高中數(shù)學(xué) 3.17微積分基本定理

微積分基本定理明目標(biāo)、知重點(diǎn)1．2．會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的積分．微積分基本定理如果()是區(qū)間]上的連續(xù)函數(shù)，并且＝))－)．a(chǎn)定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S，x軸下方的面積為S，則上 下當(dāng)曲邊梯形的面積在x(1()Sa 上．a(chǎn)下．當(dāng)曲邊梯形的面積在x(2()＝a下．當(dāng)曲邊梯形的面積在xx(3)，則()d＝Sa 上

，若S下＝S，則()0.上 下 a例1計(jì)算下列定積分：1 1(12d； (2(2－)；

(cosx－ex)dx.1x 1 2 －π反思與感悟求簡單的定積分關(guān)鍵注意兩點(diǎn)：時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限．1 x跟蹤訓(xùn)練1若S＝22d，S2d，S2ed，則SS

的大小關(guān)系( )1 1 2 1x 3 1

1 2 3A．S<S<S B．S<S<S1 2 3C．S<S<S

2 1 3D．S<S<S2 3 1 3 2 1探究點(diǎn)二分段函數(shù)的定積分 x xπsin，0≤≤2，1，2≤2，例2已知函數(shù)( π1，2≤2，

先畫出函數(shù)圖象，再求這個(gè)函數(shù)在0,4]x－1，2≤x≤4.上的定積分．反思與感悟求分段函數(shù)的定積分，分段標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原分段函數(shù)的分段情況即可；對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)．fx 2， ≤0，跟蹤訓(xùn)練2設(shè)

()＝cos

x－1，

x>0，求1()d.－1探究點(diǎn)三定積分的應(yīng)用例3計(jì)算下列定積分：πsind，2πsin，2sind.由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表0 π 0示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．反思與感悟可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0：)位于x積分；(2)位于x是位于x軸上方曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．跟蹤訓(xùn)練3求曲線y＝sinx

x πx5 y 與直線

＝－2

＝π，4

＝0所圍圖形的面積(如圖所示)．π2π22

(1＋cos等( )A．π ax1x a )若1

＋x)d

＝3＋ln2，則

的值是(A．5 232(2－)d .0 3x xπ4 44．已知f(x)＝

－2π，0≤π

≤2

，計(jì)算π).0cosx，<x≤π2呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1．對(duì)被積函數(shù)，要先化簡，再求積分．(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能積分．2．由于定積分的值可取正值，也可取負(fù)值，還可以取0，解為被積函數(shù)對(duì)應(yīng)圖形在某幾個(gè)區(qū)間上的定積分之和，而是在x分的相反數(shù)．一、基礎(chǔ)過關(guān)已知物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)那么下列命題正確的( )①它在時(shí)間段a，b]內(nèi)的位移是s＝s(t)|b；a②它在某一時(shí)刻t＝t0

時(shí)，瞬時(shí)速度是)；0ab

b－a

′(ξ)；③它在時(shí)間段

，]內(nèi)的位移是

＝lim sninn→∞④它在時(shí)間段，]內(nèi)的位移是′().a①C．①②④

①②D．①②③④若′)2，則)的解析式不正確的( )1 1 1A()＝3 ．＝3 C(＝3＋1 ＝＋c3 3 31(e＋)dx等( )0A．1 f2，－1f4．已知()＝

則

的值( )1，0<≤1， －13 4 2 2A.2

B. C. 3 3 3π x 5．2sin2dx等于( )0 2π π π－2A.4 B.2－1 D.46．若1(2＋)2，則＝ .0二、能力提升7．設(shè)函數(shù)(＝a＋c≠0)，若1()dx，0x≤1，則x

的值．0 0 0 0fx lg

，若則.設(shè)

()＝＋

3d，≤0017設(shè)(是一次函數(shù)，且1()d＝，x()d＝，則(的解析式 ．0 0 6計(jì)算下列定積分：1(12(e＋)d；

x(1＋1 x 11(320(－0.05－0.05＋1)d； (42

dx.0 1＋3，∈[01，11．若函數(shù)2x，x∈2，3].

求3()dx的值．0已知(＝1(2a2)d，求(0求定積分3

|x＋a|dx.－4微積分基本定理明目標(biāo)、知重點(diǎn)1．2．會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的積分．微積分基本定理如果()是區(qū)間]上的連續(xù)函數(shù)，并且＝))－)．a(chǎn)定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S，x軸下方的面積為S，則上 下當(dāng)曲邊梯形的面積在x(1()Sa 上．當(dāng)曲邊梯形的面積在x(2()＝Sa 下．當(dāng)曲邊梯形的面積在xx(3)，則()d＝Sa 上

，若S下＝S，則()0.上 下 a例1計(jì)算下列定積分：1 1(12d；(23(2－

(cosx－ex)dx.1x 1 2 －π1 1解(1(ln)′＝，所以2ln2＝ln－ln＝ln2.x 1x 11 1 1 1 1(2因()′2，()′＝－，所以(2－)d＝3d3 d23＋|3x 2

1 2 1

12

1 x11 22＝(9－1)＋(－1)＝.3 3(30 (cos

cosd－0 edx－π＝sin

－ex|0

－π －π1＝－1.－π －π eπ反思與感悟求簡單的定積分關(guān)鍵注意兩點(diǎn)：時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限．1跟蹤訓(xùn)練1若S＝22d，S2d，S2ed，則SSS的大小關(guān)系( )1 1 2 1x 3 1

1 2 3A．S<S<S B．S<S<S1 2 3C．S<S<S

2 1 3D．S<S<S2 3 1 3 2 1答案B1 7 1 7解析S22d＝3|2＝，S＝2d＝ln＝ln2<，S＝2ed＝e2＝e2－＝e(－1)>.1 1 3 1

2 1x 1

3 1 1 3S<S<S，選B.2 1 3探究點(diǎn)二分段函數(shù)的定積分 x xπsin，0≤≤2，1，2≤2，例2已知函數(shù)( π1，2≤2，

先畫出函數(shù)圖象，再求這個(gè)函數(shù)在0,4]x－1，2≤x≤4.上的定積分．解圖象如圖．πsinπ

(x－1)dx4 2 2 40 0 0 21＝－cos)||(2)42 2π π＝1＋(2－2)＋(4－0)＝7－2.反思與感悟求分段函數(shù)的定積分，分段標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原分段函數(shù)的分段情況即可；對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)．fx 2， ≤0，跟蹤訓(xùn)練2設(shè)

()＝cos

x－1，

x>0，求1()d.－1解1()＝02d＋1(cos－1)x－1 －1 01 2＝30＋(sin－)1＝sin－.3 －1 0 3探究點(diǎn)三定積分的應(yīng)用例3計(jì)算下列定積分：πsind，2πsin，2sind.由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表0 π 0示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．解因?yàn)?－cosx)′＝sin所以πsind＝(cos)π0 0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；2πsind(－cos)2ππ π＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；2πsind(－cos)2π0 0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.反思與感悟可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0：)位于x積分；(2)位于x是位于x軸上方曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．跟蹤訓(xùn)練3求曲線y＝sinx

x πx5 y 與直線

＝－2

＝π，4

＝0所圍圖形的面積(如圖所示)．解所求面積為5π π xx4 －|sin|d2π22＝－0π2

sin＋πsin－02 2

4πsinxdx5π5＝1＋2＋(1－2)＝4－2.21．π2π2

(1＋cos等( )A．πC．π－2答案D解析∵(x＋sinx)′＝1＋cosx，2∴π2π2

(1＋cosπ2π22π π

π ＝2＋sin2－－2＋sin 2＝π＋2.ax1x a )2．若1

＋x)d

＝3＋ln2，則

的值是(A．5B．4答案D1 1解析(2＋)d＝2＋adx1 x 1 1x＝2＋ln＝2－＋ln＝3ln，解得＝2.1 12 432(2－)d 0 3 32 2 3 2 844解析2(2－)d＝2d－2d＝|－|＝－＝.0 3

03 3

30 333x xπ4 44．已知f(x)＝

－2π，0≤π

≤2

，計(jì)算π).0cosx，<x≤π2解?ππ

cosxdx，π 2 π 2 π0 0 π 0 π2 2取F()＝2－2，則F′(4－2π；取F(＝sin，則F′()cos.1 1 2 22(4x－2π)dx＋πcos＝(2(4x－2π)dx＋πcos＝(2－2)＋sin|＝－π2－，即π)d＝－0 π 2 0 22呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]求定積分的一些常用技巧對(duì)被積函數(shù)，要先化簡，再求積分．(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能積分．由于定積分的值可取正值，也可取負(fù)值，還可以取0，解為被積函數(shù)對(duì)應(yīng)圖形在某幾個(gè)區(qū)間上的定積分之和，而是在x分的相反數(shù)．一、基礎(chǔ)過關(guān)已知物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)那么下列命題正確的( )①它在時(shí)間段a，b]內(nèi)的位移是s＝s(t)|b；a②它在某一時(shí)刻t＝t0

時(shí)，瞬時(shí)速度是)；0ab

b－a

′(ξ)；③它在時(shí)間段

，]內(nèi)的位移是

＝lim sninn→∞④它在時(shí)間段，]內(nèi)的位移是′().a①C．①②④答案D

①②D．①②③④若)2，則B)1 1 1A．()＝33 B．)＝3 C．)＝33＋1 D．()＝33＋(c為常數(shù))1(e＋)dx等( )0A．1B．e－1D．e＋1 答案C解析1(e＋2)(e)1＝(112＋02e.0 02，－1≤0，已知

則1

的值( )1，0<≤1， －13 4 2 2A.2

C. D．－3 3 3答案解析1

()d＝0

32d＋1＝3

1 4＋1＝＋1＝，故選B.－1 －1 5．2sin2dx等于( 5．2sin2dx等于(

－1 3 30 2π π π－2A.4

B.2－1 D.

答案D解析2sin2dx＝2(，故選π x 解析2sin2dx＝2(，故選0 2 0 2 2 46．若1(2＋)2，則＝ . 答案10解析∵1(2)d＝＋k)1＝2，∴1.0 0二、能力提升7．設(shè)函數(shù)(＝a＋c≠0)，若)(x，0x≤1，則x

3的值．0 0 0 0 3a解析1(a2＋)a＋，∴＝a2，0 0 3 01 3∵≠0，2＝，又0≤x≤1，x＝ .0 3 0 0 3fx lg>0設(shè)

()＝＋

，3d，≤00若則答案1解析因?yàn)?>，所以(1lg＝0≤0＝＋2＋|＝3，0 0所以(0＝3.因?yàn)閒(1)＝，所以3，解得＝1.17設(shè)(是一次函數(shù)，且1()d＝，x()d＝，則(的解析式 ．0 0 6答案f(x)＝4x＋3解析∵f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則11)＝1(a＋)＝1a＋1d＝＋＝x()＝1(a＋)1(a2)＋1bdx0 0 0 0 2 0 0 0 01a＋b＝5，1 1 17 2＝a＋b＝.由3 2 6 1 17a＋b＝，3 2 6＝4，得＝3.計(jì)算下列定積分：1(12(e＋)d；(29 (＋)d；1 x 1(320(－0.05－0.05＋1)d；01(42

dx.1＋11解(1)∵(ex＋lnx)′＝ex＋x，1∴(e＋)d＝(＋ln)＝e2ln－e.1 x 11 23(2)∵(1＋)＝＋，(2＋x2)′＋，2 31 23 172∴9 (1＋)d＝(＋x2)|＝ .1 2 3 1 3(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，∴2(－0.05－0.05＋)d＝e－0.0＋12＝－e.0 01 1 1，＋1x 1 x 1，(ln

)′＝x，(ln(＋1))′＝x＋11∴2

d＝ln2－ln(＋1)2＝2ln－ln3.＋1 1 13，∈[01，11．若函數(shù)2x，x∈2，3].

求3()dx的值．0解由定積分的性質(zhì)，知：3)＝1()2()d＋3()dx0 0 1 2＝3d＋2 d＋32dx0 1 24 23 2x＝|1＋x|2＋ |340 321 ln2214 2 8 4 5 4 4＝＋ 2－＋ － ＝－＋ 2＋ 43 3ln2ln2 123 ln2已知(＝1(2a2)d，求(02 1解∵(a3－3 22 1∴(2a22)＝(a－2)10 3 2 02 1＝－3 22 1 1 4 4 2即()＝－2＝－(2－＋＋3 2 2 3 9 1 2 2＝－)2＋2 3 9a2 fa 2∴當(dāng)＝時(shí)，()有最大