應(yīng)力更新算法演示文稿

應(yīng)力更新算法演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有23頁\編輯于星期五9應(yīng)力更新算法對于積分率本構(gòu)方程的數(shù)值算法稱為本構(gòu)積分算法或者應(yīng)力更新算法。對于率無關(guān)和率相關(guān)材料提供了本構(gòu)積分算法。討論簡單的小應(yīng)變塑性，將小應(yīng)變算法擴展至大變形，將大變形分析的積分算法保持在基于本構(gòu)方程客觀性的基礎(chǔ)上。展示了關(guān)于大變形塑性的逐步客觀積分算法。討論關(guān)于大變形超彈－塑性材料的應(yīng)力更新算法，回避對應(yīng)力率方程的積分。描述了與本構(gòu)積分算法相關(guān)的計算模量，采用隱式求解算法發(fā)展材料的切線剛度矩陣?，F(xiàn)在是2頁\一共有23頁\編輯于星期五率無關(guān)塑性的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法小應(yīng)變、率無關(guān)彈－塑性的本構(gòu)方程

應(yīng)力－應(yīng)變反應(yīng)與變形率無關(guān)的一種材料稱為率無關(guān)；否則為率相關(guān)。

，

Kuhn-Tucker條件，上面第一個條件表明塑性率參數(shù)是非負的，第二個條件表明當塑性加載時，應(yīng)力狀態(tài)必須位于或限制在塑性表面上，最后條件也可以作為由已知一致性條件的率形式。塑性流動方向經(jīng)常特指為，這里稱為塑性流動勢

屈服條件

是標量塑性流動率，是塑性流動方向h塑性模量

q內(nèi)變量

現(xiàn)在是3頁\一共有23頁\編輯于星期五）應(yīng)力狀態(tài)必須保持在屈服面因此。對于彈性加載或者卸載，沒有塑性流動。對于塑性加載（率無關(guān)塑性的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法上，在時刻n給出一組

和應(yīng)變增量

本構(gòu)積分算法的目的是計算并滿足加－卸載條件

在時刻的應(yīng)力給出為

求解的一致性條件給出

現(xiàn)在是4頁\一共有23頁\編輯于星期五設(shè)想能夠應(yīng)用這個塑性參數(shù)值以提供更新的應(yīng)力率、塑性應(yīng)變率和內(nèi)變量率，并且寫出簡單的向前Euler積分公式算法率無關(guān)塑性的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法但在下一步，這些應(yīng)力和內(nèi)變量的更新值并不滿足屈服條件，所以由于解答從屈服表面漂移，常常導(dǎo)致不精確的結(jié)果，因此不受人青睞。公式也稱為切線模量更新算法，形成了計算率無關(guān)塑性早期工作的基礎(chǔ)?，F(xiàn)在是5頁\一共有23頁\編輯于星期五率無關(guān)塑性的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法這導(dǎo)致考慮另外一些方法進行率本構(gòu)方程的積分，目的之一是強化在時間步結(jié)束時的一致性，例如，為避免離開屈服面的漂移。有許多不同的積分本構(gòu)算法，這里主要關(guān)注一類方法－－返回圖形算法，它是強健和精確的，被廣泛應(yīng)用。著名的vonMises塑性徑向返回方法是返回圖形算法的特例。返回圖形算法包括：一個初始的彈性預(yù)測步，包含（在應(yīng)力空間）對屈服表面的偏離，以及塑性調(diào)整步使應(yīng)力返回到更新后的屈服表面。方法的兩個組成部分是：一個積分算法，它將一組本構(gòu)方程轉(zhuǎn)換為一組非線性代數(shù)方程，一個對非線性代數(shù)方程的求解算法，該方法可基于不同的積分算法，例如生成梯形法則，生成中點法則或者Runge-Kutta方法。基于向后Euler算法，考慮一個完全隱式方法和一個半隱式方法。現(xiàn)在是6頁\一共有23頁\編輯于星期五完全隱式的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法在完全隱式的向后Euler方法中，在步驟結(jié)束時計算塑性應(yīng)變和內(nèi)變量的增量，同時強化屈服條件，這樣，積分算法寫成為公式是一組關(guān)于求解的非線性代數(shù)方程。注意到更新變量來自前一個時間步驟結(jié)束時的收斂值，這就避免了非物理意義的效果，例如當用不收斂的塑性應(yīng)變和內(nèi)變量值求解路徑相關(guān)塑性方程時可能發(fā)生的偽卸載。

在時刻n給出一組

和應(yīng)變增量現(xiàn)在是7頁\一共有23頁\編輯于星期五通過方程系統(tǒng)的解答獲得了應(yīng)變

在時刻n＋1，

完全隱式的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法如果解答過程是隱式的，可以理解應(yīng)變是在隱式解答算法的最后迭代后的總體應(yīng)變。

塑性應(yīng)變增量給出為

代入表達式

關(guān)聯(lián)塑性的最近點投射方法

現(xiàn)在是8頁\一共有23頁\編輯于星期五是彈性預(yù)測的試應(yīng)力是塑性修正量，它沿著一個方向，即規(guī)定為在結(jié)束點處塑性流動的方向，返回或者投射試應(yīng)力到適當更新的屈服表面（考慮硬化）。

而數(shù)值完全隱式的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法由總體應(yīng)變的增量驅(qū)動彈性預(yù)測狀態(tài)，而由塑性參數(shù)的增量驅(qū)動塑性修正狀態(tài)。因此，在彈性預(yù)測階段，塑性應(yīng)變和內(nèi)變量保持固定，而當塑性修正階段，總體應(yīng)變是不變的。在彈性預(yù)測階段，由公式得到的結(jié)果為關(guān)聯(lián)塑性的最近點投射方法

其中現(xiàn)在是9頁\一共有23頁\編輯于星期五完全隱式的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法非線性代數(shù)方程組解答一般由Newton過程求解。基于分類線性化方程組的Newton過程，和根據(jù)最近投射點的概念引導(dǎo)塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正階段中，總體應(yīng)變是常數(shù)，線性化是相對于塑性參數(shù)增量在Newton過程中應(yīng)用下面的標記：關(guān)于一個方程的線性化，

并有

在第k次迭代時記為

為適合Newton迭代，以上面形式寫出塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標

現(xiàn)在是10頁\一共有23頁\編輯于星期五完全隱式的圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法這組方程的線性化給出

3個方程可以聯(lián)立求解這樣，塑性應(yīng)變、內(nèi)變量和塑性參數(shù)更新是

Newton過程是連續(xù)計算直到收斂到足以滿足準則的更新屈服表面。這個過程是隱式的并包括了方程在單元積分點水平的結(jié)果。該方法的復(fù)雜性在于需要塑性流動方向的梯度，不適合復(fù)雜本構(gòu)。腳標為偏導(dǎo)數(shù)一致性條件：在加卸載過程中，材料的應(yīng)力點始終處于屈服面上現(xiàn)在是11頁\一共有23頁\編輯于星期五應(yīng)用于J2流動理論—徑向返回算法

9應(yīng)力更新算法小應(yīng)變時的彈—塑性本構(gòu)關(guān)系和框5.6的J2流動理論，注意到塑性流動方向是在偏應(yīng)力的方向，給出為J2塑性流動理論基于vonMises屈服面，它特別適用于金屬塑性，該模型的關(guān)鍵假設(shè)是壓力對在金屬中的塑性流動沒有影響；屈服條件和塑性流動方向是基于應(yīng)力張量的偏量部分。

它也是屈服表面的法向，即

在偏應(yīng)力空間，Mises屈服表面是環(huán)狀，法向是徑向。在塑性流動的方向（徑向），定義一個單位法向矢量為現(xiàn)在是12頁\一共有23頁\編輯于星期五應(yīng)用于J2流動理論—徑向返回算法

9應(yīng)力更新算法算法的重要特性是在整個塑性修正狀態(tài)過程中不變化保持在徑向，

因此塑性應(yīng)變的更新是

的線性函數(shù)，而塑性流動殘量恒為零：

唯一的內(nèi)變量（各向同性硬化）是累積塑性應(yīng)變，給出為

因此，內(nèi)變量的更新也是的線性函數(shù)，相應(yīng)的殘量為零，例如，

適合Newton迭代的塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標

屈服條件給出為而f的導(dǎo)數(shù)是和

現(xiàn)在是13頁\一共有23頁\編輯于星期五應(yīng)用于J2流動理論—徑向返回算法

9應(yīng)力更新算法各向同性硬化：只有一個硬化參數(shù)q，屈服面表面擴張冪硬化：屈服面中心不變，屈服面尺寸改變運動硬化：屈服面中心平移，尺寸不變，中心位置為背應(yīng)力的內(nèi)變量關(guān)聯(lián)塑性：塑性流動沿著屈服面的法線方向；否則，為非關(guān)聯(lián)塑性現(xiàn)在是14頁\一共有23頁\編輯于星期五徑向返回算法－編程

9應(yīng)力更新算法1設(shè)初始值

2在第k次迭代時檢查屈服條件

如果

則收斂，否則goto3

3計算塑性參數(shù)的增量

4更新塑性應(yīng)變和內(nèi)變量現(xiàn)在是15頁\一共有23頁\編輯于星期五9應(yīng)力更新算法算法模量

在隱式方法中，需要合適的切線模量。由于在屈服時突然轉(zhuǎn)化為塑性行為，連續(xù)彈—塑性切線模量可能引起偽加載和卸載。為了避免這點，采用了一個基于本構(gòu)積分算法的系統(tǒng)線性化的算法模量（也稱為一致切線模量），代替了連續(xù)彈—塑性切線模量。下面給出完全隱式向后Euler方法的算法模量的推導(dǎo)。向后Euler更新算法切線模量定義為

對于J2流動理論的情況，算法模量是與徑向返回應(yīng)力更新一致的

現(xiàn)在是16頁\一共有23頁\編輯于星期五9應(yīng)力更新算法半隱式向后Euler方法

半隱式向后Euler方法（Moran,1990）是對于塑性參數(shù)采用隱式，而對于塑性流動方向和塑性模量采用顯式的算法，即在步驟結(jié)束時計算塑性參數(shù)的增量，而在步驟開始時計算塑性流動的方向和塑性模量。為了避免從屈服面漂移，在步驟結(jié)束時強化屈服條件。積分方法為對比完全隱式向后Euler方法

現(xiàn)在是17頁\一共有23頁\編輯于星期五9應(yīng)力更新算法率相關(guān)塑性的圖形返回算法

對于J2塑性流動，過應(yīng)力函數(shù)公式的典型例子為(n為率敏感指數(shù))

對于J2流動理論，一個替代的粘塑性模型為(m為率敏感指數(shù))

參考應(yīng)變率

在過應(yīng)力模型中，等效塑性應(yīng)變率取決于超過了多少屈服應(yīng)力。

在率相關(guān)塑性中，材料的塑性反應(yīng)取決于加載率，與不能超越過屈服條件的率無關(guān)塑性相比，為了發(fā)生塑性變形，率相關(guān)塑性必須滿足或者超過屈服條件，塑性應(yīng)變率（結(jié)合各向同性和運動硬化）給出為(α背應(yīng)力）現(xiàn)在是18頁\一共有23頁\編輯于星期五9應(yīng)力更新算法率相關(guān)塑性的圖形返回算法

框5.11大應(yīng)變率相關(guān)塑性

1分解變形率張量為彈性和塑性部分的和2應(yīng)力率關(guān)系

3塑性流動法則和演化方程

4應(yīng)力率－總體變形率關(guān)系

過應(yīng)力函數(shù)，是塑性應(yīng)變的驅(qū)動力

粘性（力×?xí)r間）

現(xiàn)在是19頁\一共有23頁\編輯于星期五9應(yīng)力更新算法率相關(guān)塑性的圖形返回算法

率無關(guān)塑性的圖形返回本構(gòu)積分算法和算法切線模量可以修改為率相關(guān)的方法，對于一個完全隱式算法，更新可以寫成增量的形式過應(yīng)力函數(shù)和粘性

算法切線模量表達式現(xiàn)在是20頁\一共有23頁\編輯于星期五大變形的逐步客觀積分方法

9應(yīng)力更新算法大變形本構(gòu)算法的一個重要問題是觀察的材料框架相同，準確地保持本構(gòu)關(guān)系的客觀性；在剛體轉(zhuǎn)動中，該算法必須準確地計算應(yīng)力的恰當轉(zhuǎn)動。

基于Kirchhoff應(yīng)力的Jaumann率，考慮一個簡單的更新算法，變形率是對于時間增量的等效率并且定義如下，應(yīng)力更新給出為Q是與等效旋轉(zhuǎn)W關(guān)聯(lián)的增量轉(zhuǎn)動張量。以Jaumann率的形式替換本構(gòu)反應(yīng)應(yīng)用不同算法計算等效變形率，基于增量變形梯度，采用直接向前方法

現(xiàn)在是21頁\一共有23頁\編輯于星期五大變形的逐步地客觀積分方法

9應(yīng)力更新算法第二個關(guān)系來自框3.2。Kirchhoff應(yīng)力幾乎是與Cauchy應(yīng)力等同的，但是它被Jacobian行列式放大。因此，也稱它為權(quán)重Cauchy應(yīng)力。對于等體積運動，它等同于Cauchy應(yīng)力。在超彈性本構(gòu)關(guān)系中