圓軸扭轉(zhuǎn)內(nèi)力應(yīng)力

圓軸扭轉(zhuǎn)內(nèi)力應(yīng)力1第1頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六目錄第八章扭轉(zhuǎn)

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8.1

扭轉(zhuǎn)的概念

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8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖§

8.3剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定理§

8.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算第十一講內(nèi)容目錄EngineeringMechanics第2頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§8.1

扭轉(zhuǎn)的概念汽車傳動(dòng)軸EngineeringMechanics第3頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六汽車方向盤操縱桿§8.1扭轉(zhuǎn)的概念EngineeringMechanics第4頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？擰緊螺母的工具桿不僅產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，而且產(chǎn)生剪切。§8.1扭轉(zhuǎn)的概念EngineeringMechanics5第5頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§8.1扭轉(zhuǎn)的概念EngineeringMechanics6第6頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？連接汽輪機(jī)和發(fā)電機(jī)的傳動(dòng)軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)?！?.1扭轉(zhuǎn)的概念EngineeringMechanics7第7頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六請(qǐng)判斷哪一部件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？唱機(jī)的心軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。§8.1扭轉(zhuǎn)的概念EngineeringMechanics8第8頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)。受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)，作用著一對(duì)力偶，其力偶矩相等、轉(zhuǎn)向相反。扭轉(zhuǎn)角：任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度。受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)?！?.1扭轉(zhuǎn)的概念EngineeringMechanics第9頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、直接計(jì)算一.外力偶矩

§

8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖EngineeringMechanics第10頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。

如果功率P的單位用馬力（1馬力=735.5W=0.7355

kW

），則

§8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖EngineeringMechanics第11頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、扭矩T：當(dāng)桿件受到外力偶作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，在桿橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力，稱為扭矩T，單位為KN.m或N.m

如果只在軸的兩個(gè)端截面作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在軸上的外力偶矩扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手四指與扭矩轉(zhuǎn)向一致，拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)(-)

§8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖EngineeringMechanics第12頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

當(dāng)在軸的長(zhǎng)度方向上有兩個(gè)以上的外力偶矩作用時(shí)，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時(shí)需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。

§8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖EngineeringMechanics第13頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、扭矩圖diagramoftorsionmoment)：表征扭矩沿桿長(zhǎng)的

變化規(guī)律的圖象(繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似）

§8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖EngineeringMechanics第14頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圓軸受有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。試：畫出圓軸的扭矩圖。

例題8-1

§8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖EngineeringMechanics第15頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：1．確定控制面外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面

2．截面法求各段扭矩3．建立T－x坐標(biāo)系，畫出扭矩圖建立T－x坐標(biāo)系，其中x軸平行于圓軸的軸線，T軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標(biāo)在Mx－x坐標(biāo)系中，得到相應(yīng)的點(diǎn)，過這些點(diǎn)作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。

315630486（—）（+）T（kN.m）x315315T3315486T1T2

§8.2外力偶矩計(jì)算扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩與扭矩圖EngineeringMechanics第16頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例3-2、如圖，主動(dòng)輪A的輸入功率PA=36kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=11kW，PD=14kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min.試畫出傳動(dòng)軸的扭矩圖從最外母線看，外力偶切線方向與扭矩圖從左到右突變方向相同。EngineeringMechanics第17頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)壁厚（r0：為平均半徑）（一）、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力偶m。2.實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。②各縱向線均傾斜了同一微小角度。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形?！?/p>

8.3剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定理EngineeringMechanics第18頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六①由于圓周線之間的距離不變,所以桿件軸線的長(zhǎng)度既沒有伸長(zhǎng)也沒有縮短.薄壁圓筒在扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面上無(wú)正壓力,沿半徑方向也無(wú)剪應(yīng)力.

4.φ與的關(guān)系：微小矩形單元體如圖所示：同時(shí)變形沿園周切線方向,則剪應(yīng)力也應(yīng)當(dāng)沿園周的切線方向,即垂直于半徑方向,②由于表面縱線的傾斜,所有的小矩形都發(fā)生了歪斜而成了平行四邊形,這可以說明左右兩個(gè)截面間產(chǎn)生了相對(duì)的平移錯(cuò)動(dòng).因此截面上有剪應(yīng)力τ存在.同時(shí)每個(gè)小矩形的變形相同.可見每個(gè)小矩形必受到相同的剪力作用.這說明橫截面上同一園周上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都是相等的.φl(shuí)Tτ

與扭矩轉(zhuǎn)向一致.§

8.3剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定理EngineeringMechanics第19頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、薄壁圓筒剪應(yīng)力大?。?/p>

A0：平均半徑所作圓的面積?！?/p>

8.3剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定理EngineeringMechanics第20頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、剪應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。

acddxbdy′′tz該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。TττT點(diǎn)右截面點(diǎn)左截面§

8.3剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定理EngineeringMechanics第21頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、剪切虎克定律：

單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。T=mφ

剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系?！?/p>

8.3剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定理EngineeringMechanics第22頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無(wú)量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來(lái)?！?/p>

8.3剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定理EngineeringMechanics第23頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力應(yīng)用平衡方法可以確定圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力分量——扭矩，但是不能確定橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的大小。為了確定橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應(yīng)力是怎樣分布的。（一）幾何方面：扭轉(zhuǎn)時(shí)，圓軸的表面變形和薄壁圓筒表面變形相似，即在小變形情況下，各圓周線的形狀、大小和間距不改變，僅繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，各縱線則傾斜同一角度，若軸內(nèi)變形和其表面變形相似，則可假定：1、平面假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面，其大小形狀均不改變，半徑仍為直線；2、變形后相鄰橫截面間的距離不變。（二）物理方面（線彈性范圍內(nèi)）（三）靜力學(xué)方面EngineeringMechanics24第24頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過程§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算EngineeringMechanics25第25頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、平面假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉(zhuǎn)過一角度。這一假定稱為平面假定。剪應(yīng)力互等定理§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算EngineeringMechanics26第26頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六距圓心為任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。2、變形協(xié)調(diào)方程

若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據(jù)上述結(jié)論，在dx長(zhǎng)度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小者剪應(yīng)變?cè)叫　?/p>

設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)椋ǎ?，則從圖中可得到如下幾何關(guān)系：3、物性關(guān)系——剪切胡克定律

、τEngineeringMechanics27第27頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六Ttmaxtmax§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算EngineeringMechanics28第28頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.靜力學(xué)方程：TOdA令τ物理關(guān)系式§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算EngineeringMechanics29第29頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六—橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。5.公式討論：GIP—扭轉(zhuǎn)剛度；①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。—該點(diǎn)到圓心的距離。Ip—極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。TOτ§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算EngineeringMechanics30第30頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿,只是Ip值不同。對(duì)于實(shí)心