高中數學 求幾何體外接球和內切球的半徑 練習題（含答案）

1/1求幾何體外接球和內切球的半徑一．基礎梳理1.求幾何體的外接球方法綜述：遇直必徑，徑垂過心；“陽馬”、“鱉臑”，實為方體；對棱相等，體面角線；兩直共斜，斜為球徑；三角垂面，三心矩形；“正錐”、“正柱”，兩心直角。參考圖形：（1）正四棱錐與圓錐內接于球：解“兩心三角形”。（2）正三棱柱內接于球、圓柱內接于球：解“兩心三角形”。2.三棱錐的內切球半徑的求法：已知三棱錐的內切球半徑為，則三棱錐的體積為：二．題型分解：題型一：遇直必徑，徑垂過心；遇直必徑：球面上的三點如果構成直角三角形，則斜邊必然是截面的直徑。徑垂過心：過截面直徑與截面垂直的平面必然經過球心；過截面圓心與截面垂直的直線經過球心，即為球的直徑。例1、如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，某幾何體的三視圈如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為()A.B.C.D.略解：，，.。解得，。例2、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為_______。略解：平面ABCD過小圓直徑AB，且平面ABCD⊥平面PAB，所以球心必為矩形ABCD的中心，對角線BD即為球的直徑，題型二：“陽馬”、“鱉臑”，實為方體：（1）“陽馬”：是指具有公共端點兩兩垂直的三條線段；（2）“鱉臑”：是指連接兩條互相垂直的異面直線的端點的線段是兩條異面直線的公垂線段。實為方體：三條線段的長即為長方體的長、寬、高。例3、（2017屆廣州一模，10）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．（1）若三棱錐為鱉臑,⊥平面,，,三棱錐的四個頂點都在球的球面上,則球的表面積為（）A.B.C.D.略解：如圖，三棱錐P-ABC四個面都是直角三角形，可以補型構造長方體。。（也可以類比例2求解）（2）若四棱錐為陽馬，⊥平面,，,四棱錐的五個頂點都在球的球面上,則球的表面積為（）A.B.C.D.略解：四棱錐可補形成長方體，例4、三棱錐P－ABC的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別是、、，則該三棱錐的外接球的體積是（）A．B．C．D．8略解：如圖，補型構造長方體，易得例5、(2017·太原一模)平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為()A．3πB．eq\f(\r(3),2)πC．4πD．eq\f(\r(3),4)π略解：線段構成“鱉臑”，所以題型三：對棱相等，體面角線。對棱相等：四面體的三組對棱分別對應相等。體面角線：這三組對棱構成長方體的三組對面的對角線。例7、在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的半徑為________。略解：如圖，補型構造長方體。，。題型四：兩直共斜，斜為球徑。兩直共斜：兩個直角三角形有公共斜邊；斜為球徑：公共斜邊即為外接球的直徑。例8、在四面體中，，，，則四面體的外接球的體積為（）....略解：與有共同斜邊，即為球的直徑。，，。題型五：三角垂面，三心矩形；三角垂面：兩個三角形所在的平面互相垂直；三心矩形：兩個三角形的外心，球心（三心）及兩三角形的公共邊中點構成一個矩形。例6、已知三棱錐的側面垂直于底面，，，，且△為正三角形，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．略解一：，，，。略解二：利用公式“”求解，其中、分別是和的外接圓半徑，是互相垂直的兩個三角形的公共邊的長。題型六：“正錐”、“正柱”，兩心直角?！罢F”、“正柱”：正棱錐（含圓錐）、“正棱柱”（含圓柱）內接于球；兩心直角：底面外接圓圓心，球心（兩心）及底面的一個頂點構成直角三角形。例7、在正三棱錐中，，側棱與底面所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為（）A．B.C.4D.略解：在直角中，，.所以，.在直角中，，即，解得，.例8、已知正三棱柱的各棱長都等于，其外接球的半徑為，則.略解：，，.題型七：利用正弦定理求小圓半徑：例9、若三棱錐P-ABC四個頂點都在球O上，若PA=PB=PC=5，AB=4，∠ACB=150°則球O半徑為（）A3B4CD略解：因為，所以在平面內的射影是的外心。設圓的半徑為，，.，，，.例10、若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，，，則球的表面積為________。略解：由余弦定理可得，.，所以，..題型八：求椎體的內切球半徑例11、在正四棱錐S-ABCD中，側面與底面所成的角為，則它的外接球半徑R與內切球半徑之比為（）A.5B.C.10D.略解：設正方形的邊長為2，因為側面與地面所成的角為，所以,斜高，則，.在中，，即，解得.而，解得.所以.三、對點精煉：1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB＝3,AC＝4,AB⊥AC,AA1＝12,則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)略解：（遇直必徑，徑垂過心）矩形的對角線即為球的直徑.球O的半徑R＝2．【2018南陽第一中學】已知三棱錐的四個頂點均在某球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.略解：，，，.所以，，.3．已知三棱錐中，，，且各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）A．B．C．D．略解：（對棱相等，體面角線），，.4．在四邊形中，，，，，現將沿折起，得三棱錐，若三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的體積為A．B．C．D．，略解：（兩直共斜，斜為球徑），，所以，所以為球的直徑，，..5．已知三棱錐，是直角三角形，其斜邊平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．[來略解：（陽馬、鱉臑，實為方體）這個三棱錐中，兩兩垂直，“陽馬”結構.，所以.6．【2019四川樂山四校聯考*模型法】如圖，在等腰梯形中，,為中點.將與分別沿、折起，使、重合于點，則三棱錐的外接球的體積為（）A.B.C.D.略解：（正錐、正柱，兩心直角）折疊后所得的幾何體是各棱長均為1的正四面體.，，，在中，，，所以.7．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E為對角線BD的中點，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，則三棱錐P﹣BCD的外接球的表面積為（）A．28πB．32πC．16πD．12π略解：（徑垂過心）如圖，分別是的外心，為球心，，，，，，所以..8．已知四棱錐的頂點都在球上，底面是矩形，平面平面，為正三角形，,則球的表面積為A.B.C.D.[來源:Zxxk.Com]略解：（三角垂面，三心矩形），，，。9．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為______