實(shí)驗(yàn)五常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解

實(shí)驗(yàn)五常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解第1頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、基本概念與結(jié)論1．常微分初值問(wèn)題常微分方程特解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題，通常其形式為2．常微分初值問(wèn)題數(shù)值解常微分方程初值問(wèn)題的解在上的有限個(gè)值的近似值稱為常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解，其中稱為節(jié)點(diǎn)，稱為步長(zhǎng)。通常步長(zhǎng)取等距步長(zhǎng),其中為區(qū)間的分割數(shù)。第2頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3．單步法4．多步法在計(jì)算時(shí)只用到的方法，其計(jì)算公式為顯式單步計(jì)算公式隱式單步計(jì)算公式式中函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，稱為增量函數(shù)。在計(jì)算時(shí)不僅用到,還要用到的方法，一般步方法要用到,多步法也有顯式方法和隱式方法之分。第3頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5．?dāng)?shù)值解法的局部截?cái)嗾`差6．?dāng)?shù)值解法的階為該數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差。假設(shè)某常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法在沒(méi)有誤差，即，稱顯式單步法局部截?cái)嗾`差為某常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解的局部截?cái)嗾`差為則稱該數(shù)值解法的階為。第4頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、Euler折線法

Euler折線法是最簡(jiǎn)單的求常微分方程數(shù)值解的法方。此方法精度不高，實(shí)用中較少使用。此方法常用來(lái)說(shuō)明求常微分方程數(shù)值解所涉及到的一些問(wèn)題。1．Euler折線法的構(gòu)造過(guò)程之一設(shè)充分光滑，將在點(diǎn)作泰勒展開(kāi)，得：取其關(guān)于的線性部分，有第5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六注意到，用代替，并將約等號(hào)換為等號(hào)，得到Euler公式Euler折線法是單步顯式方法。其截?cái)嗾`差因此，Euler折線法是一階方法。由初始條件，借助Euler公式就可依次計(jì)算出微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法，此方法稱為Euler折線法。第6頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將微分方程的初值問(wèn)題2．Euler折線法的構(gòu)造過(guò)程之二記,從而,則有化成一個(gè)代數(shù)方程(差分方程),主要步驟是用插商代替微商,于是第7頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3．Euler折線法的構(gòu)造過(guò)程之三假設(shè)及其對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)在包含點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)上連續(xù)且有界，由牛頓－萊布尼茲公式有取不同的,用不同的近似函數(shù)代替可得到不同的數(shù)值解法。在上式中，取，而積分用矩形公式，則有左矩形公式：顯式Euler折線法右矩形公式：隱式Euler折線法第8頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于顯式Euler折線法：誤差分析：由泰勒公式顯式Euler折線法是一階方法。對(duì)于隱式Euler折線法：可見(jiàn)，隱式Euler折線法也是一階方法。及第9頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4．Euler折線法的算法

(1)輸入函數(shù),初值,變量區(qū)間端點(diǎn)及步長(zhǎng);(2)計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)和節(jié)點(diǎn);(3)用Euler公式求數(shù)值解。例1．用Euler折線法求初值問(wèn)題的數(shù)值解，步長(zhǎng)，并在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出數(shù)值解與準(zhǔn)確解的圖形。5.例題與實(shí)驗(yàn)第10頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、改進(jìn)的Euler方法在上述公式中，對(duì)積分用梯形公式，有：可得求微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解的梯形公式：誤差分析：由前可知于是有可見(jiàn)，上述公式是單步隱式公式，且為二階方法。1．改進(jìn)的Euler方法的構(gòu)造過(guò)程第11頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上述方法比Euler折線法階數(shù)高，但是在給定初始條件后要求出數(shù)值解，每一次計(jì)算的值都要進(jìn)行非線性方程求根的迭代解法來(lái)完成，因此計(jì)算量大。為了減少計(jì)算量，通常采用先用Euler公式進(jìn)行一次預(yù)測(cè)，然后再用梯形公式進(jìn)行校正，從而得到下一步的值，其計(jì)算格式為此方法稱為Euler予估-校正法。第12頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2．Euler予估-校正法的算法

(1)輸入函數(shù),初值,變量區(qū)間端點(diǎn)及步長(zhǎng);(2)計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)和節(jié)點(diǎn);(3)用改進(jìn)的Euler公式求數(shù)值解。3．例題與實(shí)驗(yàn)例2．用Euler予估-校正法求初值問(wèn)題的數(shù)值解，取步長(zhǎng)和計(jì)算，并與準(zhǔn)確解進(jìn)行比較。第13頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、Runge-Kutta法1．Runge-Kutta法的構(gòu)造過(guò)程在公式中,仍取,而積分利用積分中值定理，有：為增加求解精度，把寫成一個(gè)線性組合的形式并用代替,就得到Runge-kutta方法的一般形式上式若選擇不同的值，就得到不同形式的Runge-kutta計(jì)算公式。第14頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六通常為方便獲得Runge-Kutta計(jì)算公式，常把Runge-Kutta方法的一般形式寫為：利用二元泰勒展開(kāi)將公式中的在展開(kāi)并適當(dāng)?shù)倪x擇參數(shù)，就可以得到具體的Runge-Kutta計(jì)算公式。第15頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六它的增量函數(shù)為時(shí)二階Runge-Kutta計(jì)算公式為它的局部截?cái)嗾`差為第16頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這是4個(gè)參數(shù)3個(gè)方程的方程組，其解有無(wú)窮多個(gè)。例如可取，可以得到。于是得到一個(gè)的二階計(jì)算公式它被稱為中點(diǎn)公式。利用在作二元泰勒展開(kāi)，其階數(shù)為2階，則有第17頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六經(jīng)典的Runge-Kutta法是四階的，其形式為Euler折線法實(shí)為一階Runge-Kutta法。第18頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2．四階Runge-kutta法的算法

(1)輸入函數(shù),初值,變量區(qū)間端點(diǎn)及步長(zhǎng);(2)計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)和節(jié)點(diǎn);(3)用四階Runge-kutta公式求數(shù)值解。3．例題與實(shí)驗(yàn)例3．用經(jīng)典Runge-kutta求初值問(wèn)題的數(shù)值解，分別取步長(zhǎng)和計(jì)算,并與準(zhǔn)確解在處進(jìn)行比較。第19頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六練習(xí)題1．用Euler折線法求初值問(wèn)題的數(shù)值解，步長(zhǎng)，并在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出數(shù)值解與準(zhǔn)確解的圖形。2．用Euler折線法求初值問(wèn)題的數(shù)值解，取步長(zhǎng)和計(jì)算，并與準(zhǔn)確解進(jìn)行比較。第20頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4．用Euler予估-校正法求初值問(wèn)題的數(shù)值解，取步長(zhǎng)和計(jì)算，并與準(zhǔn)確解進(jìn)行比較。3．用Euler予估-校