dòng)形式均不一樣，但其振動(dòng)規(guī)律、特征是完全相同的。

固有圓頻率返回首頁(yè)2.1.4扭轉(zhuǎn)振動(dòng)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)21第二十一頁(yè)，共110頁(yè)。圖(a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進(jìn)一步簡(jiǎn)化的等效系統(tǒng)。并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)返回首頁(yè)2.1.4扭轉(zhuǎn)振動(dòng)TheoryofVibrationwithApplications2.1無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)22第二十二頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.2計(jì)算固有頻率的能量法第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)23第二十三頁(yè)，共110頁(yè)。當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，x=0,速度為最大，勢(shì)能為零，動(dòng)能具有最大值Tmax；當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而勢(shì)能具有最大值Vmax。由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒用能量法計(jì)算固有頻率的公式

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.2計(jì)算固有頻率的能量法24第二十四頁(yè)，共110頁(yè)。例船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿BD對(duì)于支點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IE,求重物P在鉛直方向的振動(dòng)頻率。已知彈簧AC的彈簧剛度系數(shù)是k。解：這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿BD自水平的平衡位置量起的角來(lái)決定。系統(tǒng)的動(dòng)能設(shè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)方程角速度為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications系統(tǒng)的最大動(dòng)能為2.2計(jì)算固有頻率的能量法25第二十五頁(yè)，共110頁(yè)。如取平衡位置為系統(tǒng)的勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為。此時(shí)，彈性力Fst=k,方向向上。該系統(tǒng)的勢(shì)能返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.2計(jì)算固有頻率的能量法26第二十六頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.3瑞利法第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)27第二十七頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動(dòng)能計(jì)入系統(tǒng)的總動(dòng)能，仍按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱(chēng)為瑞利法。應(yīng)用瑞利法，首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動(dòng)位形。等效質(zhì)量

l對(duì)于圖示系統(tǒng)，假設(shè)彈簧上各點(diǎn)在振動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)的位移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截面的靜變形一樣。根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。依據(jù)此假設(shè)計(jì)算彈簧的動(dòng)能，并表示為集中質(zhì)量的動(dòng)能為2.3瑞利法28第二十八頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications例在圖示系統(tǒng)中，彈簧長(zhǎng)l，其質(zhì)量ms。求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率。左端距離為

的截面的位移為，則d

彈簧的動(dòng)能為l

d

假設(shè)彈簧各點(diǎn)在振動(dòng)中任一瞬時(shí)的位移和一根直桿在一端固定另一端受軸向載荷作用時(shí)各截面的靜變形一樣，解：令x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量m的位移。2.3瑞利法29第二十九頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)30第三十頁(yè)，共110頁(yè)。阻尼－系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤(rùn)滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。物體運(yùn)動(dòng)沿潤(rùn)滑表面的阻力與速度的關(guān)系c－粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)。它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓·米/秒(N·s/m)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng)31第三十一頁(yè)，共110頁(yè)。運(yùn)動(dòng)微分方程圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選x軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程特征方程特征根返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng)n衰減系數(shù)，單位1/秒(1/s)solutionoftheform

32第三十二頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)特征根與運(yùn)動(dòng)微分方程的通解的形式與阻尼有關(guān)強(qiáng)阻尼（n>pn）情形臨界阻尼(n=pn

)情形阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響運(yùn)動(dòng)微分方程特征根返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications33第三十三頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過(guò)阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置，并不作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原來(lái)的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動(dòng)，這樣才能既快又準(zhǔn)確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿(mǎn)足這種要求。34第三十四頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)強(qiáng)阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形這兩種情形下，運(yùn)動(dòng)不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減引入阻尼比＝1>1Otx返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications35第三十五頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)弱阻尼(<1)情形（n<pn）

特征根其中其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)，可解C1=x0

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications36第三十六頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)另一種形式初相位角

振幅這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為p

d，衰減速度取決于p

n，二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications37第三十七頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)T=2p/pn為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期。阻尼對(duì)周期的影響欠阻尼自由振動(dòng)的周期Td

：物體由最大偏離位置起經(jīng)過(guò)一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。由于阻尼的存在，使衰減振動(dòng)的周期加大。通常z很小，阻尼對(duì)周期的影響不大。例如，當(dāng)z=0.05時(shí)，Td=1.00125T，周期Td僅增加了0.125%。當(dāng)材料的阻尼比z<<1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期相等。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications38第三十八頁(yè)，共110頁(yè)。設(shè)衰減振動(dòng)經(jīng)過(guò)一周期Td，在同方向的相鄰兩個(gè)振幅分別為Ai和Ai+1，即兩振幅之比為稱(chēng)為振幅減縮率或減幅系數(shù)。如仍以z

=0.05為例，算得,物體每振動(dòng)一次，振幅就減少27%。由此可見(jiàn)，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著，它是按幾何級(jí)數(shù)衰減的。

返回首頁(yè)2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)阻尼對(duì)周期的影響TheoryofVibrationwithApplications39第三十九頁(yè)，共110頁(yè)。振幅減縮率的自然對(duì)數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)減縮率或?qū)?shù)減幅系數(shù)，以d表示例在欠阻尼（z<1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線(xiàn)的包絡(luò)線(xiàn)上，已測(cè)得相隔N個(gè)周期的兩點(diǎn)P、R的幅值之比xP/xR=r，如圖所示，試確定此振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比z。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)40第四十頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.4.2庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)根據(jù)牛頓第二定律得質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)微分方程為41第四十一頁(yè)，共110頁(yè)。2.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.4.2庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)根據(jù)牛頓第二定律得質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)微分方程為42第四十二頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)43第四十三頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.1振動(dòng)微分方程2.5.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.5.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系2.5.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系2.5.5等效粘性阻尼2.5.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

44第四十四頁(yè)，共110頁(yè)。受迫振動(dòng)激勵(lì)形式－系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。－外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。簡(jiǎn)諧激勵(lì)是最簡(jiǎn)單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 45第四十五頁(yè)，共110頁(yè)。2.5.1振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧激振力F0為激振力的幅值，w為激振力的圓頻率。以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次常微分方程。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 46第四十六頁(yè)，共110頁(yè)。簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)－全解有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5.1振動(dòng)微分方程2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 47第四十七頁(yè)，共110頁(yè)。有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications

x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：2.5.1振動(dòng)微分方程2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 48第四十八頁(yè)，共110頁(yè)。這表明：穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)是與激勵(lì)頻率相同的諧振動(dòng)。穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5.1振動(dòng)微分方程2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 49第四十九頁(yè)，共110頁(yè)。2.5.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論則有若令返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 50第五十頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 51第五十一頁(yè)，共110頁(yè)。幅頻特性與相頻特性1、＝0

的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，，＝0，響應(yīng)與激勵(lì)同相；對(duì)于不同的值，曲線(xiàn)密集，阻尼影響不大。返回首頁(yè)2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，，，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝pn稱(chēng)為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)愈陡峭。在相頻特性曲線(xiàn)圖上，無(wú)論阻尼大小，＝1時(shí)，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。TheoryofVibrationwithApplications2.5.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 52第五十二頁(yè)，共110頁(yè)。例題例質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速w轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 53第五十三頁(yè)，共110頁(yè)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有=h返回首頁(yè)例題TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 54第五十四頁(yè)，共110頁(yè)。電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速。

返回首頁(yè)例題TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 55第五十五頁(yè)，共110頁(yè)。阻尼比z較小時(shí)，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當(dāng)→0時(shí)，≌0，B→0；當(dāng)>>1時(shí)，→1，B→b，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于。

幅頻特性曲線(xiàn)和相頻特性曲線(xiàn)返回首頁(yè)例題TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 56第五十六頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系已知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為現(xiàn)將各力分別用B、的旋轉(zhuǎn)矢量表示。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫(xiě)成式不僅反映了各項(xiàng)力之間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力57第五十七頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications（a）力多邊形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系58第五十八頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系59第五十九頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.彈性力做的功能量曲線(xiàn)表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。

在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系60第六十頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.5等效粘性阻尼在工程實(shí)際中，振動(dòng)系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜。為了便于振動(dòng)分析，經(jīng)常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡(jiǎn)化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。假設(shè)在簡(jiǎn)諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)做的功粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量相等等效粘性阻尼系數(shù)61第六十一頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications利用式得到在該阻尼作用下受迫振動(dòng)的振幅2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.5等效粘性阻尼62第六十二頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications庫(kù)侖阻尼阻尼力表示為一周期內(nèi)庫(kù)侖阻尼消耗的能量為

等效粘性阻尼系數(shù)

得到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅表達(dá)式求速度平方阻尼等效粘性阻尼系數(shù)

相等2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.5.5等效粘性阻尼63第六十三頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.5.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。先考慮在給定初始條件下無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫(xiě)在一起為通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和,即64第六十四頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications共振時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義,時(shí)上式是型,利用洛必達(dá)法則算出共振時(shí)的響應(yīng)為

2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.5.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段65第六十五頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications可見(jiàn),當(dāng)時(shí),無(wú)阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限增大.經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間后,共振響應(yīng)可以表示為此即共振時(shí)的受迫振動(dòng).反映出共振時(shí)的位移在相位上比激振力滯后,且振幅與時(shí)間成正比地增大

2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.5.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段圖共振時(shí)的受迫振動(dòng)66第六十六頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications如果初始位移與初始速度都為零，則成為可見(jiàn)過(guò)渡階段的響應(yīng)仍含有自由伴隨振動(dòng)。

2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.5.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段過(guò)渡階段的響應(yīng)67第六十七頁(yè)，共110頁(yè)。在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由三部分組成無(wú)激勵(lì)時(shí)自由振動(dòng)的初始條件響應(yīng)，其振幅與激勵(lì)無(wú)關(guān)。伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生的自由振動(dòng)－自由伴隨振動(dòng)，其振幅不僅與系統(tǒng)特性有關(guān)，而且與激勵(lì)有關(guān)。以激勵(lì)頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅不隨時(shí)間衰減－穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。第一部分和第二部分振動(dòng)的頻率都是自由振動(dòng)頻率pd；由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時(shí)間而衰減。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.5.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段68第六十八頁(yè)，共110頁(yè)。若系統(tǒng)無(wú)阻尼，即使在零初始條件下，也存在自由伴隨振動(dòng)項(xiàng)，并且由于無(wú)阻尼，因而振動(dòng)不會(huì)隨時(shí)間衰減。因此，無(wú)阻尼系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)產(chǎn)生的受迫振動(dòng)，一般總是pn和兩個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.5.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段69第六十九頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫振動(dòng)理論的應(yīng)用第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)70第七十頁(yè)，共110頁(yè)。天津大學(xué)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.6.1積極隔振2.6.2消極隔振2.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫振動(dòng)理論的應(yīng)用71第七十一頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications回轉(zhuǎn)機(jī)械、鍛壓機(jī)械等在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的振動(dòng)，影響其周?chē)沫h(huán)境；有些精密機(jī)械、精密儀器又往往需要防止周?chē)h(huán)境對(duì)它的影響。這兩種情形都需要實(shí)行振動(dòng)隔離，簡(jiǎn)稱(chēng)隔振。

隔振可分為兩類(lèi):一類(lèi)是積極隔振，即用隔振器將振動(dòng)著的機(jī)器與地基隔離開(kāi)；另一類(lèi)是消極隔振，即將需要保護(hù)的設(shè)備用隔振器與振動(dòng)著的地基隔離開(kāi)。這里說(shuō)的隔振器是由一根彈簧和一個(gè)阻尼器組成的模型系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中隔振器通常選用合適的彈性材料及阻尼材料，如木材、橡膠、充氣輪胎、沙子等等組成。2.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫振動(dòng)理論的應(yīng)用72第七十二頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.6.1積極隔振振源是機(jī)器本身。積極隔振是將振源隔離，防止或減小傳遞到地基上的動(dòng)壓力，從而抑制振源對(duì)周?chē)h(huán)境的影響。積極隔振的效果用力傳遞率或隔振系數(shù)來(lái)衡量，定義為其中H和HT分別為隔振前后傳遞到地基上的力的幅值。在采取隔振措施前，機(jī)器傳遞到地基的最大動(dòng)壓力Smax=H。機(jī)器與地基之間裝上隔振器。系統(tǒng)的受迫振動(dòng)方程為激振力2.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫振動(dòng)理論的應(yīng)用73第七十三頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.6.1積極隔振此系統(tǒng)的受迫振動(dòng)方程為此時(shí)，機(jī)器通過(guò)彈簧、阻尼器傳到地基上的動(dòng)壓力即F和R是相同頻率，在相位上相差的簡(jiǎn)諧力。根據(jù)同頻率振動(dòng)合成的結(jié)果，得到傳給地基的動(dòng)壓力的最大值2.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫振動(dòng)理論的應(yīng)用74第七十四頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.6.2消極隔振振源來(lái)自地基的運(yùn)動(dòng)。消極隔振是將需要防振的物體與振源隔離，防止或減小地基運(yùn)動(dòng)對(duì)物體的影響。消極隔振的效果也用傳遞率表示，定義為B為隔振后傳到物體上的振動(dòng)幅值b地基運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)幅值。地基為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)隔振后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅為2.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫振動(dòng)理論的應(yīng)用75第七十五頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.7周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)76第七十六頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications

2.7周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

先對(duì)周期激勵(lì)作諧波分析，將它分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)。然后，求出系統(tǒng)對(duì)各個(gè)頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)。再由線(xiàn)性系統(tǒng)的疊加原理，將每個(gè)響應(yīng)分別疊加，即得到系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)。設(shè)粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力諧波分析方法，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為周期基頻77第七十七頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications由疊加原理，并考慮欠阻尼情況，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

2.7周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 78第七十八頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications例彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期性矩形波的激勵(lì)。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(其中)解：周期性矩形波的基頻為矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)將矩形波分解為固有頻率

2.7周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

79第七十九頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將矩形波分解為從頻譜圖中看，系統(tǒng)只對(duì)激勵(lì)所包含的諧波分量有響應(yīng)。對(duì)于頻率靠近系統(tǒng)固有頻率的那些諧波分量，系統(tǒng)響應(yīng)的振幅放大因子比較大，在整個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中占主要成分。

畫(huà)出系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜圖奇數(shù)

2.7周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

80第八十頁(yè)，共110頁(yè)。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)81第八十一頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 2.8.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)2.8.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)2.8.3單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的時(shí)-頻變換2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)2.8.5傳遞函數(shù)82第八十二頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications如果取為沖量作用的瞬時(shí)等價(jià)于對(duì)初始條件的響應(yīng)初位移初速度得到單自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)如果作用在的時(shí)刻，未加沖量前，系統(tǒng)靜止，則物塊的響應(yīng)為2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)83第八十三頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications同理，如果在t=0時(shí)，沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，得其響應(yīng)如果作用在的時(shí)刻，則物塊的響應(yīng)為2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)84第八十四頁(yè)，共110頁(yè)。用(t)函數(shù)表示作用在極短時(shí)間內(nèi)沖擊力返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.8.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)表明只在近旁極其短暫的時(shí)間內(nèi)起作用，其數(shù)值為無(wú)限大。但它對(duì)時(shí)間積分是有限數(shù)1。函數(shù)的定義是從積分式可見(jiàn)，如果時(shí)間以秒計(jì)，(t)函數(shù)的單位是1/s。用單位脈沖(unitimpulse)函數(shù)(t)表示沖擊力沖量表示施加沖量的瞬時(shí)85第八十五頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications如果在t=0的瞬時(shí)施加沖量，則相應(yīng)的沖擊力當(dāng)，即施加單位沖量時(shí)，沖擊力為F是沖擊力,(t)函數(shù)又稱(chēng)單位脈沖函數(shù)，就是由此而得名。單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為2.8.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)86第八十六頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為單位脈沖力作用等價(jià)于沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，根據(jù)初始條件可確定A和。最后得其響應(yīng)2.8.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)87第八十七頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications為了應(yīng)用方便，單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)用h(t)表示。得單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)有粘性阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)稱(chēng)為單自由度系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)函數(shù)

2.8.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)88第八十八頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplicationsh(t)有以下特性不難發(fā)現(xiàn)h(t)的表達(dá)式包含系統(tǒng)的所有的動(dòng)特性參數(shù)，它實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)動(dòng)特性在時(shí)域的一種表現(xiàn)形式。h(t)是單位脈沖沖量的響應(yīng)，其量綱為[位移/沖量]。2.8.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)89第八十九頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.3單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的時(shí)-頻變換h(t)的傅里葉變換用H()來(lái)表示，稱(chēng)之為頻域響應(yīng)函數(shù)，它是系統(tǒng)的動(dòng)特性在頻域的表現(xiàn)形式。運(yùn)用歐拉公式得90第九十頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程將激振力看作是一系列元沖量的疊加元沖量為得到系統(tǒng)的響應(yīng)91第九十一頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications上式的積分形式稱(chēng)為卷積。因此，線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于它脈沖響應(yīng)與激勵(lì)的卷積。這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為博雷爾(Borel)定理，也稱(chēng)杜哈梅(Duhamel)積分。對(duì)無(wú)阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，得到任意激振力的響應(yīng)用單位脈沖函數(shù)響應(yīng)表示，得到單自由度系統(tǒng)對(duì)任意激振力響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)92第九十二頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications系統(tǒng)有初始位移和初始速度，則系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)為對(duì)于無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為t＞t1即激振力停止作用后，物塊的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剩余運(yùn)動(dòng)。以為初始條件的運(yùn)動(dòng)2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)93第九十三頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications例無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受到突加常力F0的作用，試求其響應(yīng)。積分后得響應(yīng)為代入在突加的常力作用下，物塊的運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只是其振動(dòng)中心沿力F0的方向移動(dòng)一距離解：取開(kāi)始加力的瞬時(shí)為t=0，受階躍函數(shù)載荷的圖形如圖所示。設(shè)物塊處于平衡位置，且。也是彈簧產(chǎn)生的靜變形。2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)94第九十四頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications若階躍力從t=a開(kāi)始作用，則系統(tǒng)的響應(yīng)為t＜a2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)95第九十五頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications解：在階段，系統(tǒng)的響應(yīng)顯然與上例的相同，即例2-10無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到矩形脈沖力作用，試求其響應(yīng)。當(dāng)t＞t1時(shí)，F(xiàn)(t)=0，得2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)96第九十六頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications系統(tǒng)的響應(yīng)為t＞t1實(shí)際上，在t＞t1階段，物塊是以t=t1的位移x1和速度為初始條件作自由振動(dòng)。因此，其響應(yīng)也可用下面的方法求得。

將初始條件2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)97第九十七頁(yè)，共110頁(yè)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)2.8.5傳遞函數(shù)作為研究線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)的工具，拉普拉斯(簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏)變換方法有廣泛的用途。它是求解線(xiàn)性微分方程，特別是常系數(shù)的線(xiàn)性微分方程的有效工具。用拉氏變換可簡(jiǎn)單地寫(xiě)出激勵(lì)與響應(yīng)間的代數(shù)關(guān)系?，F(xiàn)在說(shuō)明如何用拉氏變換方法求解單自由度具有粘性欠阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)。由物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程其中f(t)表示任意的激振力。并設(shè)t