2017新課標(biāo)高考理科數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)模擬試卷(一)

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知命題R,sinxWl,則()

A.—i/7:GR,siax^lB.—：VxGR,siar》1

C.—^p:GR,sinx>l不能D.—ip:VxGR,sinx>l

則向量j_Q-3力=()

2.己知平面向量a=(1,1),b(1-1),

22

A.(—2,—1)B.(—2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

71T17T

3.函數(shù)y=sin2工一二|在區(qū)間一萬(wàn),71的簡(jiǎn)圖是()

3

Ay

兀匕

0O

2

-13.

，J

71K

6

o:x

C-IP-

4.已知｛%｝是等差數(shù)列，伯o=lO,其前10項(xiàng)和Su)=70,則其公差d二(

2112

A.——B.---C.一D.一

3333

5.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的S=()

A.2450B.2500

C.2550D.2652

6.已知拋物線y2=2px（〃>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Pi（X,,y,）,P2（M，刃），P35,為）在拋物線上，且

2元2=兩+犬3，則有（）

A.附+閥|=|冏B.|咐「+芥「=|附2

C.2|R|=|%|+|R|D.|陽(yáng)=I阿?附|

7.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則（"+"）的最小值是（）

cd

A.0B.1C.2D.4

8.已知某個(gè)幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是（）

幽而8000

A.B.-c-m--3-

33

20―?

C.2000cm3D.4000cm3側(cè)視圖

cos2a

9.若—，則cosa+sina的值為（)

2

sina--

(4

俯視圖

A一且1D,且

B.C.一

2222

1

10.曲線y=e5'在點(diǎn)（4,e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）

A.-e2年B.4e2,C.2e2D.e2

2

11.甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤?/p>

甲的成績(jī)乙的成績(jī)丙的成績(jī)

環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910

頻數(shù)5555頻數(shù)6446頻數(shù)4664

S|,S2,S3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）

A.S3>S1>S2B.S2>S|>S3C.S|>s2>S3D.S2>S3>Si

12.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各

側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等。設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為九,K,

〃，則〃]：4：a=（）

A.V3:l:lB.^3:2:2C.6:2:夜D.6:2:6

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,則該雙曲線的離心率為o

14.設(shè)函數(shù)/（x）=攵里生?為奇函數(shù)，貝i]a=。

X

15.i是虛數(shù)單位，-5+10?=。（用〃+力的形式表示，a,beR）

3+4z--------------

16.某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安

排方法共有種。（用數(shù)字作答）

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.（本小題滿分12分）

如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D?，F(xiàn)測(cè)得

/BCD=a,NBDC=0,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為

e,求塔高AB。

D

18.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，NBAC=90°,0為BC中點(diǎn)。

(I)證明：SOJ_平面ABC；

(II)求二面角A—SC—B的余弦值。

19.(本小題滿分12分)

2

在平面直角坐標(biāo)系2)，中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,夜)且斜率為k的直線1與橢圓：+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

P和Q。

(1)求k的取值范圍;

(H)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B,是否存在常數(shù)k,使得向量。P+OQ與

AB共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

20.(本小題滿分12分)

如圖，面積為S的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M,可按下面方法估計(jì)M的面積：在正方形

ABCD中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，若n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為一S,假設(shè)正方形

n

ABCD的邊長(zhǎng)為2,M的面積為1,并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，

以X表示落入M中的點(diǎn)的數(shù)目。4

([)求X的均值EX：

(H)求用以上方法估計(jì)M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間(一

0.03,,0.03)內(nèi)的概率。

A

0000

附表：P(Z)=￡c；000Gx0.25'xO^-'

t=O

K2424242525742575

P(k)0.04030.04230.95700.9590

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)-ln(x+a)+x2

(I)若當(dāng)戶一1時(shí)，f(x)取得極值，求。的值，并討論了(X)的單調(diào)性；

e

(II)若f(x)存在極值，求“的取值范圍，并證明所有極值之和大于In]。

22.請(qǐng)考生在A、B、中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)，用2B鉛筆在答題

卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。

A(本小題滿分10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

OO,和的極坐標(biāo)方程分別為夕=4cos夕夕=Tsin6。

(1)把。01和。。2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(H)求經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程。

B(本小題滿分10分)選修4—5；不等式選講設(shè)函數(shù)/(幻=|2]+1]—上一4|。

(I)解不等式/(%)>2；

(II)求函數(shù)產(chǎn)/(x)的最小值。

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)模擬試卷（一）

參考答案

一、選擇題

1.C2.D3.A4.D5.C6.C

7.D8.B9.C10.D11.B12.B

二、填空題

13.314.-115.l+2i16.240

三、解答題

17.解：在△BCD中，NCBD=Ti-a—/3

由正弦定理得

BCCD

sinNBDC-sinZCBD

CDsinZ.BDC_s-sin4

所以BC=

sinZCBDsin(a+/3)

在Rt^ABC中，AB=BCtanZACB=^tan615111

sin(a+仍

18.證明：（［）由題設(shè)AB二AC二SB=SC=SA,連結(jié)04,△ABC為等腰直角三角形，所以

萬(wàn)且SO=^SA,

04=03=0。=、一S4,且勿應(yīng)，又△出?為等腰三角形，故SO

22

從而。A?+502—以2

所以△SQ4為直角三角形，SO^AO

又AOBO=O.

所以SO_L平面ABC

(II)

解法一：取SC中點(diǎn)M,連結(jié)AM,OM,由(I)知SO=OC,SA=AC,得ISC,AM

...NOMA為二面角A-SC-5的平面角.

由AOL5C,AO±SO,SO8C=0得A。，平面SBC

所以AOJ.OM,又AM=@SA,

2

,,.AOy[2y[6

故sinAAMO—----=—f=——

AMyjj3

所以二面角A—SC-8的余弦值為亞

3

解法二：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線。8。4分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.

設(shè)5(1,0,0),則。(一1,。0),4(0,1,0),5(0,04)

SC的中點(diǎn)Lo」],二

I22)xB

MO*,。,—；)%*4,-；-5C=(-l,0,-l)

：.MO*SC=0,MASC=0

故MOLSC,MALSC,<MO,M4>等于二面角A-SC—8的平面角.

cos<MaMA>=MO'^A=2a,所以二面角A-SC-8的余弦值為迫

33

19.解：(I)由已知條件，直線/的方程為y=日+近，

2

代入橢圓方程得與+(乙+后)2=1

整理得\-+k2\x2+242kx+l=0①

直線I與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于△=8公-44公一2>0,

55rv2

解得k＜_注或上〉注.即左的取值范圍為-8——,+8

222

(II)設(shè)P(5,y}),Q(X2,%)，則OP+OQ=(%+9，

4后

由方程①，%+%2=②

i+2k2

又X+%=44+@+廣③

而4四0),B(ai),AB=(-V2,l)

所以O(shè)P+OQ與AB共線等價(jià)于％+%=-歷(必+必)，

將②③代入上式，解得攵=42

由（I）知左＜一也或%＞交，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)女

22

20.解：每個(gè)點(diǎn)落入M中的概率均為p

4

依題意知X?8,0000,；

(I)EX=10000x1=2500

4

(II)依題意所求概率為P|-0.03<一工一x4-l<0.03],

I10000J

(V)

P\-0.03<-------x4-l<0.03=P(2425Vx<2575)

I10000

2574

=￡G'oooox0.25,X0.7513

7=2426

25742425

,mo10000

tC嬴x0-25‘xO.75-'-XC000Gx0.25,xO.75-'

1=2426z=0

=0.9570-0.0423

=0.9147

21.解：(I)f'(x)=-^—+2x,

x+a

3

依題意有/'(-1)=0,故。二不

2r+3x+1(2x+l)(x+D

從而廣(幻

3-3

x+-x+一

22

/(X)的定義域?yàn)?—g,+8),當(dāng)一,<x<—i時(shí)，/(幻>0；

當(dāng)時(shí)，/'(x)<0；

當(dāng)x〉—J時(shí)，/(x)>0

從而，/(x)分別在區(qū)間(一|，一1)，［一；，+8)單調(diào)增加，在區(qū)間1―1,—g)單調(diào)減少

2x2+2ox+l

(11)/(X)的定義域?yàn)?一々+8),尸(?

x+a

方程2f+2公+1=0的判別式A=4/_8

(i)若A<0,即一0<。<血，在/(x)的定義域內(nèi)/'(x)>0,故/(x)的極值

(ii)若△=(),則。一血或。=一起

(缶-1)2

若a=&,xe(―V2+0°)>r(x)

X+A/2

5

當(dāng)工=--相時(shí)，/'(X)=0,當(dāng)尤￡時(shí)，/'(x)>0,所以/(x)無(wú)極值

2)

若a=-0,XG(V2,+°°),7(%)=(拒A」)〉0,/(%)也無(wú)極值

x-V2

(iii)若△>(),即a〉血或〃<一0,則2f+2s+l=0有兩個(gè)不同的實(shí)根內(nèi)=—.一，一—2,

—a+Ja2-2

x=------------

22

當(dāng)。<—0時(shí)，X1<-a,x2<-a,從而/'(x)有/(x)的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故/(尤)無(wú)極值

當(dāng)a>J5時(shí)，x{>-a,毛>一4,((幻在/(x)的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法

知/(X)在X=X],x=x2取得極值.

綜上，/(X)存在極值時(shí)，a的取值范圍為(J5,+8)

/(幻的極值之和為

2

/(玉)+/(%2)=ln(不+a)+x；+ln(%2+a)+x2

1e

=In—+a0—-1>1-In2=In—

22

22.A解：解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。

(I)x=pcos0,y-psin0,由Q=4COS9得夕？=4℃os。

所以V+y=4x

即f+y2—4x=。為。q的直角坐標(biāo)方程。

同理V+V+4了=。為。Q2的直角坐標(biāo)方程。

x2+y2-4x=0,

(II)由\,

d+y_+4y=0

,x,=0,(x=2

解得1\27

J=°，1%=-2

即。q,OQ交于點(diǎn)(0,0)和(2,-2)過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-X

B解：（I）令y=|21+1|-上一4|,則

-x—5,

2

y=<3x-3,——<x<4,

2

x+5,xN4.

作出函數(shù)y=|2x+l|-|x—4|的圖象，它與直線y=2的交點(diǎn)為(—7,2)和|1,2

<5、

所以|2x+l|—卜一4|>2的解集為(y。,—7)—,+oo

13

7

1Q

(II)由函數(shù)y=|2元+1]—?dú)w一4]的圖像可知，當(dāng)天二一2時(shí)，y=|2x+l|—|x—4|取得最小值一萬(wàn)

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1、已知函數(shù)y=2sin（3x+4>）（3>0）在區(qū)間［0,2的圖像如下：那么3=

A.1B.2C.1/2D.1/3

一2z

2、已知復(fù)數(shù)z=l-i,則-------=（）

z-1

A.2iB.-2iC.2D.-2

3、如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為（

A.5/18B.3/4C.V3/2D.7/8

4、設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比q=2,前n項(xiàng)和為S,,則包=（）

5、右面的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大

的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個(gè)選項(xiàng)中的（）

A.c>xB.x>cC.c>bD.b>c

6、已知4>4>例>o，則使得（1一<1（i=1,2,3）都成立的工取值范

圍是（）

12

A.（0,—）B.（0,—）

44

/1、2、

C.（0,—）D.（0,—）

%%

3-sin70°,、

7、----------（）

2-cos2100

1,2

A.-B.---C.2D.此

222

8、平面向量］方共線的充要條件是（）

111

A.力方向相同B.a,b兩向量中至少有一個(gè)為零向量

11D.存在不全為零的實(shí)數(shù)4,4,4；+4力=；）

C.3Ze/?,b=A.a

9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至

多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種C.40種D.60種

10、由直線x=L,x=2,曲線y=L及x軸所圍圖形的面積為（）

2x

1517

A.B.C.-In2D.2In2

~442

11、已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得

最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(一，—1)B.(-,1)C.(1,2)D.(1,-2)

44

12、某幾何體的一條棱長(zhǎng)為近，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為痛的線段，在該幾何體

的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為()

A.2-V2B.2>j3C.4D.275

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。

13、已知向量)=(0,—1,1),1=(4,1,0),|〃+和=月且?guī)?gt;0,則；1=

14、過(guò)雙曲線土-二=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F。過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線

916

交于點(diǎn)B,則4AFB的面積為

15、一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱

柱的體積為(9，底面周長(zhǎng)為3,那么這個(gè)球的體積為

O

16、從甲、乙兩品種的棉花中各抽測(cè)了25根棉花的纖維長(zhǎng)度(單位：mm),結(jié)果如下：

甲品

271273280285285287292294295301303303307

種：

308310314319323325325328331334337352

乙品

284292295304306307312313315315316318318

種：

由

320322322324327329331333336337343356

以

上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖:

甲乙

3127

7550284

5422925

8733130467

940312355688

855332022479

741331367

343

2356

根據(jù)以上莖葉圖，對(duì)甲乙兩品種棉花的纖維長(zhǎng)度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論：

①_____________________________________________________________________________

三、解答題：本大題共6小題，滿分70分。解答須寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算步驟。

17、(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛4｝是一個(gè)等差數(shù)列，且4=1,仆=—5。

(1)求｛%｝的通項(xiàng)

(2)求｛4』前n項(xiàng)和S“的最大值。

18、(本小題滿分12分)

如圖,已知點(diǎn)P在正方體ABCD—ABCD的對(duì)角線B?上，NPDA=60°。

(1)求DP與CG所成角的大??；

(2)求DP與平面AAiDjD所成角的大小。

AB

19、（本小題滿分12分）A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2。根據(jù)市場(chǎng)分析，Xi和X2

的分布列分別為

XI5%10%X22%8%12%

P0.80.2P0.20.50.3

（1）在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Yi和丫2分別表示投資項(xiàng)目A利B所獲得的利潤(rùn)，求

方差DY|、DY2；

（2）將x（0Wx<100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100-x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f（x）表示投資A項(xiàng)目所得利

潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x為何值時(shí)，f（x）取

到最小值。

（注：D（aX+b）=a2DX）

22

20、（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C|：1+與=1（4>/,>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab~

F2OF2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C|與Q在第一象限的交點(diǎn)，且|"行|=|。

⑴求G的方程；皿3…

ULIULB1

（2）平面上的點(diǎn)N滿足=+MF2,直線/〃MN,且與Ci交于A、B兩點(diǎn)，若。4?08=0,

求直線/的方程。

21、(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)/(x)=ax+」-3,6eZ),曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方

x+b

程為y=3。

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)證明：曲線y=/(x)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；

(3)證明：曲線y=/(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=l和直線y=x所圍三角形的面積為定值，

并求出此定值。

請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)用2B鉛筆在答題

卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。

22、（本小題滿分10分）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

F=c°s。（。為參數(shù)），曲線C2：

已知曲線Ci："l（f為參數(shù)）°

[y=sin。憶

F

（1）指出Cl,C2各是什么曲線，并說(shuō)明Cl與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若把C1,C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線G'，c2\寫出G',。2’的

參數(shù)方程。G'與G'公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和Ci與Q公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由。

23、（本小題滿分10分）選修4一5：不等式選講

已知函數(shù)/（x）=|x-8|-|x—4|。

（1）作出函數(shù)y=/（x）的圖像；

(2)解不等式|x—8|-|%一4|>2。

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

參考答案

一、選擇題

1.B2.B3.D4.C5.A6.B

7.C8.D9.A10.D11.A12.C

二、填空題

324

13.314.15.—71

3

16.

1.乙品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度大于甲品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度（或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度普遍大于甲

品種棉花的纖維長(zhǎng)度）.

2.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度較乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度更分散.（或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度較甲品種棉花的

纖維長(zhǎng)度更集中（穩(wěn)定）.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度比乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度更大）.

3.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為307mm,乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為318mm.

4.乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度基本上是對(duì)稱的，而且大多集中在中間（均值附近）.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度除

一個(gè)特殊值（352）外，也大致對(duì)稱，其分布較均勻.

三、解答題

<、a1+d=1

17.解：（I）設(shè)｛q｝的公差為d,由已知條件，1+4d_5'解出4=3，d=-2.

所以=4+(〃—l)d=—2/i+5.

(II)Sn=叫+-d--iv+4”=4一(〃一2)2.

所以〃=2時(shí)，S”取到最大值4.

18.解:

如圖，以。為原點(diǎn)，0A為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系?！獙Oz.

ULIUUUU

則DA=(1,0,0),CC=(0,0,1).

連結(jié)8。，B'D'.

在平面。中，延長(zhǎng)DP交B'D'于H.

UUU

設(shè)DH=>0）,

UUUUUU

由己知<O”,D4>=60",

uunuuiruinuuiruunuuir

由DAgPH=DADHcos<DA,DH>

可得2〃=，2"？+l.

72uuir

解得機(jī)=一,所以?！?，，1?

222

7

uuiruuirx0+x0+lxlV2

(I)因?yàn)閏os<O",CC'>=TT

lx④V

UUUULIU

所以<O",CC'>=45°.

即。P與CC'所成的角為45.

LILU

(II)平面AA7XD的一個(gè)法向量是。C=(0,l,0).

V2V2

uuiruuii-y*°+*1+1x°.

因?yàn)閏os<DH,DC>=上-------\-------=

lxV22

UUUULlUl

所以<￡>〃,OC>=60°.

可得OP與平面所成的角為30.

19.解：(I)由題設(shè)可知乂和天的分布列分別為

510

Y22812

p0.80.2P0.20.50.3

EY}=5x0.8+10x0.2=6,

以=(5—6)2x0.8+(10-6)2x0.2=4,

EY2=2x0.2+8x0.5+12x0.3=8,

2

DY2=(2—8)2x0.2+(8—8)2x0.5+(12-8)x0.3=12.

(x\100-x

(II)f(x)=D—Y.+D

1100')1002

x’100-x2

IDYIDY

TooI+、1002

=磊1+3(100-1)2]

4,,

=WO7-600x+3x100)，

當(dāng)x=@&=75時(shí)，/(x)=3為最小值.

2x4

20.解：(I)由G：=4x知名(1,0).

設(shè)MU，y),M在G上，因?yàn)閨M居|=g，所以玉+1=|,

組22x/6

得斗=§，y,=—,

“在G上，且橢圓G的半焦距c=i,于是

XAi

＜萬(wàn)++正="'消去從并整理得

h2=a2—1,

9〃4-37儲(chǔ)+4=0,

解得。=2(。=1不合題意，舍去).

3

x2y2

故橢圓G的方程為一+L二^

143

UUUUULMlUUU

(II)由M耳+兒/=MN知四邊形”耳叫是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，

因?yàn)?〃MN,所以/與OM的斜率相同，

276

故/的斜率k———=V6.

3

設(shè)/的方程為y=#(x—加).

3%2+4/=12,

由《廠消去y并化簡(jiǎn)得

y=＞/6(x-m),

9x2-16〃a+-4=0.

設(shè)A(“y),僅＞2，%)，

16m8m2-4

%+%=丁，玉元2=——.

ULIUUU

因?yàn)椤?_L08,所以玉工2+丁1%=。.

XW+yxy29+6(%—m)(x2—m)

=lx{x2-6〃2(X]+%)+6帆2

_8m2-4/16m/

=7g-------6〃ig-§一+6m-2

=-28)=0.

所以/n=±V2.

此時(shí)△=(16m)2-4x9(8m2-4)>0,

故所求直線/的方程為丁=瓜一26,或丁=逐工+26.

21.解：(I)f\x)=a-------

(x+b)

9

Cl=一,

a=1,4

于是J1解得《或，

b--1),8

ci--------2b=—

[(2+b)3

因a,Z?eZ,故/(x)=x-\----.

x-\

(H)證明：己知函數(shù)y=x,%=,都是奇函數(shù).

X

所以函數(shù)g(x)=x+，也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形.

X

而/(X)-X-1+———1-1.

x-l

可知，函數(shù)g(x)的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數(shù)/(X)的圖像，故函數(shù)/(X)的圖像是以點(diǎn)(1,1)為

中心的中心對(duì)稱圖形.

］、

(HI)證明：在曲線上任取一點(diǎn)%,x0+

由/'(/)=1——二知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為

(%-IP

(尤一玉))?

令X=1得切線與直線x=l交點(diǎn)為

/T

令y=x得y=2玉)一1,切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-L2x0-l).

直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(L1).

從而所圍三角形的面積為《2匚?-l|2x0-l-l|=^-2—|2x0-2|=2.

2XQ-12XQ-1

所以，所圍三角形的面積為定值2.

22.解：（I）J是圓，G是直線.

G的普通方程為/+丁=1,圓心G（0,0）,半徑r=l.

G的普通方程為x—y+及=0.

因?yàn)閳A心G到直線x—y+&=0的距離為1,

所以。2與G只有一個(gè)公共點(diǎn).

（II）壓縮后的參數(shù)方程分別為

x』.叵,

%=cos0,

G'：■1（。為參數(shù)）；C；：■2G為參數(shù)）.

y=—sin。

-2y=——t

V4

化為普通方程為：G'：x2+4y2=l,C'：y=+半

聯(lián)立消元得+20X+1=0,

其判別式△=(2垃)2—4x2x1=0,

所以壓縮后的直線c；與橢圓c；仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和q與c2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.

'4,xW4,

23.解：(I)f(x)=<-2x+12,4<xW8,

—4x>8.

圖像如下：

(II)不等式卜一8|—1一4|>2,即/(x)>2,

由—2x+12=2得工=5.

由函數(shù)/(x)圖像可知，原不等式的解集為(-8,5).

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)模擬試卷（三）

第I卷

一，選擇題：（本大題共12題，每小題