數(shù)項級數(shù)概念性質(zhì)

數(shù)項級數(shù)概念性質(zhì)第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六無窮級數(shù)表達函數(shù)解微分方程數(shù)值計算第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一.數(shù)項級數(shù)的概念中學(xué):無窮等比級數(shù)就是無窮級數(shù)的一種定義將其各項依次累加所得的式子稱為數(shù)項無窮級數(shù)設(shè)有數(shù)列項通項第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六問題:如何理解無窮個數(shù)相加?變化趨勢1.部分和:2.部分和數(shù)列:3.收斂:稱級數(shù)收斂稱為級數(shù)余項極限不存在,稱級數(shù)發(fā)散例.判斷級數(shù)斂散性:(1).1+2+3+…+n+…級數(shù)發(fā)散第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六(2).級數(shù)收斂=1(3).q=1時q=-1時極限不存在,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六級數(shù)發(fā)散總之:級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散(4).級數(shù)發(fā)散第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六二.數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1若級數(shù)收斂于和S,k為常數(shù),則證推論:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)后,斂散性不變性質(zhì)2.兩個收斂級數(shù)可以逐項相加或逐項相減第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)3.改變有限項不影響級數(shù)的斂散性證不妨設(shè)去掉前k項,得級數(shù)常數(shù)原級數(shù)部分和時,同時斂散因此,不影響級數(shù)的斂散性.例:因為和都收斂級數(shù)收斂第7頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)4.收斂級數(shù)各項加括號后所得新級數(shù)仍收斂且和不變證:設(shè)收斂級數(shù)新級數(shù)注意:(1).加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散.(2).加括號后所得新級數(shù)收斂,原級數(shù)不一定收斂.例如:(1－1)+(1－1)+(1－1)+......收斂而1－1+1－1+1－1+......發(fā)散.第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)5.(級數(shù)收斂必要條件)若級數(shù)收斂,則證:注意:(1).若,則級數(shù)發(fā)散(2).時,級數(shù)不一定收斂判斷級數(shù)發(fā)散的第一步驟第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六但可以證明級數(shù)發(fā)散假若級數(shù)收斂,則但是,矛盾例如:調(diào)和級數(shù)第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期六(2)不存在級數(shù)發(fā)散例.判斷級數(shù)斂散性:(1)級