論文線性代數(shù)學科的真相

線性代數(shù)學科的真相前不久chensh出于不可告人的目的，要充當老師，教別人線性代數(shù)。于是我被揪住就線性代數(shù)中一些務(wù)虛性的問題與他討論了幾次。很明顯，chensh覺得，要讓自己在講線性代數(shù)的時候不被那位強勢的學生認為是神經(jīng)病，還是比較難的事情?？蓱z的chensh，誰讓你趟這個地雷陣？！色令智昏?。【€性代數(shù)課程，無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說，在全國一般工科院系教學中應(yīng)用最廣泛的同濟線性代數(shù)教材（現(xiàn)在到了第四版），一上來就介紹逆序數(shù)這個“前無古人，后無來者”的古怪概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質(zhì)和習題——把這行乘一個系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個熱鬧，可就是壓根看不出這個東西有嘛用。大多數(shù)像我一樣資質(zhì)平庸的學生到這里就有點犯暈：連這是個什么東西都模模糊糊的，就開始鉆火圈表演了，這未免太“無厘頭”了吧！于是開始有人逃課，更多的人開始抄作業(yè)。這下就中招了，因為其后的發(fā)展可以用一句峰回路轉(zhuǎn)來形容，緊跟著這個無厘頭的行列式的，是一個同樣無厘頭但是偉大的無以復(fù)加的家伙的出場——矩陣來了！多年之后，我才明白，當老師犯傻似地用中括號把一堆傻了吧嘰的數(shù)括起來，并且不緊不慢地說：“這個東西叫做矩陣”的時候，我的數(shù)學生涯掀開了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一幕！自那以后，在幾乎所有跟“學問”二字稍微沾點邊的東西里，矩陣這個家伙從不缺席。對于我這個沒能一次搞定線性代數(shù)的笨蛋來說，矩陣老大的不請自來每每搞得我灰頭土臉，頭破血流。長期以來，我在閱讀中一見矩陣，就如同阿Q見到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。事實上，我并不是特例。一般工科學生初學線性代數(shù)，通常都會感到困難。這種情形在國內(nèi)外皆然。瑞典數(shù)學家LarsGarding在其名著EncounterwithMathematics中說：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學習自然科學，現(xiàn)在看來就和文盲差不多?！保欢鞍凑宅F(xiàn)行的國際標準，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學模型，...，這就帶來了教學上的困難。”事實上，當我們開始學習線性代數(shù)的時候，不知不覺就進入了“第二代數(shù)學模型”的范疇當中，這意味著數(shù)學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，對于從小一直在“第一代數(shù)學模型”，即以實用為導(dǎo)向的、具體的數(shù)學模型中學習的我們來說，在沒有并明確告知的情況下進行如此劇烈的paradigmshift，不感到困難才是奇怪的。大部分工科學生，往往是在學習了一些后繼課程，如數(shù)值分析、數(shù)學規(guī)劃、矩陣論之后，才逐漸能夠理解和熟練運用線性代數(shù)。即便如此，不少人即使能夠很熟練地以線性代數(shù)為工具進行科研和應(yīng)用工作，但對于很多這門課程的初學者提出的、看上去是很基礎(chǔ)的問題卻并不清楚。比如說：*矩陣究竟是什么東西？向量可以被認為是具有n個相互獨立的性質(zhì)（維度）的對象的表示，矩陣又是什么呢？我們?nèi)绻J為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復(fù)合向量的展開式，那么為什么這種展開式具有如此廣泛的應(yīng)用？特別是，為什么偏偏二維的展開式如此有用？如果矩陣中每一個元素又是一個向量，那么我們再展開一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？*矩陣的乘法規(guī)則究竟為什么這樣規(guī)定？為什么這樣一種怪異的乘法規(guī)則卻能夠在實踐中發(fā)揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問題，最后竟然都歸結(jié)到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)則下面，包含著世界的某些本質(zhì)規(guī)律？如果是的話，這些本質(zhì)規(guī)律是什么？*行列式究竟是一個什么東西？為什么會有如此怪異的計算規(guī)則？行列式與其對應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？為什么只有方陣才有對應(yīng)的行列式，而一般矩陣就沒有（不要覺得這個問題很蠢，如果必要，針對mxn矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因為沒有這個必要，但是為什么沒有這個必要）？而且，行列式的計算規(guī)則，看上去跟矩陣的任何計算規(guī)則都沒有直觀的聯(lián)系，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質(zhì)？難道這一切僅是巧合？*矩陣為什么可以分塊計算？分塊計算這件事情看上去是那么隨意，為什么竟是可行的？*對于矩陣轉(zhuǎn)置運算AT，有(AB)T=BTAT，對于矩陣求逆運算A-1，有(AB)-1=B-1A-1。兩個看上去完全沒有什么關(guān)系的運算，為什么有著類似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？*為什么說P-1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”？這里的“相似”是什么意思？*特征值和特征向量的本質(zhì)是什么？它們定義就讓人很驚訝，因為Ax=λx，一個諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過相當于一個小小的數(shù)λ，確實有點奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來界定？它們刻劃的究竟是什么？這樣的一類問題，經(jīng)常讓使用線性代數(shù)已經(jīng)很多年的人都感到為難。就好像大人面對小孩子的刨根問底，最后總會迫不得已地說“就這樣吧，到此為止”一樣，面對這樣的問題，很多老手們最后也只能用：“就是這么規(guī)定的，你接受并且記住就好”來搪塞。然而，這樣的問題如果不能獲得回答，線性代數(shù)對于我們來說就是一個粗暴的、不講道理的、莫名其妙的規(guī)則集合，我們會感到，自己并不是在學習一門學問，而是被不由分說地“拋到”一個強制的世界中，只是在考試的皮鞭揮舞之下被迫趕路，全然無法領(lǐng)略其中的美妙、和諧與統(tǒng)一。直到多年以后，我們已經(jīng)發(fā)覺這門學問如此的有用，卻仍然會非常迷惑：怎么這么湊巧？我認為，這是我們的線性代數(shù)教學中直覺性喪失的后果。上述這些涉及到“如何能”、“怎么會”的問題，僅僅通過純粹的數(shù)學證明來回答，是不能令提問者滿意的。比如，如果你通過一般的證明方法論證了矩陣分塊運算確實可行，那么這并不能夠讓提問者的疑惑得到解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運算為什么竟然是可行的？究竟只是湊巧，還是說這是由矩陣這種對象的某種本質(zhì)所必然決定的？如果是后者，那么矩陣的這些本質(zhì)是什么？只要對上述那些問題稍加考慮，我們就會發(fā)現(xiàn)，所有這些問題都不是單純依靠數(shù)學證明所能夠解決的。像我們的教科書那樣，凡事用數(shù)學證明，最后培養(yǎng)出來的學生，只能熟練地使用工具，卻欠缺真正意義上的理解。自從1930年代法國布爾巴基學派興起以來，數(shù)學的公理化、系統(tǒng)性描述已經(jīng)獲得巨大的成功，這使得我們接受的數(shù)學教育在嚴謹性上大大提高。然而數(shù)學公理化的一個備受爭議的副作用，就是一般數(shù)學教育中直覺性的喪失。數(shù)學家們似乎認為直覺性與抽象性是矛盾的，因此毫不猶豫地犧牲掉前者。然而包括我本人在內(nèi)的很多人都對此表示懷疑，我們不認為直覺性與抽象性一定相互矛盾，特別是在數(shù)學教育中和數(shù)學教材中，幫助學生建立直覺，有助于它們理解那些抽象的概念，進而理解數(shù)學的本質(zhì)。反之，如果一味注重形式上的嚴格性，學生就好像被迫進行鉆火圈表演的小白鼠一樣，變成枯燥的規(guī)則的奴隸。對于線性代數(shù)的類似上述所提到的一些直覺性的問題，兩年多來我斷斷續(xù)續(xù)地反復(fù)思考了四、五次，為此閱讀了好幾本國內(nèi)外線性代數(shù)、數(shù)值分析、代數(shù)和數(shù)學通論性書籍，其中像前蘇聯(lián)的名著《數(shù)學：它的內(nèi)容、方法和意義》、龔升教授的《線性代數(shù)五講》、前面提到的EncounterwithMathematics（《數(shù)學概觀》）以及ThomasA.Garrity的《數(shù)學拾遺》都給我很大的啟發(fā)。不過即使如此，我對這個主題的認識也經(jīng)歷了好幾次自我否定。比如以前思考的一些結(jié)論曾經(jīng)寫在自己的blog里，但是現(xiàn)在看來，這些結(jié)論基本上都是錯誤的。因此打算把自己現(xiàn)在的有關(guān)理解比較完整地記錄下來，一方面是因為我覺得現(xiàn)在的理解比較成熟了，可以拿出來與別人探討，向別人請教。另一方面，如果以后再有進一步的認識，把現(xiàn)在的理解給推翻了，那現(xiàn)在寫的這個snapshot也是很有意義的。因為打算寫得比較多，所以會分幾次慢慢寫。也不知道是不是有時間慢慢寫完整，會不會中斷，寫著看吧。--------------------------------------------------------------------------今天先談?wù)剬€形空間和矩陣的幾個核心概念的理解。這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來的，基本上不抄書，可能有錯誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺，也就是說能把數(shù)學背后說的實質(zhì)問題說出來。首先說說空間(space)，這個概念是現(xiàn)代數(shù)學的命根子之一，從拓撲空間開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間?？傊?，空間有很多種。你要是去看某種空間的數(shù)學定義，大致都是“存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，然后滿足某些性質(zhì)”，就可以被稱為空間。這未免有點奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，其實這是很有道理的。我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數(shù)學上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什么最基本的特點。仔細想想我們就會知道，這個三維的空間：1.由很多（實際上是無窮多個）位置點組成；2.這些點之間存在相對的關(guān)系；3.可以在空間中定義長度、角度；4.這個空間可以容納運動，這里我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運動，上面的這些性質(zhì)中，最最關(guān)鍵的是第4條。第1、2條只能說是空間的基礎(chǔ)，不算是空間特有的性質(zhì)，凡是討論數(shù)學問題，都得有一個集合，大多數(shù)還得在這個集合上定義一些結(jié)構(gòu)（關(guān)系），并不是說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關(guān)鍵的性質(zhì)。只有第4條是空間的本質(zhì)，也就是說，容納運動是空間的本質(zhì)特征。認識到了這些，我們就可以把我們關(guān)于三維空間的認識擴展到其他的空間。事實上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運動（變換）。你會發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會存在一種相對應(yīng)的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應(yīng)空間中允許的運動形式而已。因此只要知道，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規(guī)定了對應(yīng)空間的運動。下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認線性空間是個空間，那么有兩個最基本的問題必須首先得到解決，那就是：1.空間是一個對象集合，線性空間也是空間，所以也是一個對象集合。那么線性空間是什么樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什么共同點嗎？2.線性空間中的運動如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？我們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候其實是不用拐彎抹角的，可以直截了當?shù)慕o出答案。線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標的辦法，都可以表達為向量的形式。通常的向量空間我就不說了，舉兩個不那么平凡的例子：L1.最高次項不大于n次的多項式的全體構(gòu)成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以x0,x1,...,xn為基，那么任何一個這樣的多項式都可以表達為一組n+1維向量，其中的每一個分量ai其實就是多項式中x(i-1)項的系數(shù)。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關(guān)就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。L2.閉區(qū)間[a,b]上的n階連續(xù)可微函數(shù)的全體，構(gòu)成一個線性空間。也就是說，這個線性空間的每一個對象是一個連續(xù)函數(shù)。對于其中任何一個連續(xù)函數(shù)，根據(jù)魏爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項不大于n的多項式函數(shù)，使之與該連續(xù)函數(shù)的差為0，也就是說，完全相等。這樣就把問題歸結(jié)為L1了。后面就不用再重復(fù)了。所以說，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量可以表示線性空間里任何一個對象。這里頭大有文章，因為向量表面上只是一列數(shù)，但是其實由于它的有序性，所以除了這些數(shù)本身攜帶的信息之外，還可以在每個數(shù)的對應(yīng)位置上攜帶信息。為什么在程序設(shè)計中數(shù)組最簡單，卻又威力無窮呢？根本原因就在于此。這是另一個問題了，這里就不說了。下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數(shù)的一個最根本的問題。線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那么，線性變換如何表示呢？很有意思，在線性空間中，當你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發(fā)生對應(yīng)運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。簡而言之，在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。是的，矩陣的本質(zhì)是運動的描述。如果以后有人問你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質(zhì)是運動的描述。（chensh，說你呢?。┛墒嵌嗝从幸馑及?，向量本身不是也可以看成是nx1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和運動竟然可以用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運的巧合！可以說，線性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)，均與這個巧合有直接的關(guān)系。接著理解矩陣、、、我們說“矩陣是運動的描述”，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒什么意見。但是我相信早晚會有數(shù)學系出身的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)。因為運動這個概念，在數(shù)學和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我們學習微積分的時候，總會有人照本宣科地告訴你，初等數(shù)學是研究常量的數(shù)學，是研究靜態(tài)的數(shù)學，高等數(shù)學是變量的數(shù)學，是研究運動的數(shù)學。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多。簡而言之，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗里，運動是一個連續(xù)過程，從A點到B點，就算走得最快的光，也是需要一個時間來逐點地經(jīng)過AB之間的路徑，這就帶來了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數(shù)學非常強，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運動，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜?shù)人膫€悖論）搞得死去活來。因為這篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數(shù)學是研究運動的數(shù)學”這句話的道理。不過在我這個《理解矩陣》的文章里，“運動”的概念不是微積分中的連續(xù)性的運動，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個時刻在A點，經(jīng)過一個“運動”，一下子就“躍遷”到了B點，其中不需要經(jīng)過A點與B點之間的任何一個點。這樣的“運動”，或者說“躍遷”，是違反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗的。不過了解一點量子物理常識的人，就會立刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級軌道上跳躍，就是瞬間發(fā)生的，具有這樣一種躍遷行為。所以說，自然界中并不是沒有這種運動現(xiàn)象，只不過宏觀上我們觀察不到。但是不管怎么說，“運動”這個詞用在這里，還是容易產(chǎn)生歧義的，說得更確切些，應(yīng)該是“躍遷”。因此這句話可以改成：“矩陣是線性空間里躍遷的描述”?？墒沁@樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數(shù)學，也就是說不夠抽象。因此我們最后換用一個正牌的數(shù)學術(shù)語——變換，來描述這個事情。這樣一說，大家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實就是空間里從一個點（元素/對象）到另一個點（元素/對象）的躍遷。比如說，拓撲變換，就是在拓撲空間里從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。附帶說一下，這個仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計算機圖形學的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4x4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關(guān)。真正的原因，是因為在計算機圖形學里應(yīng)用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。想想看，在向量空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現(xiàn)實世界等長的兩個平行線段當然不能被認為同一個東西，所以計算機圖形學的生存空間實際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4x4的。又扯遠了，有興趣的讀者可以去看《計算機圖形學——幾何工具算法詳解》。一旦我們理解了“變換”這個概念，矩陣的定義就變成：“矩陣是線性空間里的變換的描述?！钡竭@里為止，我們終于得到了一個看上去比較數(shù)學的定義。不過還要多說幾句。教材上一般是這么說的，在一個線性空間V里的一個線性變換T，當選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的，設(shè)有一種變換T，使得對于線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y，以及任意實數(shù)a和b，有：T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，那么就稱T為線性變換。定義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺的理解。線性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說了，變換是從空間的一個點躍遷到另一個點，而線性變換，就是從一個線性空間V的某一個點躍遷到另一個線性空間W的另一個點的運動。這句話里蘊含著一層意思，就是說一個點不僅可以變換到同一個線性空間中的另一個點，而且可以變換到另一個線性空間中的另一個點去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對象，這個變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個非奇異矩陣來描述。而你用一個非奇異矩陣去描述的一個變換，一定是一個線性變換。有的人可能要問，這里為什么要強調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對方陣有意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個說起來就會比較冗長了，最后要把線性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺得這個不算是重點，如果確實有時間的話，以后寫一點。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說，下面所說的矩陣，不作說明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。學習一門學問，最重要的是把握主干內(nèi)容，迅速建立對于這門學問的整體概念，不必一開始就考慮所有的細枝末節(jié)和特殊情況，自亂陣腳。接著往下說，什么是基呢？這個問題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線性空間里的坐標系就可以了。注意是坐標系，不是坐標值，這兩者可是一個“對立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個坐標系。就這意思。好，最后我們把矩陣的定義完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對于任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述?！崩斫膺@句話的關(guān)鍵，在于把“線性變換”與“線性變換的一個描述”區(qū)別開。一個是那個對象，一個是對那個對象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨?，一個對象可以有多個引用，每個引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個對象。如果還不形象，那就干脆來個很俗的類比。比如有一頭豬，你打算給它拍照片，只要你給照相機選定了一個鏡頭位置，那么就可以給這頭豬拍一張照片。這個照片可以看成是這頭豬的一個描述，但只是一個片面的的描述，因為換一個鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個片面的描述。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描述，但是又都不是這頭豬本身。同樣的，對于一個線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個矩陣，我怎么知道這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢？如