2019-2020學年四川省成都市溫江區(qū)高一下學期期末數(shù)學(A卷)試卷(解析版)

2019-2020學年四川省成都市溫江區(qū)高一第二學期期末數(shù)學試卷（A卷）一、選擇題（共12小題）.1．若實數(shù)，滿足＞，則下列不等式成立的是（）ababA．|a|＞|b|B．+＞+C．＞D．＞abb23acbca2b22．已知數(shù)列{}滿足＞0，2a{}是（）＝，則數(shù)列aaaa1+1nnnnA．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．擺動數(shù)列3．A．﹣的值是（）B．0C．D．4．已知，，是△三邊之長，若滿足等式（+﹣）（++）＝，則∠的大abcABCabcabcabC小為（）A．60°B．90°C．120°D．150°差數(shù)列5．等{}的前2項和為30，前4項和為100，則它的前6項和是（）anA．1306．有一長為1千米的則斜坡長為________千米．（）A．1B．2sin10°B．170C．210D．260斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°（坡高不變），C．2cos10°D．cos20°7．設(shè){a}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和．已知＝1，＝7，則＝（）aaSS35S24nnA．B．C．D．8．設(shè)x，滿足y，則＝+（）zxyA．有最小值2，最大值3B．有最小值2，無最大值C．有最大值3，無最小值D．既無最小值，也無最大值9．設(shè)函數(shù)，若（）＞1，則的取值范圍是（）fxx00A．（﹣∞，﹣C．（﹣∞，﹣3）∪（10．在△中，如果4sinA+2cosB＝1，1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞），則∠的大小是（）1）∪[1，+∞）1，+∞）ABCCA．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°11．在△中，若角A，，BC所對的三邊a，，bc成等差數(shù)列，給出下列結(jié)論，其正確ABC的結(jié)論是（）①b2≥ac；②b2≥；③；④0＜B≤．A．①②B．②③C．③④D．①④12．若數(shù)列{a}滿足：存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)n都有a＝成立，則稱數(shù)列{a}an+Tnnn為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列{a}滿足＝（＞0），amm，1n則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．若a3＝4，則m可以取3個不同的值B．若，則數(shù)列{a}是周期為3的數(shù)列nC．?T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a}是周期為T的數(shù)列nD．?m∈Q且m≥2，使得數(shù)列{}是周期數(shù)列an二、填空題：（每小本大題共4小題，題5分，共20分）13．函數(shù)y＝的定義域是．14．已知1，，，，4成等比數(shù)列，則＝babc15．在△中，＝60°，＝12，＝18，則＝．ABCAbSABC△16．如圖（1），一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P．如果水面也恰好過點P（圖（2））將容器倒置，有下列四個命題：A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半．將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點BCP．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P．若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿．Da其中真命題的代號是：（寫出所有真命題的代號）．三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．求值與化簡．（1）已知向量＝（，tanα），＝（cosα，1），且∥．求cos（+α）的值．（2）化簡：﹣．18．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．（Ⅰ）求此幾何體的表面積；（Ⅱ）在如圖的正視圖中，如果點A為所在線段中點，點為頂點，求在幾何體側(cè)面上B從點到點的B最短路徑的長．A19．已知{}的前n項和為S，且＝3+2+1，＝1，aSSnna1+1nnn（1）求a；n（）若＝（），求數(shù)列的前項和．n2bna+1Tnnnn．某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)面是由以點為圓心的兩個20O同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為米，其O30中大圓弧所在圓的半徑為米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為xθ（弧度）．10（）求θ關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；1x（）已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為元米，弧24/線部分的裝飾費用為元米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關(guān)于的函數(shù)y9/yx關(guān)系式，并求出為何值時，取得最大值？xy．設(shè)△的面積為，且S?＝021ABC2S+（）求角的大??；1A（）若＝，且角不是最小角，求的取值范圍．S2||B．已知數(shù)列的前項和和通項滿足S（是常數(shù)且＞，≠，）．qq0q122{a}nannn（）求數(shù)列的通項公式；{a}1n（）當時，試證明…＜；a+a++a212n（）設(shè)函數(shù)（）＝，＝（）（）…（），是logxbfa+fa++fa否存在正整數(shù)，使m3fxqn12n對任意n∈N*都成立？若存在，求出的值，若不存在，說明理m由．參考答案一、選擇題（共12小題）.1．若實數(shù)，滿足＞，則下列不等式成立的是（）ababA．|a|＞|b|B．+＞+C．＞D．＞abb23acbca2b2【分析】根據(jù)條件分別?。絘1，＝﹣1和＝1，＝0，即可排除錯誤選項．bab解：由＞，?。絘ba1，＝﹣1，則可排除，，bAC?。絘1，＝0，則可排除．Db故選：．B2．已知數(shù)列{}滿足＞0，2a{}是（）＝，則數(shù)列aaaa1+1nnnnA．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．擺動數(shù)列【分析】直接利用等比數(shù)列的定義的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．解：數(shù)列＝，{}滿足＞0，2aaaa1+1nnn所以（常數(shù)），所以數(shù)列{}是以＞0為首項，為公比的等比數(shù)列，aa1n所以，故數(shù)列{}為單調(diào)遞減數(shù)列．a(chǎn)n故選：．B3．A．﹣的值是（）B．0C．D．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正切公式，求得要求式子的值．解：原式＝＝＝tan30°＝．故選：．D4．已知，，是△ABC三邊之長，若滿足等式（+﹣）（++）＝，則∠的大abcabcabcabC小為（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】由（a+bc﹣）（a+b+c）＝ab可得＝ca2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC＝2＝可求C的值．a(chǎn)+bc解：∵（﹣）（a+b+c）＝ab，∴＝ca2+b2+ab，2由余弦定理可得，cosC＝＝＝＝，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°，故選：C．5．等差數(shù)列的前2項和為30，前4項和為100，則它的前6項和是（）{a}nA．130B．170C．210D．260【分析】依題意，、﹣、﹣成等差數(shù)列，從而可求得答案．SSSSS62424解：∵等差數(shù)列的前2項和為30，前4項和為100，即＝，＝，{a}S30S100n24又、﹣、﹣成等差數(shù)列，SSSSS42426∴（﹣）＝（﹣），2SSSS+S42642即＝﹣140S100+30，6解得＝，S2106故選：C．6．有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°（坡高不變），則斜坡長為________千米．（）A．1B．°2sin10C．°2cos10D．°cos20【分析】根據(jù)坡長，坡角與坡高的關(guān)系列方程解出．解：設(shè)頗高為h，則h＝1?sin20°＝sin20°，設(shè)新斜坡長為x，則x?sin10°＝h＝sin20°，∴x＝＝2cos10°，故選：C．．設(shè)是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，S為其前n項和．已知＝，＝，則S＝（）aa1S77{a}nn2435A．B．C．D．【分析】先由等比中項的性質(zhì)求得a，再利用等比數(shù)列的通項求出公比q及首項a，最31后根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式求得S．5解：由＝＝1，得＝，aaaa122433所以S＝3＝7，又q＞0，解得＝2，即q＝．所以a＝＝4，1所以＝．故選：B．8．設(shè)x，y滿足，則z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，無最大值C．有最大值3，無最小值D．既無最小值，也無最大值【分析】本題考查的知識點簡單線性規(guī)劃問題，我們先在坐標系中畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)目標函數(shù)z＝x+y及直線2x+y＝4的斜率的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解析：如圖作出不等式組表示的可行域，如下圖所示：由于＝+的斜率大于2+＝4的斜率，zxyxy因此當＝+過點（2，0）時，有最小值，zxyz但沒有最大值．z故選：．B9．設(shè)函數(shù)，若（）＞1，則的取值范圍是（）fxx00A．（﹣∞，﹣C．（﹣∞，﹣3）∪（1和＜1兩種情況考慮，分別將相應(yīng)的函數(shù)解析式代入不等式中求出1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）【分析】分≥xx00相應(yīng)的解集，找出兩解集的并集即為所求的取值范圍．x0解：當≥1時，（）＝2+1，代入不等式得：2+1＞1，fxxx00x00解得：＞x0，0此時的范圍為≥x1；x00當＜1時，（）＝﹣2﹣2，代入不等式得：﹣2﹣2＞1，fxxxx2000xx2000解得：＞3或＜﹣1，x0x0此時的范圍為＜﹣x1，x00綜上，的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）．x0故選：．B10．在△中，如果4sinA+2cosB＝1，ABC，則∠的大小是（）CA．30°B．150°把題設(shè)等式分別平方后，相加，然后利用同角三角函數(shù)的sin的值，即C．30°或150°D．60°或120°【分析】基本關(guān)系和二倍角公式求得sin（+）的值，進而求得可求出結(jié)果．ABC解：∵4sinA+2cosB＝1，2sinB+4cosA＝3，∴16sin2A+4cos2B+16sinAcosB＝1，①4sin2B+16cos2A+16sinBcosA＝27②①+②得16+4+16sin（+）＝28，AB∴sin（+）＝sin（π﹣）＝sin＝ABCC得出∠C＝或，若C＝，則A+B＝，4cosA＜4，2sinB＜1，2sinB+4cosA＝3，不成立，所以C＝．故選：A．11．在△ABC中，若角A，，BC所對的三邊a，，bc成等差數(shù)列，給出下列結(jié)論，其正確的結(jié)論是（）①b2≥ac；②b2≥；③；④0＜B≤．A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】作差，利用基本不等式判斷①，作差利用余弦定理判斷②，舉反例判斷③，利用余弦定理判斷④．解：∵a，，bc成等差數(shù)列，∴+＝2，acb又a，，bc都是正數(shù)，∴＝＝b2≥＝，故①正確；ac∵b2﹣＝∴b2≤，故②錯誤；若a＝3，＝﹣＝＝﹣≤0，4，＝5，顯然＝，＝，bc故＞，故③錯誤；cosB＝＝＝＝﹣1，1≥，又b2≥ac，故cosB＝﹣∴0＜B≤，故④正確．故選：D．12．若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)n都有a＝a成立，則稱數(shù)列{an}{a}nn+Tn為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列滿足＝（＞），{a}amm0n1，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．若＝，則m可以取3個不同的值a43B．若，則數(shù)列是周期為3的數(shù)列{a}nC．?T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得是周期為T的數(shù)列{a}nD．?m∈Q且m≥2，使得數(shù)列是周期數(shù)列{a}n【分析】利用周期數(shù)列的定義，分別進行推理證明．解：對于選項A，因為，所以，，因為＝，所以＝或a4a532又因為，＝，所以m＝6或m＝或m＝，所以選項Aam1正確；對于選項B，＞1，所以；所以，所以，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，所以選項B正確；{a}n對于選項C，當B可知當＞1時，數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，所以C正確．{a}n故錯誤的是D．故選：D．二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）．函數(shù)＝的定義域是{x|x≤﹣或≥．1x5}131415y【分析】可看出，要使得原函數(shù)有意義，則需滿足﹣﹣≥，解出的范圍即可．xx4x502解：要使原函數(shù)有意義，則﹣﹣≥，解得≤﹣或≥，1x5x4x502x∴原函數(shù)的定義域為≤﹣，或≥．x5}{x|x1故答案為：≤﹣或≥．{x|x1x5}．已知，，，，成等比數(shù)列，則＝1abc4b2【分析】由題意利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)，求得的值．b解：∵已知，，，，成等比數(shù)列，∴＝＝×，＞，bac14b01abc42∴＝，b2故答案為：．2．在△中，＝°，＝，＝，則ABCA60b12S＝．1218ABC△【分析】先根據(jù)面積公式求出＝，再根據(jù)余弦定理求出的值，再根據(jù)正弦定理即可c6a求出．解：△中，＝°，＝，＝，A60b12SABC18ABC△∴＝＝××＝，bcsinA12cS18ABC△解得＝，c6理可得＝﹣＝﹣×××＝，由余弦定ac+b2bccosA36+1442126108222則＝，a6由正弦定理可得＝＝＝＝＝，2R12∴＝＝＝，2R12故答案為：．1216．如圖（1），一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，a水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P．如果將容器倒置，水面也恰好過點P（圖（2））有下列A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B．將容器側(cè)面水平放置時，四個命題：水面也恰好過點PC．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點PD．若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿．其中真命題的代號是：BD（寫出所有真命題的代號）．【分析】設(shè)出圖（1）的水高，和幾何體的高，計算水的體積，容易判斷A、D的正誤；對于B，當容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，根據(jù)體積判斷它是正確的．根據(jù)當水面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時，計算水的體積和實際不符，是錯誤的．解：設(shè)圖（1）水的高度h幾何體的高為h21圖（）中水的體積為b2h﹣b2hbhh21＝（﹣），2122所以＝（﹣），所以h＝b2hbhh2，故A錯誤，D正確．h22121對于B，當容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點，故B正確．對于C，假設(shè)C正確，當水面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時，經(jīng)計算得水的體積為故選BD＞，矛盾，故C不正確．bh2b2h22三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．求值與化簡．（1）已知向量＝（，tanα），＝（cosα，1），且∥．求cos（+α）的值．（2）化簡：﹣．【分析】（1）根據(jù)向量的平行可得sinα＝，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求出；（2）根據(jù)兩角差的正弦公式，二倍角公式即可求出．解：（1）向量＝（，tanα），＝（cosα，1），且∥，則tanαcosα＝，即sinα＝，則（+α）＝﹣sinα＝﹣；cos（）﹣＝2＝＝＝．418．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．（Ⅰ）求此幾何體的表面積；（Ⅱ）在如圖的正視圖中，如果點為所在線段中點，點為頂點，求在幾何體側(cè)面上AB從點到點的最短路徑的長．AB【分析】（）幾何體是一個圓錐與一個圓柱的組合體，由三視圖判斷圓錐與圓柱的底面I半徑與母線長，根據(jù)其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和，代入公式計算；（）利用圓柱的側(cè)面展開圖，求得的長，再利用勾股定理求的圓柱面距離．IIEBAB解：（Ⅰ）由三視圖知：幾何體是一個圓錐與一個圓柱的組合體，且圓錐與圓柱的底面半徑為，母線長分別為、，224其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和．＝×2π×2×2＝π；S4圓錐側(cè)＝2π×2×4＝16π；SS圓柱側(cè)＝π×＝π．242圓柱底∴幾何體的表面積＝ππ；S20+4（Ⅱ）沿點與點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖：AB則＝AB＝＝2，∴以從點到點在側(cè)面上的最短路徑的長為AB2．．已知的前項和為，且＝，＝，Sn19{a}nS3S+2n+1a1nnn+11（）求；1an（）若＝（），求數(shù)列的前項和．nn2bna+1nTnn【分析】（）由＝可得到＝﹣，然后兩式相減可得到﹣3S+2n+1S3S+2n11SSn+1n+1nnn1﹣＝（﹣），即＝，再兩邊同時加可得到＝（），得a3a+2nS3SSn+21a+13a+1nn1n+1n+1n﹣到數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案；{a+1}n（）求得，再由錯位相減法，可得數(shù)列的前項和．nn2bnTn解：（）由已知＝，3S+2n+11Sn+1n得≥時，＝﹣，n2S3S+2n1nn1﹣兩式相減，得﹣＝（﹣），S3SSS+2﹣n+1nnn1即＝，從而＝（）．a(chǎn)+13a+1a3a+2nn+1n+1n又＝≠，a+1201即是以＝為首項，為公比的等比數(shù)列．a(chǎn)+12{a+1}n31則＝，n﹣1?a+123n∴＝﹣；1n﹣1?a23n（）＝（）＝?，n﹣12bna+12n3nn＝?T21+4?3+6?32+…+2n?3，①n﹣1n＝?3T23+4?32+6?33++2n3…?，②nn①﹣②得，﹣2T＝2+2（3+32+…+3）﹣2n?3nn﹣1n＝2+2?﹣2n?3n，化簡可得＝T．n．某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)面是由以點為圓心的兩個20O同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為米，其O30中大圓弧所在圓的半徑為米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為θ（弧度）．10x（）求θ關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；1x（）已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為元米，弧24/線部分的裝飾費用為元米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關(guān)于的函數(shù)y9/yx關(guān)系式，并求出為何值時，取得最大值？xy【分析】（）利用扇形的弧長公式，結(jié)合環(huán)面的周長為米，可求θ關(guān)于的函數(shù)關(guān)130x系式；（）分別求出花壇的面積、裝飾總費用，可求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，換元，利用基本x2y不等式，可求最大值．解：（）由題意，＝θθ（﹣），130x+10+210x∴θ＝（0＜x＜10）；（）花壇的面積為2﹣＝＝（﹣）（）；10x5+x裝飾總費用為xθ?9+10θ?9+210x（﹣）?＝θθ（﹣）＝170+10x，49x+90+810x∴花壇的面積與裝飾總費用的比為＝y(tǒng)．令17+x＝，t則y＝，當且僅當t＝時取等18號，此時＝，θ＝，x1∴當x＝時，取得最大值．1y．設(shè)△21ABC的面積為，且S2S+?＝0（）求