數(shù)列問題 8 數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想

數(shù)列講義1-問題5.8數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想一、方程思想等差和等比數(shù)列一般涉及5個量：a1，d(q)，n，an，Sn.“知三求二”是最基本的數(shù)列的問題，這個時候，我們可以將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程或者方程組來求解.【例題1】【2015屆鄞州區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試題理19】（本小題滿分15分）已知數(shù)列中，（實數(shù)為常數(shù)），，是其前項和，且.數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ），．【變式訓(xùn)練】【2010年，浙江高考（文），19】設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5S6+15=0.(1)若S5=6，求S6及a1；(2)求d的取值范圍.二、函數(shù)思想數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)或正整數(shù)的子集的特殊函數(shù)，從而我們可以借助函數(shù)的圖像、單調(diào)性等知識來研究數(shù)列的性質(zhì).【例題2】【2015高考陜西，理21】（本小題滿分12分）設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項和，其中，，．（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且；（II）設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較與的大小，并加以證明．【變式訓(xùn)練】【2016年，寧波市龍賽中學(xué)綜合測試（一）】各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1=a，a2=b，且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q都有eq\f(am+an,(1+am)(1+an))=eq\f(ap+aq,(1+ap)(1+aq)).（1）當(dāng)a=eq\f(1,2)，b=eq\f(4,5)，求通項an；（2）證明：對任意的a，存在與a有關(guān)的常數(shù)λ，使得對于每個正整數(shù)n，都有eq\f(1,λ)≤an≤λ.三、分類討論思想在解決實際的問題的時候，我們可能會遇到多種情況，這個時候就需要分類討論.在分類討論的時候，因該明確引起分類討論的原因是什么，并按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論，防止漏解、重復(fù)解.【例題3】【2015高考天津，理18】已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求的值和的通項公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【變式訓(xùn)練】【2015高考上海，理22】已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的第項是最大項，即（），求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值M與最小值，且.四、轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化和化歸即是將條件逐漸通過各種代數(shù)變形向結(jié)論轉(zhuǎn)化，或者是將不熟悉的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為已知的熟悉的數(shù)學(xué)模型.【例題4】【2015年，北京高考】已知數(shù)列{an}滿足a1∈N*，a1≤36，且an+1=eq\b\lc\{(\a\al(2an，an≤18,2an-36，an>18))（n=1，2，…）.記集合M=eq\b\bc\{(an|n∈N*).（1）若a1=6，寫出集合M的所有的元素；（2）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：集合M所有的元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合M的元素個數(shù)的最大值.【變式訓(xùn)練】【浙江省嘉興市2015屆高三下學(xué)期教學(xué)測試（一）理12】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則；的最大值為．五、歸納和猜想有一些題目，答案并不明顯，這個時候，我們可以從n=1，n=2，……，去進(jìn)行實驗，然后再進(jìn)行歸納，由此觸發(fā)猜想，再加以證明，最后將證明的結(jié)論加以應(yīng)用.這個過程即“試——猜——證——用”.【例題5】【2010年，重慶高考（理），21】已知{an}的通項an+1=can+cn+1(2n+1)(n)，其中a1=1，實數(shù)c≠0，求數(shù)列{an}的通項公式.【變式訓(xùn)練】【2008年，浙江高考（理），22】數(shù)列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n），求證：當(dāng)n時，an<an+1.【課時作業(yè)】1、【2015高考新課標(biāo)1，文7】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（）（A）（B）（C）（D）2、【浙江省重點中學(xué)協(xié)作體2015屆第二次適應(yīng)性測數(shù)學(xué)試題理10】已知等差數(shù)列的公差不為，等比數(shù)列的公比是小于的正有理數(shù)。若，，且是正整數(shù)，則等于（）。A． B． C． D．3、【紹興市2014-2015學(xué)年高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測理7】已知數(shù)列的通項公式．當(dāng)取得最大值時，的值為（）A．B．C．D．4、【浙江省嵊州市2015年高三第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)測理4】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則中最大的是（）A．B．C．D．5、【2016年，寧波二中高三第一次月考】若等差數(shù)列滿足,則的取值范圍是（）A．B．C．D．6、【2010年，遼寧高考】已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則eq\f(an,n)的最小值為7、【2015年高考模擬(南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題)(2)】實數(shù)x、y、z滿足0≤x≤y≤z≤4．如果它們的平方成公差為2的等差數(shù)列，則|x－y|+|y－z|的最小可能值．8、【2010年，天津高考】在數(shù)列{an}中，a1=0，且對任意的k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差數(shù)列，其公差為2k.（1）證明：a4，a5，a6成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）記Tn=eq\f(22,a2)+eq\f(32,a3)+…+eq\f(n2,an)，證明：eq\f(3,2)<2n-Tn.9、【2016年，寧波市二中第一次月考（理），20】正項數(shù)列滿足，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明：對任意的，；（Ⅲ）記數(shù)列的前