新教材人教a版選擇性必修第二冊4.2.2第二課時等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案

第二課時等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用核心知識目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.通過利用等差數(shù)列的前n項和公式解決實際應(yīng)用問題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).(1)等差數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,則{an}中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…構(gòu)成等差數(shù)列.(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=an2+bn(a,b為常數(shù)).[問題1]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列Sn提示:數(shù)列Snn是等差數(shù)列,該數(shù)列的公差是數(shù)列{an}公差的[問題2]等差數(shù)列奇偶項和有怎樣的性質(zhì)?提示:若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=a2+a4+a6+…+a2n-a1-a3-a5-…-a2n-1=d+d+…+d=nd.S奇S偶=n2(n的最值(1)若a1<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項為負(fù)數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得{Sn}的最小值.(2)若a1>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得{Sn}的最大值.特別地,若a1>0,d>0,則S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,則S1是{Sn}的最大值.1.等差數(shù)列{an}中,S3=3,S6=9,則S12等于(D)(A)12 (B)18 (C)24 (D)30解析:根據(jù)題意,等差數(shù)列{an}中,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,…也成等差數(shù)列,又由S3=3,S6=9,則S6-S3=6,則S9-S6=9,S12-S9=12,則S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30.故選D.2.在等差數(shù)列{an}中,a1=-2018,其前n項和為Sn,若S1515-S10(A)0 (B)2018 (C)-2019 (D)2020解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得Snn=a1+n-12d為等差數(shù)列,Snn的公差為d2則S2020=2020×(-2018)+2020×23.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n-48,則Sn取得最小值時,n為.

解析:由an≤0即2n-48≤0得n≤24.所以所有負(fù)項的和最小,即n=23或24.答案:23或24等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)[例1](1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,若S4=8,S8=4,則S12=;

(2)等差數(shù)列{an}共有2n+1項,所有的奇數(shù)項之和為132,所有的偶數(shù)項之和為120,則n等于;

(3)已知{an},{bn}均為等差數(shù)列,其前n項和分別為Sn,Tn,且SnTn=2n+2解析:(1)法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為S4=8,S8=4,所以4a1+4×32d=8,8a1+8×7聯(lián)立解得a1=258,d=-3則S12=12×258+12×112×(-3法二因為S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,即8,-4,S12-4成等差數(shù)列,所以S12-4=-16,所以S12=-12.(2)因為等差數(shù)列共有2n+1項,所以S奇-S偶=an+1=S2即132-120=132+1202解得n=10.(3)由等差數(shù)列的性質(zhì),知a5b5=a1+a92b答案:(1)-12(2)10(3)5等差數(shù)列的前n項和常用的性質(zhì)小結(jié)(1)等差數(shù)列的依次k項之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…組成公差為k2d的等差數(shù)列.(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=an2+bn(a,b為常數(shù))?數(shù)列{Snn(3)若S奇表示奇數(shù)項的和,S偶表示偶數(shù)項的和,公差為d,①當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時,S偶-S奇=nd,S奇S偶②當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n-1時,S奇-S偶=an,S奇S偶(4)Sn=n(a1(5)設(shè)Sn,S′n分別為等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和,則anbn即時訓(xùn)練11:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm=2,S2m=17,則S4m等于()(A)32 (B)47 (C)54 (D)86(2)已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且滿足SnTn=2(A)32 (B)2(C)1314(3)等差數(shù)列{an}的通項公式是an=2n+1,其前n項和為Sn,則數(shù)列{Snn}的前10項和為解析:(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m成等差數(shù)列,其首項為2,公差為13,所以S4m=Sm+(S2m-Sm)+(S3m-S2m)+(S4m-S3m)=2×4+4×32×(2)由題意,令Sn=kn(2n+1),Tn=kn(3n+2),所以a6b4=S故選D.(3)因為an=2n+1,所以a1=3,所以Sn=n(3+2n所以Sn所以{Snn所以前10項和為3×10+10×92×答案:(1)D(2)D(3)75等差數(shù)列前n項和的最值問題[例2]在等差數(shù)列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.解:法一因為S9=S17,a1=25,所以9×25+9×(9-1)解得d=-2.所以Sn=25n+n(n-1=-(n-13)2+169.所以當(dāng)n=13時,Sn有最大值169.法二同法一,求出公差d=-2.所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.因為a1=25>0,由a得n又因為n∈N*,所以當(dāng)n=13時,Sn有最大值169.法三同法一,求出公差d=-2.因為S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13+a14=0.所以a13>0,a14<0.所以當(dāng)n=13時,Sn有最大值169.法四同法一,求出公差d=-2.設(shè)Sn=An2+Bn.因為S9=S17,所以二次函數(shù)對稱軸為n=9+172所以當(dāng)n=13時,Sn取得最大值169.變式訓(xùn)練2-1:若將本例條件“a1=25”改為“a1=-25”,其他條件不變,試求Sn的最小值.解:因為S9=S17,a1=-25,所以9×(-25)+9×(9-1)解得d=2.所以Sn=-25n+n(n-1)2所以當(dāng)n=13時,Sn有最小值-169.變式訓(xùn)練22:本例中若將條件“a1=25,且S9=S17”改為“a1=26,且S9=S18”,則n取何值時Sn有最大值?并求出最大值.解:因為S9=S18,a1=26,所以9×26+9×(9-1)解得d=-2.所以Sn=26n+n(n-1=-(n-272)2+729所以n=272時,Sn又n∈N*,所以當(dāng)n=13或n=14時,Sn有最大值為182.求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值通常有兩種思路(1)將Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(2)鄰項變號法當(dāng)a1>0,d<0時,滿足an≥0,當(dāng)a1<0,d>0時,滿足an≤0,裂項相消法求和[例3]已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足4Sn=(a(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=1anan+1解:(1)因為4Sn=(a所以4a1=(a解得a1=1,當(dāng)n≥2時,由4Sn=(a4Sn-1=(a①-②得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因為an>0,所以an+an-1≠0,所以an-an-1-2=0,所以an-an-1=2,所以{an}是以a1=1為首項,以d=2為公差的等差數(shù)列,所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.綜上所述,結(jié)論是an=2n-1.(2)由(1)可得bn=1an=12(12n-所以Tn=b1+b2+…+bn=12(1-13+13-15+…+=12(1-1=n2綜上所述,Tn=n2(1)裂項相消法求數(shù)列的前n項和的基本思想是設(shè)法將數(shù)列的每一項拆成兩項(裂項)之差,并使它們在相加時除了首尾各有一項或少數(shù)幾項外,其余各項都能前后相消,進(jìn)而求數(shù)列的前n項和.(2)利用裂項相消法求和的注意事項①抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項;或者前面剩幾項,后面也剩幾項;②將通項裂項后,有時需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.如:若{an}是公差d≠0的等差數(shù)列,則1anan+1=1d(1an-1an+1(3)裂項求和的幾種常見類型:①1n(n+k)=1②1n+k+n=1③1(2n-1)(2④若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則1anan+1=1d即時訓(xùn)練3-1:(2021·天津靜海區(qū)瀛海學(xué)校高三月考)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=5,a5+a9=30,{an}的前n項和為Sn.(1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn;(2)令bn=1Sn(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和T解:(1)設(shè)公差為d,由a5+a9=30得2a7=30,所以a7=15,則d=a7-a所以an=a2+(n-2)d=2n+1,a1=3,所以Sn=n((2)bn=1n(n+2)=12Tn=12[(1-13)+(12-14)+…+(1n-1-1=12(1+12-1n+1-1n+2[例1]兩個等差數(shù)列的前n項和之比為5n(A)4513 (B)3 (C)80解析:設(shè)兩個等差數(shù)列分別為{an},{bn},它們的前n項和分別為Sn,Tn,則SnTn所以a7b7=13a713b[例2]一個等差數(shù)列的前10項和為100,前100項和為10,求前110項之和.解:法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則Sn=na1+n(由已知得10①×10-②,整理得d=-1150代入①,得a1=1所以S110=110a1+110×1092=110×1099100+110×1092×=110×(1=-110.故此數(shù)列的前110項和為-110.法二設(shè)Sn=an2+bn.因為S10=100,S100=10,所以1解得a所以Sn=-11100n2+111所以S110=-11100×1102+11110[例3](2021·天津高二期末)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1+3b2+…+(2n-1)bn=n(n∈N*),記數(shù)列(-1)n4n·解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S4=4S2,可得4a1+6d=4(2a1+d),即2a1=d①.又因為a2n=2an+1(n∈N*),取n=1,所以a2=2a1+1,即a1+1=d②,由①②可得a1=1,d=2,故{an}的通項公式為an=2n-1.(2)由b1+3b2+…+(2n-1)bn=n可得b1=1且b1+3b2+…+(2n-3)bn-1=n-1(n≥2),上述兩式作差可得bn=12n-所以bn=12n-所以(-1)n4n·b=(-1)n(12n-1當(dāng)n為偶數(shù)時Tn=-(1+13)+(13+15)-(15+17)+…-(12n-3+所以Tn=-1+12n+1當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn=-(1+13)+(13+15)-(15+17)+…-(所以Tn=-1-12n+1所以Tn=-1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=3,S6=15,則a7+a8+a9等于(B)(A)12 (B)21 (C)27 (D)39解析:由等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)可知,S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,所以,2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因此,a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(15-3)-3=21.故選B.2.(2020·江西一模)數(shù)列{an},{bn}為等差數(shù)列,前n項和分別為Sn,Tn,若SnTn=3(A)4126 (B)2314 (C)11解析:因為{an},{bn}為等差數(shù)列,且SnTn所以a7b7=2a72b7=a13.已知數(shù)列{an}滿足:an=2n-17,其前n項的和為Sn,則S13=,當(dāng)Sn取得最小值時n的值為.

解析:由an=2n-1