中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究-動點幾何問題解題方法

4/6動點問題靜態(tài)問題的劃分面積公式的使用不同情況的考慮例1：（北京市石景山區(qū)2010年數(shù)學(xué)期中練習(xí)）在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC的面積；ACB(2)現(xiàn)有動點P從A點出發(fā)，沿射線AB向點B方向運動，動點Q從C點出發(fā)，沿射線CB也向點B方向運動。如果點P的速度是4CM/秒，點Q的速度是2CM/秒，它們同時出發(fā)，幾秒鐘后，△PBQ的面積是ACB(3)在第（2）問題前提下，P,Q兩點之間的距離是多少？靜態(tài)問題的劃分線段長度的表示方程的構(gòu)建（相似）xAOQPBy例4：（09齊齊哈爾）直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點，動點同時從點出發(fā)，同時到達點，運動停止．點沿線段 運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線→→運動．（1）直接寫出兩點的坐標(biāo)；xAOQPBy（2）設(shè)點的運動時間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時，求出點的坐標(biāo)，并直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標(biāo)．靜態(tài)問題的劃分線段長度的表示方程的構(gòu)建（相似）例5：（2009寧夏）已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點運動（運動開始時，點與點重合，點到達點時運動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點，線段運動的時間為秒．（1）線段在運動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；CPQBAMN（2）線段在運動的過程中，四邊形的面積為，運動的時間為．求四邊形的面積隨運動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．CPQBAMN解：（1）過點作，垂足為．則，當(dāng)運動到被垂直平分時，四邊形是矩形，即時，CPQBAMN四邊形CPQBAMN，CPQBAMN（2）當(dāng)CPQBAMN當(dāng)時，當(dāng)時，點評：此題關(guān)鍵也是對P、Q兩點的不同位置進行分類。靜態(tài)問題的劃分線段長度的表示方程的構(gòu)建（幾何中等量關(guān)系）圖（3）CcDcAcBcQcPcEc例6：（2009四川樂山）．如圖（15），在梯形中，厘米，厘米，的坡度動點從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點運動，兩個動點同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止．設(shè)動點運動的時間為秒．圖（3）CcDcAcBcQcPcEc（1）求邊的長；（2）當(dāng)為何值時，與相互平分；（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時，有最大值？最大值是多少？6.解：（1）作于點，如圖（3）所示，則四邊形為矩形．又 2分在中，由勾股定理得：（2）假設(shè)與相互平分．由則是平行四邊形（此時在上）． 即解得即秒時，與相互平分．（3）①當(dāng)在上，即時，作于，則即= 當(dāng)秒時，有最大值為∵∴∴即∴ ③當(dāng)時，如圖⑤，過作于點.（圖⑤）A（圖⑤）ADCBHNMF解得解法二：∵∴∴即∴綜上所述，當(dāng)、或時，為等腰三角形ABOCDPQ例9：（呼和浩特）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB為⊙O的直徑，動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以2cm/s的速度運動，P、ABOCDPQ點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t(s)．(1)當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？(2)當(dāng)t為何值時，PQ與⊙O相切？解：(1)∵直角梯形當(dāng)時，四邊形為平行四邊形．OAPOAPDBQC，，OAPDBQCHOAPDBQCHE（2）解：設(shè)與相切于點過點作垂足為直角梯形由題意可知：為的直徑，為的切線在中，即：， 7分因為在邊運動的時間為秒，而（舍去）ABDCPQMN當(dāng)ABDCPQMN例10.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當(dāng)有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）當(dāng)x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；（2）當(dāng)x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．解：（1）當(dāng)點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形．①當(dāng)點P與點N重合時，（舍去）．因為BQ+CM=，此時點Q與點M不重合．所以符合題意．②當(dāng)點Q與點M重合時，．此時，不符合題意．故點Q與點M不能重合．所以所求x的值為．（2）由（1）知，點Q只能在點M的左側(cè)，①當(dāng)點P在點N的左側(cè)時，由，解得．當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．②當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，由，解得．當(dāng)x=4時四邊形NQMP是平行四邊形．所以當(dāng)時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．（3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．由于2x>x，所以點E一定在點