新教材人教a版選擇性必修第三冊(cè)8.3.1-8.3.2分類變量與列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過(guò)典型案例的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.2.會(huì)對(duì)兩個(gè)分類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn),明確獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟,并能利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.1.通過(guò)學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,提升邏輯推理的素養(yǎng).2公式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).3.借助等高堆積條形圖,培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng).(1)分類變量:特殊的隨機(jī)變量以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示.(2)2×2列聯(lián)表①定義:列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表.②一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的取值分別為{0,1},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為:XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).最后一列的前兩個(gè)數(shù)是事件{X=0}和{X=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù).(1)等高堆積條形圖與表格相比,更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響,常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.(2)觀察等高堆積條形圖發(fā)現(xiàn)aa+b(1)零假設(shè)或原假設(shè)假定H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1),通常稱H002=n(ad-bc)2(a+(2)臨界值:任何小概率值α,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα,使P(χ2≥xαα2大小的標(biāo)準(zhǔn).概率值α越小,臨界值xα越大.(3)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則:當(dāng)χ2≥xα?xí)r,推斷H0不成立,即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立,該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α.當(dāng)χ2<xα?xí)r,沒(méi)有充分證據(jù)推斷H02的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”,簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).(4)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下.αxα1.下列變量中不屬于分類變量的是(B)(A)性別 (B)吸煙(C)宗教信仰 (D)國(guó)籍解析:“吸煙”不是分類變量,“是否吸煙”才是分類變量.故選B.2.(2021·浙江寧波高二檢測(cè))現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問(wèn)題,學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本,制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖:根據(jù)這兩幅圖中的信息,下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論不正確的是(D)(A)樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量(B)樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量(C)樣本中的男生偏愛(ài)兩理一文(D)樣本中的女生偏愛(ài)兩文一理解析:由等高堆積條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量,故A正確;有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量,故B正確;男生偏愛(ài)兩理一文,故C正確;女生中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量,故D錯(cuò)誤.故選D.×2列聯(lián)表:xy合計(jì)y1y2x135a70x2151530合計(jì)50b100其中a,b處填的值分別為.

解析:由a+35=70,得a=35,由a+15=b,得b=50.答案:35,502的說(shuō)法中,正確的有.(填序號(hào))

①χ2的值越大,兩個(gè)分類變量的相關(guān)性越大;②χ2的計(jì)算公式是χ2=n(③若求出χ2=4>3.841,則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系,即有5%的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤;④獨(dú)立性檢驗(yàn)就是選取一個(gè)假設(shè)H0條件下的小概率事件,若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生了,這是與實(shí)際推斷相抵觸的“不合理”現(xiàn)象,則作出拒絕H0的推斷.解析:對(duì)于①,χ2的值越大,只能說(shuō)明我們有更大的把握認(rèn)為二者有關(guān)系,卻不能判斷相關(guān)性大小,故①錯(cuò);對(duì)于②,(ad-bc)應(yīng)為(ad-bc)2,故②錯(cuò);③④對(duì).答案:③④用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系[例1]在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中六十歲及以上的有70人,六十歲以下的有54人.六十歲及以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主,另外27人則以肉類為主;六十歲以下的人中有21人的飲食以蔬菜為主,另外33人則以肉類為主.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表,并利用aa+b解:用Ω表示調(diào)查的124人構(gòu)成的集合,考慮以Ω為樣本空間的古典概型,對(duì)于Ω中的每一位,定義分類變量X和Y如下:X=0Y=02×2列聯(lián)表如下XY合計(jì)Y=0Y=1X=0432164X=1273360合計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得aa+bcc+d顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距,據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.(1)作2×2列聯(lián)表時(shí),關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.要對(duì)Ω中的對(duì)象定義分類變量X和Y,計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無(wú)誤.(2)利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí),首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表,然后根據(jù)頻率特征,即將aa+b與cc+d(變式訓(xùn)練1:假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y,它們的可能取值分別為{0,1},其2×2列聯(lián)表為XY合計(jì)Y=0Y=1X=0101828X=1m26m+26合計(jì)10+m4454+m當(dāng)m取下面何值時(shí),X與Y的關(guān)系最弱()(A)8 (B)9 (C)14 (D)19解析:由10×26=18m,解得m≈14.4,所以當(dāng)m=14時(shí),X與Y的關(guān)系最弱.故選C.利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)[例2]某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生做了一項(xiàng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)在平時(shí)的模擬考試中,性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張,性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張.作出等高堆積條形圖,利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系.解:作列聯(lián)表如下:性格內(nèi)向性格外向合計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計(jì)4265941020相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示.圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張的學(xué)生中性格內(nèi)向的學(xué)生的比例.從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高,可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類型有關(guān).利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟(1)收集數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果.(2)列出2×2列聯(lián)表,計(jì)算頻率、粗略估計(jì).(3)畫(huà)等高堆積條形圖,直觀分析.變式訓(xùn)練2:為了研究子女吸煙與父母吸煙的關(guān)系,調(diào)查了一千多名青少年及其家長(zhǎng),數(shù)據(jù)如下:父母吸煙父母不吸煙合計(jì)子女吸煙23783320子女不吸煙6785221200合計(jì)9156051520利用等高堆積條形圖判斷父母吸煙對(duì)子女吸煙是否有影響.解:等高堆積條形圖如下.觀察圖形可以看出子女吸煙者中父母吸煙的比例要比子女不吸煙者中父母吸煙的比例高,因此可以在某種程度上認(rèn)為“子女吸煙與父母吸煙有關(guān)系”.獨(dú)立性檢驗(yàn)[例3]在傳染病學(xué)中,通常把從致病刺激物侵入機(jī)體內(nèi)或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起,到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期,因此我們應(yīng)該注意做好良好的防護(hù)措施和隔離措施.某研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)10000名患者的相關(guān)信息,得到如表表格:潛伏期/天(0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人數(shù)6001900300025001600250150(1)潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與年齡的關(guān)系,通過(guò)分層抽樣從10000名患者中抽取200人進(jìn)行研究,完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷潛伏期與患者年齡是否有關(guān)?年齡潛伏期合計(jì)潛伏期≤8天潛伏期>8天60歲以上(含60歲)15060歲以下30合計(jì)200(2)依據(jù)上述數(shù)據(jù),將頻率作為概率,且每名患者的潛伏期是否超過(guò)8天相互獨(dú)立.為了深入研究,該團(tuán)隊(duì)在這一地區(qū)抽取了20名患者,其中潛伏期不超過(guò)8天的人數(shù)最有可能是多少?附:χ2=n(αxα解:(1)由表中數(shù)據(jù)可知,潛伏期大于8天的人數(shù)為1600+250+150補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下:年齡潛伏期合計(jì)潛伏期≤8天潛伏期>8天60歲以上(含60歲)1302015060歲以下302050合計(jì)16040200零假設(shè)為H0:潛伏期與患者年齡無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得χ2=200×(130×20根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即潛伏期與患者年齡有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001.(2)該地區(qū)10000名患者中潛伏期不超過(guò)8天的人數(shù)為600+1900+3000+2500=8000,將頻率視為概率,則潛伏期不超過(guò)8天的概率為800010所以抽取的20名患者中潛伏期不超過(guò)8天的人數(shù)最有可能是20×45應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)提出零假設(shè)H0:X與Y相互獨(dú)立,并給出在問(wèn)題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較.(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論:當(dāng)χ2≥xα?xí)r,推斷H0不成立,即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立,該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α.當(dāng)χ2<xα?xí)r,沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.(4)在X與Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過(guò)比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.變式訓(xùn)練3:隨著手機(jī)的日益普及,學(xué)生使用手機(jī)給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶來(lái)諸多不利影響.為保護(hù)學(xué)生視力,讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí),防止沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲,促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展,教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》,對(duì)中小學(xué)生的手機(jī)使用和管理作出了相關(guān)的規(guī)定.某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響”,對(duì)某校80名學(xué)生調(diào)查得到部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表,記A為事件:“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀且不使用手機(jī)”;B為事件:“學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀且不使用手機(jī)”,且已知事件A的頻率是事件B的頻率的2倍.學(xué)習(xí)成績(jī)是否使用手機(jī)合計(jì)不使用使用優(yōu)秀a12不優(yōu)秀b26合計(jì)(1)求表中a,b的值,并補(bǔ)全表中所缺數(shù)據(jù);(2)根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)是否有影響?參考數(shù)據(jù):χ2=n(αxα解:(1)由已知得a+b補(bǔ)全表中所缺數(shù)據(jù)如下:學(xué)習(xí)成績(jī)是否使用手機(jī)合計(jì)不使用使用優(yōu)秀281240不優(yōu)秀142640合計(jì)423880(2)零假設(shè)為H0:中學(xué)生使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān),即中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)沒(méi)有影響.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得χ2=80×(28×26根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005.1.(2020·寧陽(yáng)縣第四中學(xué)高二期中)為了了解某高校學(xué)生喜歡使用手機(jī)支付是否與性別有關(guān),抽取了部分學(xué)生作為樣本,統(tǒng)計(jì)后作出如圖所示的等高堆積條形圖,則下列說(shuō)法正確的是(D)(A)喜歡使用手機(jī)支付與性別無(wú)關(guān)(B)樣本中男生喜歡使用手機(jī)支付的約為60%(C)樣本中女生喜歡使用手機(jī)支付的人數(shù)比男生多(D)女生比男生喜歡使用手機(jī)支付的可能性大些解析:A錯(cuò)誤,根據(jù)等高堆積條形圖,喜歡和不喜歡使用手機(jī)支付的比例因性別差距很明顯,所以喜歡使用手機(jī)支付與性別有關(guān);B錯(cuò)誤,樣本中男生喜歡使用手機(jī)支付的約為40%;女生比男生喜歡使用手機(jī)支付的可能性大些,由于不知道男、女生人數(shù),所以不能確定女生喜歡使用手機(jī)支付的人數(shù)是否比男生多,所以C錯(cuò)誤.D正確.故選D.2.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)200名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好踢毽子運(yùn)動(dòng),計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量χ2≈4.892,參照附表,得到的正確結(jié)論是(C)αxα(A)有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”(B)有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”(C)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”(D)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”3.獨(dú)立性檢驗(yàn)所采用的思路是:要研究A,B兩類變量彼此相關(guān),首先假設(shè)這兩類變量彼此,在此假設(shè)下構(gòu)造隨機(jī)變量χ2,如果χ2較大,那么在一定程度上說(shuō)明假設(shè).

答案:無(wú)關(guān)不成立[例1](2021·江西高三二模)2021年春節(jié)期間,防疫常態(tài)化要求減少人員聚集,某商場(chǎng)為了應(yīng)對(duì)防疫要求,但又不影響群眾購(gòu)物,采取推廣使用“某某到家”線上購(gòu)物App,再由物流人員送貨到家,如圖(1)為從某社區(qū)隨機(jī)抽取100位年齡在[10,70)的人口年齡段的頻率分布直方圖,如圖(2)是該樣本中各年齡段使用了“某某到家”線上購(gòu)物App人數(shù)占比的頻率柱狀圖.(1)從樣本中年齡在[60,70)的人中,隨機(jī)抽取兩人,估計(jì)都不使用“某某到家”線上購(gòu)物App的概率;(2)若把年齡低于40歲(不含)的人稱為“青年人”,根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為“青年人”更愿意使用“某某到家”線上購(gòu)物App,填寫(xiě)下列2×2聯(lián)表,并做出判斷.是否使用App年齡合計(jì)“青年人”非“青年人”使用App沒(méi)有使用App合計(jì)參考數(shù)據(jù):αxαχ2=n(解:(1)樣本中年齡在[60,70)的共有6人,其中1人會(huì)使用“某某到家”線上購(gòu)物App,記為a,b,c,d,e,A(其中A表示使用了App),從中抽取兩人,有ab,ac,ad,ae,aA,bc,bd,be,bA,cd,ce,cA,de,dA,eA,共有15種不同情況,都不使用App的情況有10種,故隨機(jī)抽取兩人,估計(jì)都不使用“某某到家”線上購(gòu)物App的概率為1015=2(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表知:是否使用APP年齡合計(jì)“青年人”非“青年人”使用App502070沒(méi)有使用App102030合計(jì)6040100零假設(shè)為H0:“青年人”與使用“某某到家”線上購(gòu)物App無(wú)關(guān),根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得χ2=100×(50×20-20×10根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為“青年人”更愿意使用“某某到家”線上購(gòu)物App,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001.[例2](2021·遼寧高三二模)某社區(qū)工作人員為了總結(jié)工作中的經(jīng)驗(yàn)和不足,設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問(wèn)卷,滿分100分,隨機(jī)發(fā)給100名男性居民和100名女性居民,分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下:100名男性居民評(píng)分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)[50,60)3[60,70)12[70,80)72[80,90)8[90,100]5合計(jì)100100名女性居民評(píng)分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)[50,60)5[60,70)15[