理論力學第4章 剛體的平面運動

第4章剛體的平面運動主要研究剛體運動方程以及剛體上不同點的運動量關系?？刹捎脧秃线\動方法。2023/4/191整理ppt一、工程實例與概念汽車車輪的運動2023/4/192整理ppt自行車車輪的運動2023/4/193整理ppt車輪的運動2023/4/194整理ppt上料機械手2023/4/195整理ppt2023/4/196整理ppt行星輪機構(gòu)2023/4/197整理ppt行星輪機構(gòu)2023/4/198整理ppt行星輪機構(gòu)2023/4/199整理ppt曲柄連桿機構(gòu)2023/4/1910整理ppt例如曲柄連桿機構(gòu)中的連桿AB

的運動,其中點A作圓周運動，點B作直線運動，因此，連桿AB

的運動既不是平移也不是定軸轉(zhuǎn)動，而是一種復雜運動．定義:

在剛體運動過程中，體內(nèi)任意點到某一固定平面之間的距離始終保持不變。即剛體上任一點都在與該固定平面平行的某個平面內(nèi)運動.2023/4/1911整理ppt1.平面運動的簡化平面圖形二、剛體平面運動的研究方法剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動.即在研究平面運動時，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形S的運動。2023/4/1912整理ppt

2.剛體的平面運動方程平面圖形S的位置，只需確定S內(nèi)任意一條線段的位置．而任意線段AB的位置可以用其上點A的坐標和線段AB與x軸的夾角表示．因此平面圖形S

的位置決定于三個獨立的參變量。2023/4/1913整理ppt稱為剛體平面運動方程

對于每一瞬時

t

，都可以求出對應的,平面圖形S

在該瞬時的位置也就確定了。2023/4/1914整理ppt3.平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動當平面圖形Ｓ上的點Ａ不動時，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動，平面圖形的平面運動（絕對運動）可以看成是平面圖形一方面隨基點A的平移（牽連運動），另一方面圖形又繞基點的轉(zhuǎn)動（相對運動）的合成運動。當平面圖形Ｓ上的角

不變時，則剛體作平移。稱點A為基點2023/4/1915整理ppt2023/4/1916整理ppt2023/4/1917整理ppt車輪的運動分解車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平移和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成．

車輪相對定系（Oxy）的平面運動（絕對運動）車廂（動系Axy

)相對定系的平移（牽連運動）車輪相對車廂（動系Axy)的轉(zhuǎn)動（相對運動）

2023/4/1918整理ppt2023/4/1919整理ppt轉(zhuǎn)動部分的角度、角速度、角加速度與基點的選擇無關。平移部分的軌跡、速度與加速度都與基點的選擇有關。2023/4/1920整理pptAB桿平面運動的分解2023/4/1921整理ppt

關于剛體平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動的方法:1)基點可以任選(通常選運動情況已知的點)；2)在基點上建立平移坐標系(特定的動系);3)剛體平面運動可以分解為平面圖形S隨基點的平移(與基點的選擇有關)，以及平面圖形S相對于基點的轉(zhuǎn)動(與基點的選擇無關)。2023/4/1922整理ppt三、平面圖形上各點的速度與加速度分析1基點法1)速度：2023/4/1923整理ppt2)加速度注意:

式中A、B兩點應是同一平面圖形上的不同兩點.2023/4/1924整理pptOBAvOaO例1

半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動。輪心速度為vO

、加速度為aO

。求：1.輪與地面接觸點A的加速度;2.輪緣上B點的加速度。

2023/4/1925整理ppt例2

圖示為曲柄連桿機構(gòu),已知:OA=r,AB=l,ω。求：1.連桿AB的角速度ωAB和滑塊B的速度vB

;2.

連桿AB的角加速度αAB和滑塊B的加速度aB。

2023/4/1926整理ppt2瞬心法—基點法的特殊形式之一。問：基點可任選，選什么基點，公式最簡？答：選S上速度或加速度為零的點。速度瞬心Cv、—某瞬時S上速度為零的點。加速度瞬心Ca—某瞬時S上加速度為零的點。取瞬心為基點研究平面圖形上各點速度或加速度的方法叫瞬心法。2023/4/1927整理ppt解：1)速度瞬心法2023/4/1928整理ppt速度瞬心位置的確定過A,B兩點分別作速度的垂線,交點就是該瞬間的速度瞬心Cv

。①已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度的方向,且。2023/4/1929整理ppt2023/4/1930整理ppt2023/4/1931整理ppt2023/4/1932整理ppt45o90o90o

0O1OBAD例3

在圖示四連桿機構(gòu)中OA以

0繞O軸轉(zhuǎn)動。求：1、AB桿的角速度；

2、B和D點的速度。2023/4/1933整理ppt連接A，B與兩速度末端，兩線段的交即為圖形的速度瞬心Cv。②已知某瞬時圖形上A,B兩點速度同向不等值,或反向，且2023/4/1934整理ppt2023/4/1935整理ppt下接[例4]2023/4/1936整理ppt行星輪機構(gòu)2023/4/1937整理ppt若vA＝vB，如右圖所示。則也是瞬時平移。此時,平面圖形的瞬心Cv在無窮遠處,平面圖形的角速度=0,圖形上各點速度相等,這種情況稱為瞬時平移。

③已知某瞬時平面圖形上A,B兩點的速度平行等值。2023/4/1938整理ppt2023/4/1939整理ppt

曲柄連桿機構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平移．此時連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點的速度都相等.但各點的加速度并不相等。2023/4/1940整理ppt2023/4/1941整理ppt④平面圖形沿固定面做純滾動，其接觸點即為速度瞬心Cv

。2023/4/1942整理ppt試畫出圖示作平面運動的構(gòu)件的速度瞬心位置以及角速度的轉(zhuǎn)向（輪子作純滾）。1.輪O作平面運動，

C１為其速度瞬心。2.桿AB作平面運動,

C2為其速度瞬心。2023/4/1943整理ppt1.輪C作平面運動，C1為其速度瞬心，C。2.BD作平面運動，C2為其速度瞬心，BD。3.AB作平面運動，C3為其速度瞬心，AB。2023/4/1944整理ppt

平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。若點C為速度瞬心，則任意一點A的速度大小為方向AC，指向與

一致。2023/4/1945整理ppt

關于速度瞬心的幾點小結(jié)

1.瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。但在任一瞬時是唯一存在的。

2.瞬心可在平面圖形內(nèi),也可在圖形以外.3.速度瞬心處的速度為零,但加速度不一定為零。

4.剛體作瞬時平移時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度不相同。2023/4/1946整理ppt解：2023/4/1947整理ppt解：2023/4/1948整理ppt解：2023/4/1949整理ppt解：2023/4/1950整理ppt2)加速度瞬心法2023/4/1951整理ppt2023/4/1952整理ppt

線性分布2023/4/1953整理ppt3投影法問：基點法公式在任何方向的投影式成立，在何方向獲得最簡形式？2023/4/1954整理ppt思考:下列運動是否可能?2023/4/1955整理ppt2023/4/1956整理ppt解：2023/4/1957整理ppt

1.一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一點．

2.一般情況下，對于加速度沒有類似于速度投影定理的關系式.即一般情況下,圖形上任意兩點A,B

的加速度：關于加速度瞬心的幾點小結(jié)2023/4/1958整理ppt3.由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下不存在類似于速度投影定理的關系式，故常采用基點法求平面圖形上各點的加速度或圖形的角加速度。

若某瞬時平面圖形=0,即瞬時平移,則有2023/4/1959整理ppt1一般分析思路1)分析要素2)分析途徑結(jié)點分析：鉸.瞬時重合點（移動?）,無滑滾動剛體分析:

兩點運動關系順次求解迂回求解四、平面機構(gòu)的運動分析

2023/4/1960整理ppt3)機構(gòu)類型鉸聯(lián)式鉸聯(lián)、滑移式行星輪系（含滑動聯(lián)結(jié)的平面機構(gòu)）各運動構(gòu)件之間鉸聯(lián)，在鉸接點兩物體的速度和加速度均相同。（含鉸聯(lián)與無滑動滾動）2023/4/1961整理ppt曲柄滾輪機構(gòu)2023/4/1962整理ppt分析:要想求出滾輪的Ｂ,Ｂ先要求出vB

,

aB..例1已知:OA=R=15cm,

曲柄轉(zhuǎn)速n=60r/min。求：當

=60o時(OAAB),

滾輪的Ｂ，Ｂ．2023/4/1963整理ppt解：研究AB：C1，C2

分別為桿AB和輪的速度瞬心C12023/4/1964整理ppt將上式向x方向投影，得式中2023/4/1965整理ppt2023/4/1966整理ppt2023/4/1967整理ppt2023/4/1968整理ppt雙曲柄機構(gòu)2023/4/1969整理ppt例3

已知：OA=0.15m,n=300r/min,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.

圖示位置時,AB水平.求該位置時的、及.2023/4/1970整理ppt

2023/4/1971整理ppt例4已知:圖示瞬時,O點在AB中點,=60o,BCAB,

O,C在同一水平線上,AB=20cm,vA=16cm/s

。求:該瞬時AB桿,BC桿的角速度及滑塊C的速度。2023/4/1972整理ppt由于沿AB,

所以其方向沿AB。從而確定了AB桿上與O點接觸點的速度方向。解:

取點O為動點，動系固連在桿AB上，有2023/4/1973整理ppt研究AB,C1為其速度瞬心2023/4/1974整理ppt研究BC,

以B為基點，有1個動點2個基點的例2023/4/1975整理ppt

行星輪機構(gòu)2023/4/1976整理ppt砂輪軸線2023/4/1977整理ppt砂輪軸線2023/4/1978整理ppt砂輪軸線2023/4/1979整理ppt砂輪軸線2023/4/1980整理ppt1、問題的引入引例：已知：r,0=常數(shù),AB⊥

OA,試用兩種方法求點B的速度.（1）基點法；（2）點的速度合成法。OAB0rr五、剛體繞平行軸轉(zhuǎn)動的合成2023/4/1981整理ppt2023/4/1982整理pptOAB0rrxyx'y'1)基點法：取A為基點，即以A為原點建立圖示平移坐標系。行星輪的平面運動（絕對運動）行星輪隨動系的平移（牽連運動）行星輪相對動系的轉(zhuǎn)動（相對運動）+此時，有:

ωa=ωra=r2023/4/1983整理pptOAB0rrxyx'y'2)點的速度合成法：行星輪的平面運動（絕對運動）行星輪隨動系的定軸轉(zhuǎn)動（牽連運動）行星輪相對動系的轉(zhuǎn)動（相對運動）+有必要研究ωa，ωe

和

ωr之間的關系。此時，ωa=ωr

不再成立。取B為動點，將動系固連在桿OA上。2023/4/1984整理pptaxy剛體繞兩平行軸轉(zhuǎn)動時，剛體的絕對轉(zhuǎn)角等于它隨動系的牽連轉(zhuǎn)角與相對動系的相對轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。O1O2x'y'1)三種轉(zhuǎn)角之間的關系2三種轉(zhuǎn)角?角速度及角加速度之間的關系rax'y'eO2er2023/4/1985整理ppt剛體的絕對角速度等于它隨動系的牽連角速度與相對動系的相對角速度的代數(shù)和。剛體的絕對角加速度等于它隨動系的牽連角加速度與相對動系的相對角加速度的代數(shù)和。2)三種角速度及角加速度之間的關系2023/4/1986整理ppt

過速度瞬心C，與牽連軸O1及相對軸O2平行的軸稱為瞬時軸。（1）當e

與r同向時，瞬時軸的位置可由3)剛體瞬時軸的確定設：O1C=h1，O2C=h2即

h1e=h2r得當e

與r同向轉(zhuǎn)動時，瞬時軸內(nèi)分兩軸間的距離，內(nèi)分比與兩角速度大小成反比。O1O2erCh1h22023/4/1987整理ppt(2)

當e

與r反向，且e>r時,當e

與r反向，且e<r時，同樣有上式成立。O1O2er設：O1C=h1O2C=h2

瞬時軸的位置仍可由當e

與r反向轉(zhuǎn)動時，瞬時軸外分兩軸間的距離，在較大角速度的軸的外側(cè)，外分比與兩角速度大小成反比。Ch1h2即h1e=h2r

得2023/4/1988整理ppt(3)

e

與r反向，且e=r

時，a=e-r

0

剛體平移O1O2er剛體的這種運動稱為轉(zhuǎn)動偶。當e

與r等值且反向轉(zhuǎn)動時，剛體的合成運動為平移。2023/4/1989整理ppt2023/4/1990整理ppt例1

桿OA的角速度為ω，各輪半徑均為r,輪1固定。求:輪3上點M（AM⊥OA）的速度vM，加速度aM

。Mw123OAB2023/4/1991整理pptvM=vA=4rwaM

=aA

=4rw2又點C1為輪2的速度瞬心于是有vD=2vB=4rω=vA解：已知vB=2rω,vA=4rω可知輪3為轉(zhuǎn)動偶，故有：Mw123OABvDvAC1DvB2023/4/1992整理pptOAB0rr例2已知：r,

0=常數(shù)

,AB⊥OA,試用兩種方法求點B的速度。（1）基點法；（2）點的合成運動法。2023/4/1993整理pptOAB0rr解1

基點法：取A為基點，研究點B1a=

20vAvAvBA由速度四邊形，得vBCx'y'1a2023/4/1994整理pptOAB0rr解2

點的速度合成法：取B為動點，動系固連在桿OA上，1rvevr由于瞬時軸C位于兩軸之間,故1r

與0

同向，Cx'y'1r=02023/4/1995整理pptOAB0rr1rCyvevrγγvax2023/4/1996整理pptMw0123OABw1OAB0rr0思考題如何求行星輪的ωa

和ω

r

?有否更簡便的方法求ω

a

和ω

r

?介紹反轉(zhuǎn)法2023/4/1997整理ppt六、點在平面運動參考系中的合成運動1速度合成2加速度合成2023/4/1998整理ppt導槽滑塊機構(gòu)2023/4/1999整理ppt2）應用平面運動方法確定AE上A、C‘

點之間速度關系。例1

導槽滑塊機構(gòu)圖示瞬時,桿AB速度，桿