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PAGEPAGE9§4.2微積分基本定理[基礎(chǔ)·初探]教材整理微積分基本定理閱讀教材P~P,完成下列問題.82 84微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)(()的導函數(shù),即)()d()-aF(a).定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S,x軸下方的面積為S,則上 下(1)421當曲邊梯形的面積在x軸上方時,如圖421(1),則(d=S.a當曲邊梯形的面積在x軸下方時,如圖421(2),則(d=S下.a(2) (3)圖421當曲邊梯形的面積在xx421(3),(d=Sa上S,若S上S下(d0.a微積分基本定理中,被積函數(shù)是原函數(shù)的導.( )應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時,為了計算方便通常取原函數(shù)的常數(shù)項0.( )應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時,被積函數(shù)在積分區(qū)間上必須是連續(xù)數(shù).( )【答案】(1)√(2)√(3)√2(-sin)dx等( )0A.0C.-2
2π
B.2D.4【解析】2(-sindcos cos2πcos0.0【答案】A
0[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:解惑:解惑:解惑:利用微積分基本定理求定積分計算下列定積分.利用微積分基本定理求定積分計算下列定積分.(12(2+2+3d(20 cosd;1 -π22++1
π x(321
x
si2d.2220【思路探究】(1)、(2)先求被積函數(shù)的一個原函數(shù)F(x),然后利用微積分基本定理求解;(3)、(4)則需先對被積函數(shù)變形,再利用微積分基本定理求解.【自主解答】(12(2+3dx1=2d22xd23dx132
1 12 2 25=++3=.3 31 1 1(20 (cos-d0 cosxd0 dx-π -π -π0 0 1=sin - =-1. π-π -π22++1 1 1(3) x =2+ln)′21.22++1 2∴21
d(+ln=+ln2.x 1(4)原式1 cos(1-cos(1-220
220π π1πdx1πcosxdx
2 sin2 =2210π-2
-20
=2 -2 0 0=4.求簡單的定積分應(yīng)注意兩點:不易求時,可將被積函數(shù)適當變形后再求解;[再練一題]x-121.2xd .21112【解析】 =-dx2 2dx
2xlnx
1 12= 0ln -(ln+1=ln 1= 2+
2-.2 2-【答案】ln21-2求分段函數(shù)的定積分計算下列定積分.sinx xπ求分段函數(shù)的定積分計算下列定積分.,0≤<2,()= πx 4()d;1,2≤
≤2, 0x-1,2<x≤4,(22|2-1d.0fx π 4【精彩點撥】(1)按再求和.
0,22,2π 2【自主解答】(14)d=2sinxd 1d4(-1dxπ0 20 2π 242 1 =(-cos +π-0
2 2 2π2=1+2-2+(4-0)=7-2.(22|2-1d1(2)d+2(-1)dx0 0 1 11 1 2=-3-2.3 3 0 1(2)中被積函數(shù)n數(shù)的分段標準進行.[再練一題]2.3(|3|3|d.-3【解】設(shè)f(x)=|2x+3|+|3-2x|,x∈[-3,3],-4,-3≤<-, x x 32-4,-3≤<-,則f(x)=
3 3x6,-≤≤,x2 234x,2
<x≤3.3
3 33(|23|||d--4d26d
4xdx323-3 -33 3 3
3- 22- 2
9
33
93=-22+623=-2-+6++29-=45.34 22 4 - 2-3 2利用定積分求參數(shù)[探究共研型]利用定積分求參數(shù)探究1滿足F′(x)=f(x)的函數(shù)F(x)唯一嗎?【提示】2如何求對稱區(qū)間上的定積分?【提示】(1)設(shè)函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)()= +(若fx ax2ca1fxdx()=x的值;0 0 0(2)已知)是一次函數(shù),其圖像過(,4,(dx fx=1,求()的解析式.0,然后列出關(guān)于【精彩點撥】(1先利用微積分基本定理求出定積dx x的,然后列出關(guān)于0方程,求出x0
0的值.(2)設(shè)出f(x)的解析式,再根據(jù)已知條件列方程組求解.【自主解答】(1)因為)=a2(≠0),a 3且3+c′a,3a a1()da2)d3+c1=+=a2, 0 0x=3x
3 0 3 03(舍去).0 3 0 3(2)依題意設(shè)一次函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=kx+b(k≠0).∵函數(shù)圖像過點(3,4),∴3k+b=4.①k k∵(d1(k+)d2+b|=+, 2 0 20 0k∴②2k6b2由①②得,=,=,5 5fx 6 2∴()=x+.5 5計算含有參數(shù)的定積分,必須分清積分變量與被積函數(shù)積分區(qū)間與函數(shù)F(x)等概念.[再練一題]3.已(2-3d=0,則k等( )0A.0C.01【解析】2
B.1D.以上都不對 00=23,∴23=,解得k=1或k=0(舍去),故選B.【答案】B[構(gòu)建·體系]—定理微積分基本定理——定積分的計算—定積分的幾何意義—定積分的幾何意義下列定積分的值等于1的是( A.xdx0
B.11dx0C.1dx0
′=,
1D.1dx0【解析】選項A221 11xd=2=; 0 02
2
x
2
1 3選項2+′=+1,1(+1)2+=; 20 01選項,因為′=11d==1; 0 01 1 1 11 1選項,因′ ,所1d==.2 2【答案】Cπ
2 2 20 02 (sin的值( )ππ-2A.0C.2
πB.4D.4ππ π π 2【解析】2 (sin2sin2cosππ π π π - - - -2 2 2π2+sinx
=2.π-2【答案】C3.計2d= .01
11 1【解析】′212d==.31【答案】3
3 30 0已知22(k+1)d≤,則實數(shù)k的取值范圍 .11 2
1 3 3【解析】(k1)dk+ =(2+2=+1所以2≤+1≤4, 2 2 2 21 12k解得≤3
≤2.
2 【
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