高等數(shù)學(xué)不定積分重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)大綱例題講解

第四章不定積分

一、基本要求

1.理解原函數(shù)概念，理解不定積分的概念及性質(zhì)。

2.掌握不定積分的基本公式、換元法、分部積分。

3.了解有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的積分方法。

二、主要內(nèi)容

I.原函數(shù)與不定積分概念

1.原函數(shù)

設(shè)在區(qū)間I上歹(乃可導(dǎo)，且尸(x)=/(x)(或dF(x)=/(x)dx)就稱F(x)為/(x)在

I的一個(gè)原函數(shù)。

2.不定積分

在區(qū)間I上函數(shù)/(x)的所有原函數(shù)的集合，成為/(x)在區(qū)間I上的不定積分，

記作jf(x)dx.

Jf(x)dx=F(x)+C

其中尸(x)為/(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù).

II.不定積分的性質(zhì)

1.djf(x)dx=f(x)dx(或(J/(尤)公)’=/(%))

2.jdf(x)-f(x)+C(或(x)〃=/(x)+C)

3.可⑺dx=.f(x)dx其中k為非零常數(shù).

4.J"(x)+g(x)3=J/(x)公+g(x)公.

m.基本積分公式

\.\kdx=kx+C（&為常數(shù)）

xu+l+C

〃+1

3.^—dx=ln|x|+C

rdx-

4.--------=arctanx+C

J1+x2

cfdx

5.J.=arcsinx+C

6.jcosxdx=sinx+C

7.Jsinxdx=-cosx+C

8.jsec2xdx=tanx+C

9.jesc2xdx=-cotx+C

10.jsecxtanxdx=secx+C

11.jescxcotxdx=-escx+C

12.Jexdx=ex+C

1

13.r16/Adx=----cix4-C

JIna

14.^slvcdx=clvc+C

15.Jclvcdx-shx+C

16.Jtanxdx=-ln|cos'+C

17.|cotxdx=ln|sin+C

18.Jsecxdx=ln|secx+tan+C

19.Jescxdx=ln|cscx-cotx|+C

20.I—------=—arctan—+C

x-a

+C

x+a

dx

22.-arcsin—+C

/a2-x2

23.[-7公=ln(x+《x?+.2)+c

J4+/

24.*.=ln(x+，*2-42)+。

IV.換元積分法

i.第一類換元法.(湊微分法)

J/'[。(%)]”{x}dx=Jf(u)du=F(w)+C=F[0(x)]+C(〃=0(x))

(其中。(x)可導(dǎo)，尸(〃)為J/(x)的一個(gè)原函數(shù)).

2.第二類換元法

J/(x)1=J/0⑺]。⑺力"⑺+C=F[(p-'(x)]+C(X=0⑺)

(其中X=°⑺單調(diào)可導(dǎo)，且。(。￥0,尸⑺為/［。⑺心⑺的一個(gè)原函數(shù))

V.分部積分法

JM(x)jv(x)=i/(x)v(x)-Jv(x)血(x)

(其中〃(x)v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù))

VI.有理函數(shù)與三角函數(shù)有理式的積分

兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)，有理函數(shù)總可以化為多項(xiàng)式與真分式的代

數(shù)和，而真分式總可以分解為部分分式的代數(shù)和，所以有理函數(shù)的積分可化為整式和下列四

種部分分式的積分.

(1)f---dx⑵f---dx

Jx-aJ(x—a)"

..rbx+c,..rbx+c,

⑶-----------dx⑷---------------dx

Jx+px+qJ(x+px+qS'

而求這四種枳分也可用湊微分法或第二類換元法.

X

三角函數(shù)有理式的積分，總可用萬能代換"=tan—將原不定積分化為〃為積分變量的

2

有理函數(shù)的積分，但對(duì)有些三角有理式的積分，有時(shí)用三角公式轉(zhuǎn)化，再用前所述的基本公

式或積分方法求解，可能更簡便些.

三、重點(diǎn)與難點(diǎn)

原函數(shù)與基本積分公式

換元法、分部積分法等基本積分方法

抽象函數(shù)的積分

四、例題解析

I、選擇題

例1若]/(X)的導(dǎo)數(shù)是COSX,則/(X)有一個(gè)原函數(shù)為()

(A)1+cosx(B)1-cosx(C)1+sinx(D)1-sinx

解應(yīng)選(B).因?yàn)?l-cosx)=sinx,而(sinx)=cosx

例2設(shè)有原函數(shù)xlnx,則()

1111

(A)x~9(—i—Inx+C)(B)x29(-+-lnx+C)

2442

.11)11

(zC)x~(-----Inx+C)(D)x2(----Inx+C)

4224

解jxf(x)dx=jf(x)d與二與/(X)(x)dx

W/(x)=(xlnx)=lnx+l,/(x)=—,故

x

.22222

j心=—(Inx4-1)-j—Jx=—(lnx+1)--+C=—+—Inx+C

2224,4"2

所以應(yīng)選(B).

n、填空題

例3設(shè)/(x)為定義區(qū)間上單調(diào)連續(xù)可微函數(shù)，/t(x)為相應(yīng)的反函數(shù)，若

^f(x)dx=F(x)+C,則]7T(x)也為

解]7T{x}dx=x/->(x)-\xdf-'(x)

=#-1(x)-J/[/-'(x)]#-1(x)

=V-'(x)-F[/-|(x)]+C

|m、討論題

I例4解下列各題，并比較其解法：

(1)[—^-^-dx(2)[-X-dx(3)[-X-dx(4)[Adx

J2+x2J2+x2J2+x2J2+x2

解⑴[—=^^(2+x2)=-ln(2+x2)+C.

J2+x22J2+x22

2

(2+X2)-22

(2)j--~-dx=fdx=[(1-----------)dx

J2+/J2+x2J2+x2

=x-V2arctan-^=7+C.

V2

1x2

⑶

2J2+x2

f(l----------)dx2=-(x2-21n(2+x2))+C

J2+x22

x-4+4

Qx=J(x2-2+2，,jdx

2+x,2

-———2x+2V2arctan-^+C

3V2

比較上述四題，發(fā)現(xiàn)各小題的被積函數(shù)很相似，但解法卻不盡相同。注意觀察被積函數(shù)的特

息,第一題中分子的次數(shù)比分母低一次，正好可湊微分使變量一致：第二題中分子與分母同次,

需要拆項(xiàng)，使分了次數(shù)低于分母,即被積函數(shù)成為多項(xiàng)式與真分式的代數(shù)和才可積分：第三題中

分子次數(shù)高于分母一次，湊微分后分子分母同次，再仿第二題求解；第四題中分子次數(shù)高于分母

二次，湊微分則無效，只能根據(jù)分母情況拆項(xiàng)仿第二題的方法求解。由此可見在不定積分的計(jì)算

過程中需針對(duì)具體情況選擇適當(dāng)方法求解。

例5討論利用第一類換元法求積的幾種類型(設(shè)=F(M)+C)

(1)Jf(ax+b)dx=—J/(ax+b)d(ax+b)

=—Jf(u)du{u=ax+b)

=-F(u)+C

a

=-F(ax+b)+C

a

(2)jf(ax"+b)xn~}dx=—Jf{axn+b)d(axn+6)

=—ff(u)dn(u=axn+h)

anJ

F(w)+C

an

=—F(axn+b)-^-C

an

如求J—

J(cosx4)2

解原式,I—二rdf=-tan(x4)+C

4J(cosx4)24

⑶j/(Inx)—dx=^/(Inx)dlnx=j/(u)du=F(w)+C=/(lnx)4-C

(M=Inx)

..p.r」2+lnx

姐求J---------dx

解原式=JW2+ln"(2+lnx)=\3(2+lnx)3—+C

(4)j/(sinx)cosxdx=J/(sinx)dsinx

=F(sinx)+C

j/(cvxv)sinxdx=J/(cosx)d

COSX

=-F(cosx)+C

f/(tanx)---丁dx=f/(tanx)dtanx

J'J,

=F(tanx)+C

rCOS%

如求dx

J3+cos2x

解原式=f------——--dsinx

J3+l-sin2x

=f---二一t/sinx

J4-sin2x

111、/?

=7l(o―?一+o―：—)dsinx

4,2-sinx2+sinx

1,2+sinx-

--In--------+C

42-sinx

其它一些類型，例如J.f(arctanx)112dx,j/(arcsinx)dx,\f{ex)exdx等,

請(qǐng)同學(xué)們自己加以總結(jié).

V.計(jì)算題

2

i八4fxarctaar,

例g求J-------------dx

1+X

分析此題先把被積函數(shù)寫成

x2arctanx1+x2-11

-------------=---arctaar=arctanx-arctanx

1+X------14-X--------------------------------1+X

拆成兩項(xiàng)再進(jìn)行積分較方便.

fx2arctanx.r1、,

解-----v-ax=(1--------7)arctanxdx

Jl+x2」1+x2

r,rarctanx,

=arctanxdx---------ax

JJl+x2

=xarctanx-\x-^-rdx-[arctanxdarctanx

Jl+x2J

112

=xarctanx——ln(l+x2)——(arctanx)+C

22

例7求f,山

-J(exx-l")2

解j——~rdx=(——~7de'=-\xd——

J(er-l)2J(e-Jex-l

xf1.xre'_]_e'7

=------------F--------dx=-------------------b-----------------------ax

ex-l"-Iex-lJex-I

------------1-[(1--------)dx=-----------x+Ink'-11+C

e'-l」ex-le'-l11

例8求J"Jdx

解令x=sinf,則公=costdt

fv1—X2,fCOSt.C2i

----dx=———cos=cottdt

j/Jsin2fJ

=J(esc21_l)dt--cotZ-Z+C

=---------------arcsinx+C

x

1

例9求J-；——dx

/+ex

￡2

解令e?=f,即x=21nf,dx=—dt

1,12,2,

dx=f--------dt=-f------------dt

Jr+r2t3r2(l+r)

十」一)df

2二2

1+t

=2(-y-ln|?|+ln|l+r|)+C

X

—21n(l+e2)-2e2—x+C

xarctarir

例10求Jdx

3

(l+x2y

解令尤=tan，，dx=sec2tdt

xarctanx,rtanr?r,

--------------dx=-------sec2tdt

1Jsecr

(l+/)72

=，sintdt=_Jtdcost=-|7cosf-Jcostdt]

X

=sint一，cos，+C=/—.~arctanx+C

7177

例11求f(上二)2"公

J\+x

解卜1-x2x1—2x+x~,

)edx=\---------dx

1+x2(1+x2)2

-^dx-“：,dx

\+x2(1+廠)

XX-X

f6」e「e」e》

=5dxH~~dx~~+C

J1+X1+XJ1+X1+x

注：最后一步等號(hào)成立是因?yàn)榭稍O(shè)——7的一個(gè)原函數(shù)為尸（九），于是

1+X

e.e

-------亍dx+-------dx

1+x1+廠J1+/

"3+G+j

例12求1―1—〃的遞推公式

Jsinwx

解記1相=]-7]一孤,則L=ln|cscx—cot'+C.

smx

當(dāng)機(jī)22時(shí)，

fdxr11,r1,

TI...=I~Izcbc——I~clcotx

Jsin/nxJsW-xsinr」sinx

cotxCOSX

cotX-------7—dx

~-sin,n-2xsin〃ix

-)

cosx/ffCOS-X.

一(加―2)J—

sin'""xJsinx

cosx-、廣1-sin2%,

=--------：——(zm-2)------------dx

sinx」sin,wx

=--(〃L2)j—dx+(m-2)j-公

sinxJsinxJsinx

COSX-J,-J

=——(z/M-2)I?,+(AH-2)I_

sinxm2

cosx+機(jī)-2[

(1-m)sinm-1xm-\m~2

例13求f----------上-------dx

JX(X-2)2(X2+X+1)

AB、BCX+D

=—i------'—i----2—?---------

解…。+J+Dx(x-2)2x-2x2+x+l

去分母后，再比較兩邊同次幕的系數(shù)得

4

1

于是dx

x(x—2)~(x~+x+1)

1"T17仆］(8：+3)

dx

14(x-2)2J196(x-2)J49(x2+x+l)

QO

.力(2x+l)+(3—C)

而［-------dx=f-------j------------(■dx

Jx+x+1」x'+x+l

d(x+；)

d(廠+x+1)r

42

x+X+1J~1、23

U+-)+7

24

..7［、22x+l_

41n(zx+x+l)——arctan--=^-\-C

V3V3

從而［--------」-------dx

Jx(x—2)2(X2+X+1)

1.II1117.I_i4］,21、22x+l_

——Inx--------------------Inx-2|-------ln(x-+x+1)H------尸arctan——FC

41114x-219611494973V3

，

例14求］r,、dx

J(l-x2)5

分析被積函數(shù)為有理函數(shù)，但若直接將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為部分分式，計(jì)算較繁，因此可考慮采用

較靈活的基本積分方法.此題利用換元法計(jì)算較簡便.

解令x=sin，，dx-costdt

rx7.rsin7t7r72,

———dx=-----costdt=tantsectdt

J(1-x2)5Jcos101J

=Jtan7rJtan/=(tan"+C

=+C

8(1-x2)4

例15求fr--------1----dx

Jsinxcosx

x

分析對(duì)于三角函數(shù)有理式的積分，除了用“萬能代換令〃=tan土”之外，往往可考慮用前面

2

的基本積分方法.

?22

解f——「-公sin~x+cosx,

-:-----------3-------dx

Jsinxcos、xsinxcos*x

I?粵。+公

Jcos'xJsinxcosx

-[-------dcosx+f------dtanx

JcosxJtanx

+ln|tanx|+C.

——「sinx」

例16求---------dx

J2-sin2x

sinx.1r(sinx-cosx)+(sinx+cosx).

------------dx=----------------------------------------ax

2-sin2x2」2-sin2x

-d(sinx+cosx)+,J(sinx-cosx)

23-(sinx+coxs)2」l+(sinx-cosx)2

1r-t/(sinx+cosx)+/J(sinx-cosx)

2」(V3+sin%+cosx)(V3-sinx-cosx)」1+(sinx-cosx)2

11,sinx+cosx-V3/.、-

=——In---------------------j=+arctan(sinr-cosx)+C.

2[243sinx+cosx+V3

zq,rsinx,rcosx,

例17求/j=\--------------；—dx,Ir—---------------：—dx.

J2cosx+3sinx2J2cosx+3sinx

解3/j+2I2=JtZx=X+C]

-rcrr-2sinx+3cosx.?1-

-27,+3/2=----------------；-----dx-In2cosx+3sinx+C

J2cosx+3sinx2

由此得

乙=^-[3x-21n|2cosx+3sinx|]+C

/2=-^-[2x4-31n|2cosx+3sinx|]+C.

例18求

32

解令#1+4=t,x=(r-l),則公=6/(/一1)山.

J力=]6/(「-1)力

=-t5-3t2+C

5

r52

=-(l+Vx)3-3(1+Vx)3+C.

例19計(jì)算下列各題

⑴

尸(無)"'(x)FJ

⑵設(shè)ff(cosx+2)=sin2+tan2x，求/(x).

設(shè)/(lnx)=@03,求]7(x)公.

⑶

2

(4)已知/'(sinx)=cosx-1且，(0)=0,求Jcos(sinx世.

/(x)"'(x)]2—/2(x)/"(x)dx

解⑴原式二J

"'(X)F

,ff(x)-fW(X)

J尸(x)dx

"'(切2

+C.

JfMff(x)2/(x)

121-cos2X

(2)設(shè)cosx+2=r,則sin2x+tan2x=1-cosx+

cos2x

1o1,_.7

——------cosx=--------(r-2)

cos~(x)?—2>

即『3=—二一。一2）2.

（―2）2

/(x)=J/,(x)dx=J[(x,f一(%-2)2心，

即…+c

⑶,、，"八nx)、=lnF(l+^elnA,)即加上有小人、)ln=(l+:e.v)

J/(x)dx=jlnQ：e'dx=-Jln(l+ex)de

rdx

=—1111(1+/)+J1+e”

=x-(l+e-A)ln(l+ev)+C.

(4)ff(sinx)=cos2x-1=-sin2x,

即f(u)=一〃

1,+c

1.

由/(0)=0=>C=0,f(u)=--u\

jcos"(sinx)