高中數(shù)學(xué) 求幾何體外接球和內(nèi)切球的半徑 練習(xí)題（含答案）

1/1求幾何體外接球和內(nèi)切球的半徑一．基礎(chǔ)梳理1.求幾何體的外接球方法綜述：遇直必徑，徑垂過心；“陽馬”、“鱉臑”，實(shí)為方體；對棱相等，體面角線；兩直共斜，斜為球徑；三角垂面，三心矩形；“正錐”、“正柱”，兩心直角。參考圖形：（1）正四棱錐與圓錐內(nèi)接于球：解“兩心三角形”。（2）正三棱柱內(nèi)接于球、圓柱內(nèi)接于球：解“兩心三角形”。2.三棱錐的內(nèi)切球半徑的求法：已知三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則三棱錐的體積為：二．題型分解：題型一：遇直必徑，徑垂過心；遇直必徑：球面上的三點(diǎn)如果構(gòu)成直角三角形，則斜邊必然是截面的直徑。徑垂過心：過截面直徑與截面垂直的平面必然經(jīng)過球心；過截面圓心與截面垂直的直線經(jīng)過球心，即為球的直徑。例1、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，某幾何體的三視圈如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為()A.B.C.D.略解：，，.。解得，。例2、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為_______。略解：平面ABCD過小圓直徑AB，且平面ABCD⊥平面PAB，所以球心必為矩形ABCD的中心，對角線BD即為球的直徑，題型二：“陽馬”、“鱉臑”，實(shí)為方體：（1）“陽馬”：是指具有公共端點(diǎn)兩兩垂直的三條線段；（2）“鱉臑”：是指連接兩條互相垂直的異面直線的端點(diǎn)的線段是兩條異面直線的公垂線段。實(shí)為方體：三條線段的長即為長方體的長、寬、高。例3、（2017屆廣州一模，10）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．（1）若三棱錐為鱉臑,⊥平面,，,三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,則球的表面積為（）A.B.C.D.略解：如圖，三棱錐P-ABC四個(gè)面都是直角三角形，可以補(bǔ)型構(gòu)造長方體。。（也可以類比例2求解）（2）若四棱錐為陽馬，⊥平面,，,四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,則球的表面積為（）A.B.C.D.略解：四棱錐可補(bǔ)形成長方體，例4、三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別是、、，則該三棱錐的外接球的體積是（）A．B．C．D．8略解：如圖，補(bǔ)型構(gòu)造長方體，易得例5、(2017·太原一模)平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．3πB．eq\f(\r(3),2)πC．4πD．eq\f(\r(3),4)π略解：線段構(gòu)成“鱉臑”，所以題型三：對棱相等，體面角線。對棱相等：四面體的三組對棱分別對應(yīng)相等。體面角線：這三組對棱構(gòu)成長方體的三組對面的對角線。例7、在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的半徑為________。略解：如圖，補(bǔ)型構(gòu)造長方體。，。題型四：兩直共斜，斜為球徑。兩直共斜：兩個(gè)直角三角形有公共斜邊；斜為球徑：公共斜邊即為外接球的直徑。例8、在四面體中，，，，則四面體的外接球的體積為（）....略解：與有共同斜邊，即為球的直徑。，，。題型五：三角垂面，三心矩形；三角垂面：兩個(gè)三角形所在的平面互相垂直；三心矩形：兩個(gè)三角形的外心，球心（三心）及兩三角形的公共邊中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)矩形。例6、已知三棱錐的側(cè)面垂直于底面，，，，且△為正三角形，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．略解一：，，，。略解二：利用公式“”求解，其中、分別是和的外接圓半徑，是互相垂直的兩個(gè)三角形的公共邊的長。題型六：“正錐”、“正柱”，兩心直角?！罢F”、“正柱”：正棱錐（含圓錐）、“正棱柱”（含圓柱）內(nèi)接于球；兩心直角：底面外接圓圓心，球心（兩心）及底面的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形。例7、在正三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為（）A．B.C.4D.略解：在直角中，，.所以，.在直角中，，即，解得，.例8、已知正三棱柱的各棱長都等于，其外接球的半徑為，則.略解：，，.題型七：利用正弦定理求小圓半徑：例9、若三棱錐P-ABC四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，若PA=PB=PC=5，AB=4，∠ACB=150°則球O半徑為（）A3B4CD略解：因?yàn)?，所以在平面?nèi)的射影是的外心。設(shè)圓的半徑為，，.，，，.例10、若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，，，則球的表面積為________。略解：由余弦定理可得，.，所以，..題型八：求椎體的內(nèi)切球半徑例11、在正四棱錐S-ABCD中，側(cè)面與底面所成的角為，則它的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑之比為（）A.5B.C.10D.略解：設(shè)正方形的邊長為2，因?yàn)閭?cè)面與地面所成的角為，所以,斜高，則，.在中，，即，解得.而，解得.所以.三、對點(diǎn)精煉：1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB＝3,AC＝4,AB⊥AC,AA1＝12,則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)略解：（遇直必徑，徑垂過心）矩形的對角線即為球的直徑.球O的半徑R＝2．【2018南陽第一中學(xué)】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.略解：，，，.所以，，.3．已知三棱錐中，，，且各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A．B．C．D．略解：（對棱相等，體面角線），，.4．在四邊形中，，，，，現(xiàn)將沿折起，得三棱錐，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為A．B．C．D．，略解：（兩直共斜，斜為球徑），，所以，所以為球的直徑，，..5．已知三棱錐，是直角三角形，其斜邊平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．[來略解：（陽馬、鱉臑，實(shí)為方體）這個(gè)三棱錐中，兩兩垂直，“陽馬”結(jié)構(gòu).，所以.6．【2019四川樂山四校聯(lián)考*模型法】如圖，在等腰梯形中，,為中點(diǎn).將與分別沿、折起，使、重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積為（）A.B.C.D.略解：（正錐、正柱，兩心直角）折疊后所得的幾何體是各棱長均為1的正四面體.，，，在中，，，所以.7．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E為對角線BD的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，則三棱錐P﹣BCD的外接球的表面積為（）A．28πB．32πC．16πD．12π略解：（徑垂過心）如圖，分別是的外心，為球心，，，，，，所以..8．已知四棱錐的頂點(diǎn)都在球上，底面是矩形，平面平面，為正三角形，,則球的表面積為A.B.C.D.[來源:Zxxk.Com]略解：（三角垂面，三心矩形），，，。9．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為______