一元二次函數(shù)方程和不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

一元二函、方程不式（銜課）一教設(shè)1.學(xué)內(nèi)容解在現(xiàn)行人民教育出版社A版高數(shù)學(xué)教材中一元二次不等式的解法一部分內(nèi)容安排在《必修5》的第三章第二，學(xué)生高二時(shí)才學(xué)習(xí)，導(dǎo)致高一學(xué)生在學(xué)習(xí)《必修1》的“集合”“函數(shù)”等內(nèi)容時(shí)，一定的障礙，達(dá)不到一定的深度，初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容銜接不連貫，對于這一部分內(nèi)容，老師普遍認(rèn)為應(yīng)調(diào)整到《必修》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函數(shù)”之前比較.本節(jié)課的產(chǎn)生正是基于以上原因，但它并不是一節(jié)“一元二次不等式的解法”的新知課，也不是一節(jié)復(fù)習(xí)課是節(jié)銜接課，以一元二次函數(shù)元次方程與一元二次不等式（后面稱三個(gè)“二次”）三者之間的關(guān)系及其應(yīng)用為核心內(nèi)容，特別是用函數(shù)的觀點(diǎn)來處理方程與不等式問題，引導(dǎo)學(xué)生感悟高中階段數(shù)學(xué)課程的特征，適應(yīng)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)作學(xué)習(xí)心理習(xí)方式和知識(shí)技能等方面的準(zhǔn)備助生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過.三個(gè)”是初中三個(gè)“一次（一元一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式）在知識(shí)上的延伸和發(fā)展，它是函數(shù)、方程、不等式問題的基礎(chǔ)和核心，在高中數(shù)學(xué)中，許多問題的解決都會(huì)直接或間接用到三個(gè)“二次.，解析幾何中解決直線與二次曲線位置關(guān)系問題導(dǎo)數(shù)中導(dǎo)函數(shù)為二次函時(shí)的許多問題等時(shí)此部分內(nèi)容又是培養(yǎng)函數(shù)與方程思想數(shù)結(jié)合思想分類討論思想以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的極好素材節(jié)的地位和作用主要體現(xiàn)在它的基礎(chǔ)性和工具性方.根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為教重：元二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式三者之間的關(guān)系及應(yīng).2.生學(xué)情診本節(jié)課的授課對象為華中師大一附中高一平行班學(xué)生師大一附中是湖北省示范高中，學(xué)生基礎(chǔ)很好，一般而言，學(xué)生已經(jīng)掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，簡單的一元二次不等式的解法利用函數(shù)圖象解決簡單的方程和不等式問.但當(dāng)所研究的問題中含有參數(shù)或者綜合性較強(qiáng)者運(yùn)算較復(fù)雜的時(shí)候?qū)W生往往不能正確理解題意不能準(zhǔn)確地利用三個(gè)“二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，不善于分類討論，不善于歸納總結(jié)，對函數(shù)、方程、不等式的處理方法不夠完整，沒有形成基本的規(guī).教難：參數(shù)的二次方程、不等式，如何利用三個(gè)“二次”之間的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化處理，為今后處理其它類型的函數(shù)、方程、不等式問題提供范.3.學(xué)目標(biāo)設(shè)(1)理解一元二次函數(shù)、一元二方程及一元二次不等式三者之間的關(guān)系；(2)能夠用二次函數(shù)的觀點(diǎn)處理次方程和二次不等式問題，感悟函數(shù)的重要性以及數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性；(3)引導(dǎo)學(xué)生感悟高中階段數(shù)學(xué)程的特征，適應(yīng)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠在本主題的學(xué)習(xí)中，逐步提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素4.學(xué)策略分本課作為初高中內(nèi)容和方法上的“銜接課”，有其重要特點(diǎn)：一不能靠單純的復(fù)習(xí)；二不宜上成新課；三，必須展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函數(shù)、圓

錐曲線等核心概念必然聯(lián)系的高度眼于繼續(xù)學(xué)習(xí)而又必須遵循數(shù)學(xué)的自然順序避免后繼內(nèi)容的前移。這種課的關(guān)鍵是整合和提升成基本套路并了解它在進(jìn)一步學(xué)習(xí)中的基本價(jià)值些都需要問題驅(qū)動(dòng)，循序漸進(jìn)，在師生互動(dòng)中不斷地歸納總結(jié)。教流：

5．學(xué)過程環(huán)一回師：同學(xué)們，我們初中學(xué)過一元一次不等式，同學(xué)們說說這個(gè)不等x是多少??？

的解集生：

x

23

師：誒，怎么算出來的?。磕奈煌瑢W(xué)來說說？生：把

移到右邊去，再不等式左右兩邊同時(shí)除以3.師：你的解題依據(jù)是什么呢？生：不等式的性師：很好，請坐，這位同學(xué)利用不等式的性質(zhì)，從代數(shù)的角度把這個(gè)不等式解出來了，還有其它的解法嗎？生：可以先畫出一次函數(shù)的圖象，從圖象可以看出不等式的解.師：好，我們先畫圖象，怎么畫這個(gè)函數(shù)的圖象？生：找兩個(gè)點(diǎn).師：找那兩個(gè)點(diǎn)比較好？生：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).師：與

x

軸的交點(diǎn)是多少?生：

2(3

師：這

23

是怎么出來的?。可毫顈.即3

，這個(gè)方程的根師：很好，與

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是對應(yīng)一次方程的與

軸的交點(diǎn)是多少？生：令

x

得

y

，交點(diǎn)

師：所以這個(gè)不等式的解集就是？生：

x

23

，即圖象在軸上方時(shí)所對應(yīng)的的師：很好請坐由可以看出一次函數(shù)一次方程和一次不等式三者之間有著密切的聯(lián)系，誰來概括一下？生：一次方程的根就是一次函數(shù)圖象與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即一次函數(shù)的零點(diǎn)），一次不等式的解集就是一次函數(shù)圖象在軸方時(shí)所對應(yīng)的x的圍，一次方程的根也是一次不等式解集的端點(diǎn)師：同學(xué)們再想一想，這三者之間為什么會(huì)有關(guān)系呢？生：……師：我們從代數(shù)表達(dá)式來看一看，一方程、一次不等式和一次函數(shù)，這個(gè)三個(gè)表達(dá)式有什么共同點(diǎn)^……，都含有一次式，對吧，所以它們之間有關(guān).【析回顧初中知識(shí)，利用一次函數(shù)的圖象理一次方程和一次不等式.次”，類比引出課題，并為三個(gè)“二次”的研究提供思2

由三個(gè)“一

環(huán)二整師：很好，一次函數(shù)、一次方程和一次不等式三者之間有著密切的關(guān)

我們再來看一下一元二次函數(shù)y(a)

，一元二次方程x()

、一元二次不等式ax

2

()，ax

2

()

師：從它們表達(dá)式來看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多項(xiàng)式，對吧？那么這三個(gè)二次之間是否也有類似三個(gè)一次之間的關(guān)系呢？這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容，首先請同學(xué)們畫畫這個(gè)二次函數(shù)的圖

（板書課題）畫一畫

畫出二次函數(shù)

的圖象看一看

觀看幾何畫板動(dòng)畫動(dòng)C橫坐標(biāo)變化標(biāo)y變化情況.說一說（1）當(dāng)哪些值時(shí)，y？（2）方程

0的根為；當(dāng)x取些值時(shí)，？

不等式

x0的集為；當(dāng)x取些值時(shí)，y？

不等式

x的集為

問：元二次方程

x

2x，元二次不等式2

和一元二次函數(shù)

y

，三者之間有什么關(guān)系？動(dòng)展：變一變3

問3對于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函數(shù)，三者之間有么關(guān)系？小合探：師：二次函數(shù)、方程和不等式三者之間有著密切的聯(lián)系，函數(shù)是核心，圖象是載體，可以通過函數(shù)的觀點(diǎn)來處理方程和不等式問一元二次函數(shù)圖象一元二次方程

一元二次不等式【析以體的常系數(shù)的二次函數(shù)程等為例讓學(xué)生通過類比三一理解三個(gè)“二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出二次函數(shù)在“三個(gè)二次”中的中心地位。并對一般情形的二次函數(shù)、方程和不等式之間的關(guān)系進(jìn)行整合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具體策略是問題驅(qū)動(dòng)，在教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索、合作研.師：好，對于一個(gè)具體的一元二次不等式，我們會(huì)求解集，如果反過來，已知不等式的解集，你會(huì)求這個(gè)不等式嗎？同學(xué)們思考這樣的一個(gè)問題：【例1】已知關(guān)于的等式x

bx的集為

(

，求實(shí)數(shù)

b

的值【析逆向變式，強(qiáng)化一元二次函數(shù)、方程和不等式的內(nèi)在聯(lián).生依題意

是對應(yīng)一元二次方程x

兩根

x代4

入方程得，

，即，解得bc

生：題意，

是對應(yīng)一元二次方程

x

的兩根，由韋達(dá)定理有，得c師：很好，請.根三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，不等式的解集就是函數(shù)圖象x軸下方時(shí)，所對應(yīng)的的值范圍，所以

正好是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是方程x的個(gè)，從而根據(jù)韋達(dá)定理，可以求出,c的值.

（畫圖分析）環(huán)三提辯證唯物主義告訴我們，任何事物都是運(yùn)動(dòng)化發(fā)展的當(dāng)我們將方程和不等式中常系數(shù)改為字母,隨字母取值的不同，方的根和不等式的解會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，這類方程和不等式稱為含參方程和含參不等式，下面我們一起來研究兩個(gè)含參問.師：我們再把前面那個(gè)具體的方程變一下，系數(shù)上加一個(gè)參數(shù)，同學(xué)們思考這樣的一個(gè)問題：【2已知關(guān)于的程

，根小于1

，另一根大

y于，求數(shù)的取值范.【析含二次方程問題，繼續(xù)對二次方程和二次數(shù)進(jìn)行整合提升，用函數(shù)的觀點(diǎn)來處理方程問.生：設(shè)f(x)x2ax，

f(1)

，解之得2

0

1

x師：有不同意見嗎？生：不對，應(yīng)該還要

0

師：誒，生2好像說得很有道理呢？還其它觀點(diǎn)嗎？生：我覺得生對的，因?yàn)榈挠檬强刂茍D象與有兩個(gè)交點(diǎn)，而這是開口向上的拋物線，

f(1)

也能保證與軸有兩個(gè)交點(diǎn).師，同學(xué)們同意哪位同學(xué)的說法？生：曾子軒.師：很好，題目要求這個(gè)方程的兩根，一個(gè)小于，個(gè)大于，根據(jù)數(shù)與方程的關(guān)系程的根就是函數(shù)圖象與軸點(diǎn)的橫坐標(biāo)們以通過控制二次函數(shù)的圖象來控制方程的根，也就是要保證函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，一個(gè)在的左側(cè)，一個(gè)在1的側(cè)

只需要

f(1)

，就可以控制住這個(gè)二次函數(shù)的圖象了，當(dāng)然如果

加進(jìn)去，可不可以？也是可以的.

我們從代數(shù)的角度來檢驗(yàn)一下，看兩種解法的答案是否一樣？法：

f(1)-aa法：

f-a2a3或3

師：這是一個(gè)方程問題，我們可以根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將它轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處師我再把前面那個(gè)具體的不等式也變一下數(shù)上加一個(gè)參數(shù)同學(xué)們思考這樣的一個(gè)問題：【3若不式x2對任意

恒成立，求實(shí)數(shù)的值范圍【析含參二次不等式問題，繼續(xù)對二次不等式和二次函數(shù)進(jìn)行整合提升，用函數(shù)的觀點(diǎn)來處理不等式問.組內(nèi)學(xué)生相互討論，分析解題思路，再讓學(xué)生先分學(xué)生分析：只需二次函數(shù)

f(x)xax

，在

這一段的圖象位于軸方，應(yīng)分三種情況討論，當(dāng)對稱軸在區(qū)間的左邊、中間和右?guī)煼遣诲e(cuò)啊劉鈺欣同學(xué)將個(gè)不等式問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題只需要函數(shù)圖象在

這一段的圖象位于軸方即可

如何保證圖象在x軸方呢？我們邊看動(dòng)畫一起來分析.5

動(dòng)展：著的值變化，函數(shù)圖象與軸位置關(guān)師：當(dāng)對稱軸在區(qū)間的左邊時(shí)，怎么樣就能保證圖象在

x

軸上方？生：只需要

f(

，師：很好，因?yàn)楫?dāng)對稱軸在區(qū)間的左邊時(shí)，函數(shù)在

x

這一段的圖象是上升的，即隨x的大而增大，只需要最小值

f(

即可師：當(dāng)對稱軸在區(qū)間的里面時(shí)，怎么樣就能保證圖象在x軸方？生：師：還可以通過什么來控制？生：

f(a)

師：就是函數(shù)的最小值大于零即師：再來看，當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右邊時(shí)，怎么樣就能保證圖象在x軸上方？生：只需要

f(3)

，師：很好，因?yàn)楫?dāng)對稱軸在區(qū)間的右邊時(shí)，函數(shù)在

這一段的圖象是下降的，即隨x增大而減小，只需要最小值

f

即可下面同學(xué)們把具體的解答過程寫出來，找一個(gè)同學(xué)上黑板完成具體過程：生：記

f(x)xax

，這個(gè)函數(shù)的對稱軸為x，當(dāng)

時(shí)需

f(a

解得a

又

；當(dāng)

時(shí)，只需要a，得3a3，又

，所以；當(dāng)

時(shí)，只需要

f(3)

，解得,a矛.綜上：3.師：找個(gè)同學(xué)來點(diǎn)評一下.生：答案正確，但解題過程有點(diǎn)不對，沒有討論

a

和

a

的情況師：很好，這兩種情況，可以加在哪里比較.生：加在中師：很好對于含參問題我除了要選擇恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摌?biāo)準(zhǔn)之外，還應(yīng)該注意分類討論還應(yīng)做到不重不..師：好，這是一個(gè)不等式問題，我們?nèi)匀粚⑺D(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題來處.環(huán)四展師：同學(xué)們，今天蒞臨我們課堂的還有一位神秘嘉賓，大家想不想見一下？生：想師：掌聲有嘉賓：學(xué)弟，學(xué)妹們好，首先自我介紹一下，我是現(xiàn)在高三）的劉今欣同學(xué)，很高興走進(jìn)學(xué)弟學(xué)妹們的課堂，和大家一起交流、學(xué).嘉賓大都知道一元二次函數(shù)中考的壓軸題那么我們今天學(xué)習(xí)的二次函數(shù)、二次方程和二次不等式在以后的高中學(xué)習(xí)中有什么作用呢？課前，陳老師給我布置了一個(gè)任6

務(wù)，讓我歸納整理一.二次函數(shù)、二次方程和二次不等式在高中數(shù)學(xué)其它領(lǐng)域的應(yīng)其實(shí)三“次及相關(guān)問題的理方法廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的各大核心模塊：如數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù).下面重點(diǎn)以三個(gè)“二次”在解析幾何中的應(yīng)用為例，讓同學(xué)們對三個(gè)“二次”在以后學(xué)習(xí)中的地位和作用有所了【案例1直線

l:ykx

與雙曲線Cx

y

的右支交于不同的兩點(diǎn)AB，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解聯(lián)立方程

ykxy2

，消去y得到的元二次方程(

2

x

2

……①直線l與曲線C的支于不同兩點(diǎn)，等價(jià)于方程①有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù).即對應(yīng)二次函數(shù)圖象與

軸有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)在

軸右側(cè)我可以通過以下幾個(gè)條件控制二次函數(shù)的圖.

)

k0.解得k的值范圍是

．【案例】（年江蘇高考第題）試題和答案如下：已知函數(shù)

bab

．⑴設(shè)a，①求方②若于任意xR，不等式

；f

恒成立，求實(shí)數(shù)

的最大值；⑵略．解：⑴①f，

f

可2

，則

，

，；7

②由題得

2

12

m

12

恒成立，令t

，則由

可得≥2

1，2原問題等價(jià)于不等式t記f(t)

+4≥0

，對任意的t在[

上恒成立，當(dāng)對稱軸

2

，即

時(shí)，顯然成立；當(dāng)對稱軸

0

m2

，即

時(shí)，只需

f(2)，m

；當(dāng)對稱軸

2

，即4

時(shí)，只需，m4

矛盾；綜上，

0m

，所以實(shí)數(shù)m的大值為4．【案例3（2016全國Ⅱ卷文科高考第11題試和答案如下：函數(shù)

f(x)26cos(

π

的最大值為（A）

（B

（）6

（D3解因?yàn)閒(x))2

112

而

x

所當(dāng)x

時(shí)取大值，以上是最終可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)次程和二次不等式的題目實(shí)還有更多的考題是考其他類型的方程、不等式問題，也可以用函數(shù)的觀點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的思想來處理，如【案例4（2016山東卷文理高考第題，填空壓軸）試題和答案如下：已知函數(shù)

f(x)

mx

其中

．若存在實(shí)數(shù)b

，使得關(guān)于方程

f(x)

有三個(gè)不同的根，則m的取范圍_．解：畫出函數(shù)圖像如下圖所示：由圖所示，要根，需要紅色部分圖

像