層次分析模型簡介及例題演示

（優(yōu)選）層次分析模型簡介及例題現(xiàn)在是1頁\一共有45頁\編輯于星期五層次分析法簡介層次分析法是薩蒂（saaty)等人20世紀(jì)70年代提出的一種決策方法。它是將半定性、半定量問題轉(zhuǎn)化為定量問題的有效途徑，它將各種因素層次化，并逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素，為分析和預(yù)測事物的發(fā)展提供可的定量依據(jù)。層次分析法在決策工作中有廣泛的應(yīng)用。主要用于確定綜合評價(jià)的權(quán)重系數(shù)。層次分析法所用數(shù)學(xué)工具主要是矩陣運(yùn)算?，F(xiàn)在是2頁\一共有45頁\編輯于星期五層次分析法簡介一、層次分析法基本原理分解建立確定計(jì)算判斷實(shí)際問題層次結(jié)構(gòu)多個(gè)因素諸因素的相對重要性權(quán)向量綜合決策現(xiàn)在是3頁\一共有45頁\編輯于星期五二、層次分析法基本步驟一、確定權(quán)系數(shù)設(shè)x1,x2,…xn為對應(yīng)各因素的決策變量。其線性組合：

y=w1x2+w2x2+…+wnx

是綜合評判函數(shù)。

w1,w2,…wn是權(quán)重系數(shù)，其滿足：

wi0,現(xiàn)在是4頁\一共有45頁\編輯于星期五對權(quán)重系數(shù)的量化過程（1）成對比較從x1,x2,…xn中任取xi與xj比較它們對于y貢獻(xiàn)（重要程度）的大小，按照以下標(biāo)度給xi/xj賦值：xi/xj＝1，認(rèn)為“xi與xj重要程度相同”

xi/xj＝3，認(rèn)為“xi比xj重要程度略大”

xi/xj＝5，認(rèn)為“xi比xj重要程度大”

xi/xj＝7，認(rèn)為“xi比xj重要程度大很多”

xi/xj＝9，認(rèn)為“xi比xj重要程度絕對大”當(dāng)比值為2，4，6，8時(shí)認(rèn)為介于前后中間狀態(tài)?，F(xiàn)在是5頁\一共有45頁\編輯于星期五（2）建立逆對稱矩陣由xi/xj建立n階方陣A(3)迭代

按下列方法求向量迭代序列：

e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||為Aek-1

的n個(gè)分量之和

ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…

數(shù)列｛ek｝是收斂的，記其極限為e.且記e=(a1a2…an)于是取權(quán)重系數(shù)wi=ai

現(xiàn)在是6頁\一共有45頁\編輯于星期五例1：評價(jià)影視作品在電視節(jié)上評價(jià)影視作品，用以下三個(gè)評價(jià)指標(biāo)：

x1表示教育性

x2表示藝術(shù)性

x3表示娛樂性有一名專家經(jīng)成對，賦值：

x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3現(xiàn)在是7頁\一共有45頁\編輯于星期五于是得到逆對稱矩陣現(xiàn)在是8頁\一共有45頁\編輯于星期五現(xiàn)在是9頁\一共有45頁\編輯于星期五由于e4=e3,迭代經(jīng)過4次中止，權(quán)系數(shù)是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659相應(yīng)的綜合評價(jià)公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3

如果用同樣的分制來給作品的三個(gè)指標(biāo)評分，由以上公式算出的便是作品綜合評分y?，F(xiàn)在是10頁\一共有45頁\編輯于星期五目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.現(xiàn)在是11頁\一共有45頁\編輯于星期五“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。現(xiàn)在是12頁\一共有45頁\編輯于星期五層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地現(xiàn)在是13頁\一共有45頁\編輯于星期五成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量現(xiàn)在是14頁\一共有45頁\編輯于星期五成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量現(xiàn)在是15頁\一共有45頁\編輯于星期五2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量現(xiàn)在是16頁\一共有45頁\編輯于星期五一致性檢驗(yàn)對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下現(xiàn)在是17頁\一共有45頁\編輯于星期五“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗(yàn)現(xiàn)在是18頁\一共有45頁\編輯于星期五組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費(fèi)用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)現(xiàn)在是19頁\一共有45頁\編輯于星期五

（2）考慮第3層對第2層由1–9尺度得現(xiàn)在是20頁\一共有45頁\編輯于星期五權(quán)向量矩陣現(xiàn)在是21頁\一共有45頁\編輯于星期五

（3）組合權(quán)向量現(xiàn)在是22頁\一共有45頁\編輯于星期五（4）組合一致性檢驗(yàn)現(xiàn)在是23頁\一共有45頁\編輯于星期五第3層對第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗(yàn)

w(2)

方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T現(xiàn)在是24頁\一共有45頁\編輯于星期五旅游決策問題計(jì)算結(jié)果權(quán)向量C對U0.2640.4760.0540.0980.109λm(2)CI(2)CR(2)5.0720.0180.016

準(zhǔn)則C方案PC1C2C3C4C5組合權(quán)向量P對U權(quán)向量P對CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.6670.455λm(3)3.0063.00233.0093CR(3)CI(3)0.0030.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.019現(xiàn)在是25頁\一共有45頁\編輯于星期五現(xiàn)在是26頁\一共有45頁\編輯于星期五再談層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對每一成對比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)?，F(xiàn)在是27頁\一共有45頁\編輯于星期五組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣現(xiàn)在是28頁\一共有45頁\編輯于星期五二.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價(jià)、分析、預(yù)測等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。現(xiàn)在是29頁\一共有45頁\編輯于星期五國家綜合實(shí)力國民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位例1國家實(shí)力分析例2工作選擇通過組合一致性檢驗(yàn)現(xiàn)在是30頁\一共有45頁\編輯于星期五過河的效益

A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇現(xiàn)在是31頁\一共有45頁\編輯于星期五過河的代價(jià)

A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇現(xiàn)在是32頁\一共有45頁\編輯于星期五待評價(jià)的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益

C11間接經(jīng)濟(jì)效益

C12社會(huì)效益

C13學(xué)識(shí)水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價(jià)例4科技成果的綜合評價(jià)現(xiàn)在是33頁\一共有45頁\編輯于星期五

例5某單位招聘工作人員，考核指標(biāo)有

x1=“語文知識(shí)”

x2=“外語知識(shí)”

x3=“國內(nèi)外政治經(jīng)濟(jì)時(shí)事知識(shí)”

x4=“計(jì)算機(jī)操作能力”

x5=“公關(guān)能力”

x6=“容貌與氣質(zhì)”

x7=“體形高矮與胖瘦”

x8=“音色”由此建立層次結(jié)構(gòu)模型如下：現(xiàn)在是34頁\一共有45頁\編輯于星期五對象的綜合分知識(shí)能力表現(xiàn)x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.5000.1540.3460.2500.7500.4920.3610.147現(xiàn)在是35頁\一共有45頁\編輯于星期五

評價(jià)指標(biāo)對應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量評價(jià)公式現(xiàn)在是36頁\一共有45頁\編輯于星期五層次分析法在彩票抽獎(jiǎng)

方案選擇中的應(yīng)用

2002年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題：

已知29種彩票抽獎(jiǎng)方案，要求綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價(jià)各方案的合理性，設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法。

現(xiàn)在是37頁\一共有45頁\編輯于星期五

一、問題的提出

已給的29種方案分為兩種類型

1、“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：投注者從0~9十個(gè)號(hào)碼中任選6個(gè)基本號(hào)碼（可重復(fù)），從0~4中選一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成一注。根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少及順序確定中獎(jiǎng)等級(jí)；

現(xiàn)在是38頁\一共有45頁\編輯于星期五表1：“傳統(tǒng)型”中獎(jiǎng)辦法中獎(jiǎng)等級(jí)10選6+1（6+1/10）基本號(hào)碼特別號(hào)碼選7中一等獎(jiǎng)abcdef

g

6+1二等獎(jiǎng)abcdef

6三等獎(jiǎng)abcdeXXbcdef

5四等獎(jiǎng)abcdXXXbcdeXXXcdef4五等獎(jiǎng)abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef

3六等獎(jiǎng)abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef

2現(xiàn)在是39頁\一共有45頁\編輯于星期五

2、“樂透型”有多種不同的形式

如“33選7”的方案：投注者從01~33個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼順序?，F(xiàn)在是40頁\一共有45頁\編輯于星期五表2：“透樂型”（7/33）中獎(jiǎng)辦法中獎(jiǎng)等級(jí)33選7（7/33）基本號(hào)碼特別號(hào)碼說明一等獎(jiǎng)●●●●●●●

選7中（7）二等獎(jiǎng)●●●●●●○

★選7中（6+1）三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（6）四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中（5+1）五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（5）六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中（4+1）七等獎(jiǎng)●●