對未來數(shù)學的展望

對未來數(shù)學的展望對未來數(shù)學的展望一、高數(shù)的發(fā)展高等數(shù)學是一門古老的自然學科，它以微積分為主要研究對象。如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數(shù)十位科學家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前3世紀古希臘的數(shù)學家、力學家阿基米德（公元前 287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學》一書中，就把曲線這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數(shù)學家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。數(shù)學成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們間的依賴關(guān)系。到了17世紀下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國大數(shù)學家、物理學家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論，即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù)》。這些概念是力學概念的數(shù)學反映。牛頓認為任何運動存在于空間，賴于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線、角、體，都看作力學位移的結(jié)果。因而，一切變量都是流量。牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。微分學。這相當于積分學，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲變形面積等。牛頓已完全清楚上述（1）（2）兩類問題中運算是互逆的運算，1665年5月20日的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”，因為有人把這天作為誕生微積分的標志。在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學家研究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應用上更多地結(jié)合了運動學，造詣較萊布尼茨高一籌，但他的表達形式采用數(shù)學符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質(zhì)，強有力地促進了高等數(shù)學的發(fā)展。萊布尼茨創(chuàng)造的微分和積分符號，正像印度——阿拉伯數(shù)字促進了算數(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進了微積分學的發(fā)展，他是數(shù)學史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一。牛頓當時采用的微分和積分符號現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關(guān)鍵之一。從17世紀到18程一個解法的證明》中給出了微分學的一個重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說的羅爾微分中值定理。伯努利兄弟雅各布和約翰，他們的工作構(gòu)成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定式極限的一個定理，這個定理后由約翰的學生羅比達編入其微積分著作《無窮小分析》，現(xiàn)在通稱為羅比達法則。1715得的著名定理，即現(xiàn)在以他的名字命名的泰勒定理。后來麥克勞林重新得到泰勒公式的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林”級數(shù)。理論和多重積分理論。由于微積分的迅猛發(fā)展，人們將微積分應用到自然科學的各個方面，建立了不少一微積分為主的分支學科，如常微分方程、偏微分方程、變分法等等形成了數(shù)學的三大分支之一的‘分析’。但是微積分的基礎(chǔ)是不牢固的，尤其在適用無窮小概念上的隨意與混亂，引起了人們對他們理論的懷疑與批評。這方面的貢獻主要應歸功于尼古拉·伯努利、歐拉和拉格朗日等數(shù)學家。加上貝努利，歐拉，傅里葉等科學家在研究的應用數(shù)學問題之中的不斷研究，使的這門學科近乎完善，最終形成了以微積分為主要研究內(nèi)容的高等數(shù)學。直到19世紀，分析的嚴密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國數(shù)學家柯西?？挛鞣治龌A(chǔ)的最具代表性的著作是他的《分析教程》，《無窮小計算教程》以及《微分計算教程》?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴格化邁出了關(guān)鍵的一步。微積分是與實際應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應用科學個分支中，有越來越廣泛的應用。Riemann將Cauchy的積分含義擴展之后，Lebesgue又引進了測度的概念，進一步將Riemann積分的含義擴展。例如著名的Dirichilet函數(shù)在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue我國的數(shù)學泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來研究幾何，這門學科對人類認識時間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的巨大的作用。并且這門學科至今仍然很活躍。前不久由我國數(shù)學家朱熹平、曹懷東完成最后封頂?shù)凝嫾尤R猜想便屬于這一領(lǐng)域。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認識是從生動的直觀開始，進而達到抽象思維，也就是從感性認識到理性認識的過程。人類對客觀世界認識將一步一步地由低級到高級、由不全面到比較全面地發(fā)展。人類對自然的探索永遠不會有終點。二、高數(shù)的未來展望高等數(shù)學在當今社會有著廣泛的應用。如：計算機方面、電子應用方面、航天技術(shù)方面、醫(yī)學方面等等眾多領(lǐng)域都起著巨大的作用！特別是計算機的發(fā)明更有助于這些應用的不斷發(fā)展。在計算機領(lǐng)域，計算機中許多地方要用到數(shù)學模型，特別是算法復雜度，人工智能、業(yè)務(wù)領(lǐng)域的數(shù)學建模等等，都需要有一定的數(shù)學功底。隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的應用與普及，數(shù)學方法在醫(yī)藥學中的應用日益廣泛和深入。醫(yī)藥學科逐步由傳統(tǒng)的定性描述階段