鐘表上的追及問題

/鐘表上的追及問題新課標提倡，數(shù)學走進生活，教科書中出現(xiàn)了與日常生活密切相關的鐘表問題。例如：在3點和4點之間的哪個時刻，鐘表的時針與分針:（1)重合;（2）成平角；(3）成直角。許多同學面對此題，束手無策,不知如何解決。實際上，因為分針旋轉的速度快，時針旋轉的速度慢,而旋轉的方向卻是一致的。因此上面這類問題也可看做追及問題。通常有以下兩種解法：一.格數(shù)法鐘表面的外周長被分為６０個“分格”，時針1小時走５個分格，所以時針一分鐘轉分格,分針一分鐘轉1個分格.因此可以利用時針與分針旋轉的“分格”數(shù)來解決這個問題。解析(1）設3點x分時,時針與分針重合，則分針走ｘ個分格，時針走個分格。因為在3點這一時刻，時針在分針前１5分格處,所以當分針與時針在3點與4點之間重合時,分針比時針多走15個分格，于是得方程,解得。所以３點1６分時，時針與分針重合.（2）設3點x分時,時針與分針成平角。因為在3點這一時刻，時針在分針前１5分格處,而在3點到4點之間，時針與分針成一平角時，分針在時針前３0分格處，此時分針比時針多走了4５分格,于是得方程,解得.所以3點分時，時針與分針成平角。（3）設3點x分時,時針與分針成直角。此時分針在時針前15分格處，所以在３點到4點之間，時針與分針成直角時，分針比時針多走了30分格，于是得方程,解得。所以3點分時，時針與分針成直角。二.度數(shù)法對鐘表而言，時針12小時旋轉一圈，分針1小時旋轉一圈，轉過的角度都是３６0°，所以時針１分鐘轉過的角度是0。5°,分針1分鐘轉過的角度是6°。故也可以利用時針與分針轉過的度數(shù)來解決這道題。解析（1)設3點x分時，時針與分針重合，則時針旋轉的角度是0.5x°,分針旋轉的角度是6x°。整3點時，時針與分針的夾角是9０°,當兩針重合時，分針比時針多轉了９０°,于是得方程，解得.(2）設３點x分時，時針與分針成平角。此時分針比時針多轉了90°+1８０°＝270°,于是得方程，解得。(３)設3點ｘ分時，時針與分針成直角.此時分針比時針多轉了,于是得方程，解得。練一練1.鐘表上9點到10點之間,什么時刻時針與分針重合？2．鐘表上5點到６點之間，什么時刻時針與分針互相垂直？3。鐘表上３點到4點之間,什么時刻時針與分針成40°的角？4。鐘表上2點到3點之間,什么時刻時針與分針成一直線？（參考答案：１。9點4９分;?2。5點43或5點1０分；3.3點9分或3點２3分；?4.2點43分。）一元一次不等式解題技巧大放送解一元一次不等式,教材中介紹的是基本方法，但題目千變?nèi)f化,遇到每一個題目要善于觀察所給不等式的特點，結合其他知識，靈活巧妙地變通解題步驟,才可收到事半功倍的效果。1、巧去括號例1解不等式分析：因為，所以先去中括號比先去小括號簡便。解：先去中括號,得兩邊同時減去，得。２、巧添括號例2解不等式分析:不等式兩邊都有（x—17)，因此我們不是去括號,而是添括號，將各項整理出（ｘ－1７).解：原不等式可化為:即3、巧用分式基本性質(zhì)例3解不等式。分析：直接去分母較繁，若先用分式的基本性質(zhì),可以使化小數(shù)為整數(shù)和去分母一次到位。解：由分式的基本性質(zhì)，得即。4、巧化分母為１例4解不等式分析:此題按常規(guī)應先利用分數(shù)的基本性質(zhì)將不等式中的小數(shù)化為整數(shù)，然后按步驟求解。但我們發(fā)現(xiàn)。巧妙地去掉分母,從而簡化了解題過程。解：原式可化為。移項合并，得,即。5、巧湊整例5解不等式。分析:觀察各項未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項,注意到，,因此把各項拆開移項湊整,比直接去分母簡便.解:原不等式可化為。移項合并,得。所以。6、巧組合例6解不等式。分析:注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數(shù)3，左邊的第二項和右邊的第一項的分母有公約數(shù)４,移項局部通分化簡，可簡化解題過程。解:移項通分，得?；啠?去分母，得。解得。7、巧變形例7解不等式.解:原不等式可化為即，即。比較分數(shù)大小的若干方法與技巧比較分數(shù)大小問題是初中數(shù)學競賽的一類常見問題,現(xiàn)介紹幾種常用解法，以供同學們學習參考.一、巧加數(shù)字例1。（1992年第九屆“縉云杯”初中數(shù)學邀請賽試題）把四個分數(shù)從小到大排列是_______＿＿_＿_解：將每個分數(shù)都加上1，可得:，所以所以二、巧減數(shù)字例2。（1996年第七屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽初二試題）設，則下列不等式關系中成立的是(）A.a〉b>c＞d? ??B。ｃ>a〉d＞bC。d〉b〉ｃ〉a ???D。ａ＞c>d〉b解：設每個分數(shù)都減去１，可得顯然a〉c〉d>b故選Ｄ三、巧乘數(shù)字例3.(1995年第六屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽初二培訓題）設,則a、b的大小有（）A.a＞b ? Ｂ。a<b? C。a＝b ? Ｄ。解:因為所以即ａ〉b故應選Ａ四、巧除數(shù)字例4。(1997年《中小學數(shù)學》(北京）數(shù)學奧林匹克初一綜合練習題)若，則（)Ａ．ａ〈b<c? B。b<c<ａC。ｃ〈b<a?? ?D。a〈c＜b解：用1除以a,得同理：所以故應選A五、巧倒數(shù)法例5。（第二屆“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）比較和的大小。解：因為因為即所以六、巧求差法例6。同例2解：因為，所以因為,所以又因為所以綜合以上可得故選D七、巧求商法例７。（2000年“魯中杯”紹興四市、縣初中數(shù)學聯(lián)賽試題）已知，則有(）A．A＞Ｂ>Ｃ ?B.Ｃ>Ｂ＞AＣ.Ｂ>Ａ＞Ｃ ? D。B〉Ｃ>A解：因為所以,同理可求得所以，故選B八、巧代換法例８。（江蘇省泰州市初中數(shù)學競賽試題）已知：，比較Ａ、B的大小。解：設，則因為所以A＜B幫你識別三線八角兩條直線被第三條直線所截,構成了八個角,一般稱為“三線八角"。如圖1。其中沒有公共頂點的角可分為三類，即同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。它們既是進一步學習直線平行的條件和性質(zhì)的基礎,又是以后學習三角形、相似形、圓等不可缺少的知識.那么怎樣才能學好“三線八角”呢？一、注意弄清截線與被截線辨別“三線八角”的關鍵是分清哪一條直線截哪兩條直線形成了哪些角,因此必須弄清截線與被截線。最簡單的方法是:兩個角公共邊所在的直線是截線，共余兩邊所在直線是被截線。如圖1,直線ｃ與直線ａ、b相交，則直線c為截線.可見，若在兩個角的頂點附近觀察,與兩條直線都相交的直線，就是這兩條直線的截線，它是相對于其他兩條直線而言的。圖１二、注意掌握三類角的基本特征同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是根據(jù)每對角所在的位置而命名的，因而它們都有各自的特征.1、同位角的基本特征：“同旁同側”，即在兩條直線（被截段）的同旁，第三條直線（截線)的同側，如圖１中的∠1與∠５，∠２與∠６，∠3與∠7，∠4與∠8。這幾對角的邊所在的直線構成任意旋轉的“Ｆ"字形。２、內(nèi)錯角的基本特征：“內(nèi)部兩旁”,即在兩條直線（被截線)的內(nèi)部,第三條直線（截線)的兩側,如圖1中的∠3與∠５、∠4與∠6.兩角的邊所在直線構成任意旋轉的“Z”字形。３、同旁內(nèi)角的基本特征:“內(nèi)部同旁”，即在兩條直線（被截線）的內(nèi)部,第三條直線（截線）的同側,如圖1中的∠3與∠6，∠4與∠５。兩角的邊所在直線構成任意旋轉的“"形。三、注意圖形的識別1、基本圖形的識別方法.識別基本圖形中各種相關的角時，可直接根據(jù)各類角的基本特征進行識別判斷。2、復雜圖形的識別方法。復雜圖形是由簡單圖形組合而成的。在識別比較復雜的圖形時,要善于將圖形分解，即根據(jù)自己所思考的問題，只重視與所考察的角有關的直線或線段,而對那些與問題無關的直線或線段要視而不見，把復雜圖形的識別轉化為簡單的基本圖形的識別。例（教科書第19頁第6題)根據(jù)圖2中所給出的條件,找出互相平行的直線和互相垂直的直線。圖2分析：欲找出互相平行的直線，需找出相等的同位角或內(nèi)錯角，或互補的同旁內(nèi)角。在思考a、ｂ是否平行時，只需注意a、b、d，而不必在意ｃ、e；在思考d、c是否平行時,只需注意d、c、a,而不必在意b、e。解：?！啊?的運算技巧在初中數(shù)學競賽的有理數(shù)運算中，經(jīng)常碰到含省略號“……”的有理數(shù)計算問題，不少同學對這種題型的計算感到無所適從，本文說明：可通過觀察尋找規(guī)律，問題即迎刃而解,下面舉例說明.1.分組結合例1。計算：解:原式2?；e約分例2。計算：解:原式另解：由，知所以，原式3.用奇偶性例3。計算：解:原式例4．計算：解:原式4。去絕對值相消例５.計算：解:原式5．裂項相消例６．計算：解：原式6.逆序相加例7.計算：解：設則由(1)+(2），得故例8．計算：解：設?（1)則有 (2）由（１)+（2），得所以7.錯位相減例9.計算:解：設 （１）則有 (２)由（2）—（1)，得即8。整體換元例10.計算:解:設則原式9．逐級降次例１１．計算：解：原式10.用運算律例12。已知：，那么+5０2=_＿__＿_____.解：原式11.公式運用例13.計算：解:原式12。湊整求和例14．計算：解：原式練習：1。計算：2．計算：3.計算：答案:１． ??２. ?? 3．3989動手吧，相信你能行一次練習課上,老師出示了以下一道證明題:如圖１，已知M是正方形ABＣD中邊ＢC的中點，,交外角的平分線于N。求證：MN=ＡM。題目一出，小明眼疾手快就沖著全班同學喊叫：“連接ＡN?！薄盀槭裁匆B接AN？”老師問道。“因為連接ＡN,要證明MN=AM，可轉化為證明?！毙∶鞔鸬?“您不是說過‘幾何證明,只要有轉化，就有成功的希望’嗎?”“很好,”老師肯定了小明的建議，“你能記住老師說過的這句話的確不錯，那接下來如何證明呢？"“因為，所以只需證明其中一個角等于即可."小明從容答道?！昂弥饕?可是如何證明或等于呢?”老師問道。“因為,所以只需證明或等于或即可。"小明答得有根有據(jù).“可是如何證明它們相等呢？一點眉目也沒有?！比嗤瑢W嘩然.“這……”小明一時語塞?！氨M管小明的思路至此陷入山窮水盡的困境，但他一開始的思路還是正確的，”老師對小明的思路進行了總結,“尋找?guī)缀巫C明的思路好比人到了十字路口,確定正確的路線往往需要運氣,運氣好的時候,隨便選擇一條都能通向目的地；運氣差的時候,就會走入死胡同,此時就應驀然回首，回到已知條件上來,重新選擇其他的路子。想一想:走了這么長的路，已知條件都用上了嗎?還有哪個條件沒有用上?這個條件有什么作用?該怎樣用？是不是應選擇其他的方法?所謂‘題海無邊，回頭是岸'就是這個意思?！甭犕昀蠋煹目偨Y后，大家一致把小明剛才的思路與已知條件進行對照,結果發(fā)現(xiàn)已知條件“Ｍ是BC邊的中點”及“四邊形ABCＤ是正方形”沒有用上；其次,證明線段相等的方法也不只“等角對等邊"這一種，何必非在一棵樹上吊死不可呢?“證明線段相等還有哪些方法？如何利用‘M是ＢC邊的中點’這個條件呢？”老師開始發(fā)問。“可以證明AM和MＮ所在的三角形全等?！被卮鸬氖切∪A?！翱墒桥c怎能全等呢？”反對的是小剛?！笆前?，一個那么大，另一個那么小.”“還有，一個是直角三角形,另一個不是。"……大家七嘴八舌附和著?！白饔贔。與不就都是直角三角形了嗎?如圖2.真是的.”小華對大家的反對意見顯得有些不服.“好主意。”老師贊同小華的意義，“問題是如何證明與全等?全等的條件已有哪些？”“?！毙∪A答道，“還有由AM，可得.又,從而."“說得好,現(xiàn)在只缺少條件AＢ=MF或MB=NF，如何證明呢？”“只需證明ＭC＝CF。"小華答題?！盀槭裁?？"老師問道?！耙驗镸是BC的中點，所以ＭB＝MC.因為是等腰直角三角形，ＮF=ＣF，因此只要MC=ＣF，就有BＭ=NF。”小華答道.“很好,中點條件終于用上了。"老師舒了口氣?！拔铱床⒉辉鯓雍?。”說話的是小新?！盀槭裁催@樣說？”老師笑著問道。“因為如果能夠證明MC=CＦ，那么不就是有MF=2MC=AB了嗎?何必需要‘是等腰直角三角形,NF=CF'呢？"小新答道，“再說證明MC＝CＦ比證明AM=ＭN說不定還要難呢.”“小新的意見很有新意，”老師評價道,“在幾何證明中的確有這種情況，你要證a=b,表面看起來只需證明ｃ=d,但c=d的證明卻需要先證明ａ=b才能獲得。就像本題,你要證明來獲得與全等，你必須先證明與全等才能獲得MＣ＝CF.看來‘作于F’是中看不中用?！薄拔抑涝鯓幼C了.”小新通過對小華證明思路的反思后有了新的發(fā)現(xiàn)，“小華的證明是把擴大，然后想證明擴大后的與全等，既然此路不通，何不干脆把縮小，然后再設法證明縮小后的三角形與全等呢？”“說得太好了,這正是尋找?guī)缀巫C明思路最常用的手段之一?！崩蠋煂π⌒碌乃悸反蠹淤澷p，“取AＢ的中點O,連接OM，然后證明,還有困難嗎？動手吧,相信你能行!”下面的證明過程留給讀者思考完成。幫你學好一元一次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不等于0，且含未知數(shù)的式子是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。一元一次不等式和一元一次方程既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別。同學們?nèi)裟芗訌娝鼈冎g的辨析,則會大大提高學習效率。一．概念一元一次方程化成最簡形式為一元一次不等式化成最簡形式為或。由此可得，二者化簡后都含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，未知數(shù)的系數(shù)均不為零,這是它們的相同點。區(qū)別在于一元一次方程表示的是相等關系,等號兩邊可任意交換位置。如也可以寫成,它們的解相同；而一元一次不等式表示的是不等關系，不等號的兩邊是不能隨意交換位置的.如就不能寫成，因為這兩個不等式是完全不同的。二.解法解一元一次不等式和解一元一次方程的步驟完全相同,一般都分為五個步驟：（1)去分母；(２）去括號；（3）移項；(４）合并同類項；（５）把系數(shù)化為1。但要特別注意步驟（１)和(５）。解方程時，依據(jù)的是等式的性質(zhì)２：等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個不為零的數(shù)，所得的結果仍是等式。解不等式時，則依據(jù)的是不等式的性質(zhì)２或性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù),不等號的方向不變；兩邊都乘以(或除以）同一個負數(shù),不等號的方向改變.如，兩邊同除以-2,得.三。解和解集一元一次不等式和一元一次方程的解的共同點是:把未知數(shù)的值代入到不等式或方程后，都能使不等式或方程成立。區(qū)別是解的個數(shù)不同,一元