高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)(28)：求空間距離

難點(diǎn)28高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)：求空間距離

空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面

的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.

?難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)如圖，已知ABC。是矩形,A5=aAZ)="以，平面45CQ,Rl=2c,。

是以的中點(diǎn).

求：(1)。到3。的距離；

(2)P到平面80。的距離.

?案例探究

［例口把正方形A8CO沿對(duì)角線4c折起成直二面角，點(diǎn)E"分別是40、

的中點(diǎn)，點(diǎn)。是原正方形的中心，求：

(1)EF的長(zhǎng)；

(2)折起后NE。尸的大小.

命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決

立體幾何問(wèn)題，屬*★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公式.

錯(cuò)解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系.其中必

須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直.

技巧與方法：建系方式有多種，其中以。點(diǎn)為

原點(diǎn)，以赤、0C.歷的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡(jiǎn)單.

解：如圖，以。點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,設(shè)正方形A8CO邊長(zhǎng)

為。，貝U4(0,-—a,0),B(—a,0,0),C(0,—?,0),￡>(0,0,—a),E(0,~—a,

22224

a),F(—a,—?,0)

44

(1)IEFF=(￥〃—0)2+(￥〃+90)2+(0一?a)2=EF=字〃

(2)OE=)而=亭亭,0)

2

777nV272V25/2a

OEOF=0xa+(----a)(a)H----a0=

44448

—*ci—?a—*■,一F'F1

IOE1=-,\OFh-,cos<0E,0F>=二==--

22\OE\\OF\2

：.ZEOF=\20°

［例2］正方體A8CD—4eGU的棱長(zhǎng)為1,求異面直線AG與間的

距離.

命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬*★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面

距離，或面面距離，亦可由最值法求得.

錯(cuò)解分析：本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為。由是AC與A?的距離，這主要是對(duì)異面

直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的

距離.

技巧與方法：求異面直線的距離，有時(shí)較難作出它們的公垂線，故通常采用

化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得.

解法一：如圖，連結(jié)AG，在正方體AG由,.,AiG〃AC,，4G〃平面4BC，

.??4G與平面A8C間的距離等于異面直線4G與A?間的距離.

連結(jié)8。|、BD,設(shè)8iDinAiG=0i,BDnAC=0

"：AC±BD,ACLDDi，；.AC，平面BBiOQ

I.平面ABC，平面BBQ。，連結(jié)SO,則平面ABCn平面58|。1。=810

作。iG_L8i。于G則。iG_L平面ABC

：.O\G為直線A\C\與平面ABC間的距離，即為異面直線A\C\與AS間的

距離.

在Rt^OOJi中，：OB=%,OOi=l,Jooj+o百2=當(dāng)

...QG=。。。畫(huà)=且,即異面直線4G與4步間距離為且.

。為33

解法二：如圖，在AC上任取一點(diǎn)M,作MNL4B1于N,作MR_LAB于R,

連結(jié)RN,

n

?.?平面4BCiDi_L平面J_平面ApABBi,MRLAB\

"：AB\LRN,設(shè)AiR=x，貝ljR8]=l-x

VZC1Ai5i=ZAB|Ai=45°,

/.MR=X,RN=NB1=—(1-x)

2

MN=4MR2+RN2=k+g(l-x)2=J|(x-1)2+|(0<x<1)

...當(dāng)x=工時(shí)，MN有最小值旦即異面直線4G與AB,距離為2.

333

?錦囊妙記

空間中的距離主要指以下七種：

⑴兩點(diǎn)之間的距離.

(2)點(diǎn)到直線的距離.

(3)點(diǎn)到平面的距離.

(4)兩條平行線間的距離.

(5)兩條異面直線間的距離.

(6)平面的平行直線與平面之間的距離.

(7)兩個(gè)平行平面之間的距離.

七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七

種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)

到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距

離.

在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn).

求點(diǎn)到平面的距離：(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)移

法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離.(3)體積法.

求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長(zhǎng)。)轉(zhuǎn)化成求直線與平面

的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩

點(diǎn)間距離中最小的.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)正方形A5CO邊長(zhǎng)為2,E、尸分別是48和CO的中點(diǎn)，將

正方形沿EF折成直二面角(如圖),M為矩形AE內(nèi)一點(diǎn)，如果

2.(****)三棱柱ABC—4山Ci中，AA|=1,AB=4,BC=3,ZABC=90°,

設(shè)平面與平面ABC的交線為/,則4G與/的距離為()

A.V10B.VTTC.2.6D.2.4

二、填空題

3.(****)如左下圖，空間四點(diǎn)4、B、C、。中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都

等于a,動(dòng)點(diǎn)P在線段A8上，動(dòng)點(diǎn)。在線段CO上，則P與。的最短距離為

4.(★★★★)如右上圖，A8CO與ABE尸均是正方形，如果二面角E—4B—C

的度數(shù)為

30°,那么EF與平面A5CD的距離為.

三、解答題

5.(*****)在長(zhǎng)方體ABC。-4181Gz)|中，AB=4,BC=3,CC\=2,如圖:

⑴求證:平面4BG〃平面AC5；

(2)求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離；

(3)求點(diǎn)Bi到平面A\BC\的距離.

6.(*****)已知正四棱柱ABC。一4山Ci?！秉c(diǎn)E在棱

DiD上，截面EAC//D\B且面EAC與底面ABCD所成的角為

45°,A8=a,求：

(1)截面E4c的面積；

(2)異面直線AIBI與AC之間的距離；

(3)三棱錐Bi—EAC的體積.

7.(****)如圖，已知三棱柱AiBiGf8C的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

側(cè)棱4A與A3、4C均成45°角，且于E,AiFLCG于F.

⑴求點(diǎn)4到平面BiBCCi的距離；

(2)當(dāng)A4多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)4到平面ABC與平面SBC。的距離相等.

8.(*****)如圖，在梯形A8CO中，AD//BC,ZABC=-AB=-AD=a,

23

NA￡)C=arccos1石，出_L面ABCD且PA=a.

p

(1)求異面直線AO與PC間的距離;

(2)在線段4。上是否存在一點(diǎn)F,使點(diǎn)A到平面PCF的距離為*

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：(1)在矩形A8CO中，^AELBD,E為垂足

連結(jié)QE,,：QAL^^ABCD,由三垂線定理得QE,BE

：.QE的長(zhǎng)為。到BD的距離

在矩形ABCD中，AB=aAD=b,

ab

：.AE=

在Rtz^QAE中，QA=^PA=c

2

：.QE=c+-f^

Va2+b2

/.Q到BD距離為卜.

⑵解法-：?.?平面BQD經(jīng)過(guò)線段出的中點(diǎn)，

到平面BQD的距離等于4到平面BQD的距離

在△AQE中，作4/7LQE,“為垂足

BD1AE,BDJ_。旦，8。，平面AQEBDA.AH

平面BQE,即A”為A到平面BQD的距離.

在RtAA0￡中，'：AQ=cAE=，出‘

''^Ja2+b2

abc

：.AH=

7（a2+b2）c2+a2b2

...P到平面BD的距離為

yl(a2+b2)c2+a2b2

解法二：設(shè)點(diǎn)A到平面Q8。的距離為力，由

匕-8(2。=%-4犯得卜2\8。0*h=~S^ABD,AQ

h=$AABD?AQ=…=______abc_______

SbBQDyj(a2+b2)c2+a2b2

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：過(guò)點(diǎn)M作MM'_LE尸，則MM'，平面BCF

NMBE=NMBC

：.BM'為NE3C為角平分線，

：.ZEBM'=45°,BM'=6從而MN=也

2

答案：A

2.解析：交線/過(guò)8與AC平行，作COL于。，連G。，則CQ為4G

與I的距離，而CD等于AC上的高，即C￡>=y,RtAC)C￡)中易求得。。=?=2.6

答案：C

二、3.解析：以4、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，

取P、。分別為A3、C。的中點(diǎn)，因?yàn)?。=8。=*",，2。，48,同理可得「。，

CD,故線段P。的

長(zhǎng)為P、Q兩點(diǎn)間的最短距離，在Rt△APQ中，

PQ=JAQ2-AP2=J亭)2_(y=

答案：叵a

2

4.解析：顯然N雨。是二面角E—AB—C的平面角，/以。=30°,過(guò)F作FG

，平面ABC。于G,則G必在AO上，由E/〃平面A8CD

FG為EF與平面ABCD的距離，即FG=-.

2

答案：-

2

三、5.(1)證明：由于貝IJBG〃平面AC。

同理，48〃平面AC。，則平面48cl〃平面AC。

(2)解:設(shè)兩平行平面413cl與ACDi間的距離為d,則d等于D\到平面48G

的距離.易求4G=5,4歸=2后，Bg=匹,則COSAIBCI=3,則sinAiBC尸狗,

V65V65

則5.時(shí)=府由于％的=%電向，則京刖明他GR)?皿代入

求得4=約叵，即兩平行平面間的距離為用畫(huà).

6161

(3)解:由于線段8。被平面B歸G所平分,則9、5到平面A18G的距離

相等，則由(2)知點(diǎn)與到平面A]8Ci的距離等于空叵.

61

6.解：(1)連結(jié)DB交AC于。，連結(jié)E。，

?.?底面48CD是正方形

J.DOLAC,又面

：.EO±AC,即NEOZ)=45°

XDO=^-a,AC=0a,EO=——=a,SAEAC=--(I

2cos4502

(2)：414，底面48。0,：.AiA±AC,又

，AiA是異面直線AiBi與AC間的公垂線

又EO//BD\,。為BD中點(diǎn)，：.DlB=2EO=2a

：.D\D=41a,:.AB與AC距離為亞a

(3)連結(jié)SO交。由于P,交E。于。，推證出S￡>J_面EAC

...當(dāng)。是三棱錐Bi—EAC的高，得

_1V223_V23

aaa

\-EAC"Y~r'2^^~

7.解：(1)：8B|，AIE,CC\VA\F,BB{//CC\

，平面A|EF

即面4E尸，面BBCiC

在RtZ^AiEBi中，

VZA|J5i￡=45°,A\B\=a

...4￡'=^^,同理4]尸=在^,又EF=a,:.A[E=^^a

222

同理4「=變4,又"=a

2

...△￡4/為等腰直角三角形，Z￡A,F=90°

過(guò)4作4NLEF,則N為EQ中點(diǎn)，且AN,平面BCCIBI

即AiN為點(diǎn)、Ai到平面BCG?的距離

：.AiN=-=-

22

又YAAi〃面BCC\B,4到平面BCQBi的距離為巴

2

：.a=2,所求距離為2

(2)設(shè)BC、81G的中點(diǎn)分別為。、D\,連結(jié)A。、。。1和4?！眲t。。?必過(guò)

點(diǎn)N,易證4。。自|為平行四邊形.

'：B\C\1.D\D,B\C\LA\N

平面

.?.8C，平面A。。Mi

得平面ABCJ_平面AOD14”過(guò)Ai作Ai"J_平面ABC,交4。于M,

若AiM=AiN,又N4AM=NA|OiN,NAM4=N4ND|=9O°

△AM4igA4iNO".A4|=Ai。產(chǎn)百，即當(dāng)44戶百時(shí)滿足條件.

8.解：(1)：BC//AD,BCu面PBC,，AO〃面PBC

從而與PC間的距離就是直線AD與平面PBC間的距離.

過(guò)A作AELPB,y.AE±BC

，AEJ_平面PBC,AE為所求.

在等腰直角三角形用8中，PA=AB=a

：.AE=—a

2

(2)作CM"AB,由已知cosADC=|V5

/.tanADC=-,EPCM=-DM

22

."BCM為正方形，AC=?a,PC=6a

過(guò)A作AHLPC,在Rt△山C中，WA