數(shù)字圖象處理第三章

數(shù)字圖象處理第三章第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六圖像變換圖象變換可以看成是一幅圖象經(jīng)過一個(gè)系統(tǒng)生成的結(jié)果：f(x,y)→h(x,y)→g(x,y)。如果系統(tǒng)h(x,y)滿足一定的條件：齊次性、可加性和時(shí)不變性，就成為了線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI）。一般而言，都將圖像處理系統(tǒng)看成為線性時(shí)不變(位置不變)系統(tǒng)。于是，可將圖像變換看成是圖象經(jīng)過一線性位置不變系統(tǒng)的結(jié)果。所有線性系統(tǒng)理論都可以拿來使用。

圖像變換是將圖像從空域變換到其它域，如頻域。圖像變換需滿足某些條件。第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六圖像處理——通過某種方法將數(shù)字圖像中的像素進(jìn)行改變，以達(dá)到預(yù)期效果。通常，圖像處理在以下三個(gè)域中進(jìn)行：空域處理：利用某種方法直接對數(shù)字圖像中的象素進(jìn)行修改。頻域處理：將空域圖像經(jīng)過傅立葉變換，使其成為“頻域圖象”，而后對其各個(gè)頻率成分進(jìn)行處理；處理完成后，將“頻域圖像”圖像經(jīng)過傅立葉反變換為空域圖像。其它域處理：空域圖象經(jīng)過某種變換，使其成為“對應(yīng)域圖像”，而后進(jìn)行相應(yīng)處理；處理完成后，將“對應(yīng)域圖像”圖像經(jīng)過對應(yīng)反變換為空域圖像。圖像處理的手段第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六圖象為什么要變換利用變換的某些性質(zhì)，可以大大簡化或加速圖象處理過程空域圖象經(jīng)過變換后形成“對應(yīng)域圖象”，從中會(huì)看到在空域圖象中不易看到的某些“東西”。變換后形成“對應(yīng)域圖象”，會(huì)呈現(xiàn)某些性態(tài)，利用這些性態(tài)可完成圖象處理中某個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域的應(yīng)用。應(yīng)選擇什么樣的變換才能滿足各種要求是下面要討論的主要問題之一。第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六變換選擇的原則1)變換必須是可逆的。2)變換不能損失信息。3)變換必須是有好處的。4)變換算法必須是不復(fù)雜的。

G(i,j)=If(x,y)→f(x,y)=I-1G(i,j)雖然滿足1、2、4條件，但不滿足第三條。第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六一維變換1、正交函數(shù)集合的正交性和完備性設(shè)：一維連續(xù)實(shí)值函數(shù)集合un(t)={u0(t),u1(t),u2(t)…}，若此集合中的函數(shù)滿足時(shí)，稱集合un(t)為正交函數(shù)集合。當(dāng)C=1時(shí)，稱集合un(t)為歸一化正交函數(shù)集合。從幾何的觀點(diǎn)來看正交性——相互垂直第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六若f(x)是定義在t0和t0+T區(qū)間的實(shí)值信號(hào)，可以用展開式表示為：對任何平方可積的分段連續(xù)信號(hào)f(x)，對任意小的ε＞0，存在充分大的N和有限項(xiàng)展開式使得一維變換第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六一維變換則稱函數(shù)un(x)集合是完備的。如果能夠找到一組正交且完備的函數(shù)集合，則任何平方可積的分段連續(xù)信號(hào)f(x)都可由這個(gè)函數(shù)集合的加權(quán)和表示。這N個(gè)函數(shù)構(gòu)成了N維正交基。任何一個(gè)滿足條件的函數(shù)都可以由一個(gè)函數(shù)簇的加權(quán)和來逼近第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六2、離散情況對上述一維連續(xù)實(shí)值正交函數(shù)集合un(t)進(jìn)行等間隔采樣，可以看作是下列向量的集合：若它們彼此正交，則向量的元素應(yīng)滿足下式：當(dāng)C=1時(shí)，稱歸一化正交，每一向量為單位向量，彼此垂直。這n個(gè)矢量構(gòu)成了n維空間的n維正交基。矢量的點(diǎn)積自點(diǎn)積＝常數(shù)互點(diǎn)積＝0第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六用滿足上式的n維正交基矢量組成矩陣

一定滿足：該矩陣稱為正交矩陣。第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六3、一維正交變換利用上述矩陣對任一數(shù)據(jù)向量f進(jìn)行運(yùn)算為：

g=Af例若要恢復(fù)f，則以上過程稱為正交變換。正變換：將任意一個(gè)矢量分解成為一個(gè)由該矢量投影在給定正交基上的分量組成的矢量。反變換：將任意一個(gè)由給定正交基上的分量組成的矢量合成為空間矢量。第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六4、酉變換若A為復(fù)數(shù)方陣，正交的條件為：其中A*為A的復(fù)數(shù)共軛矩陣，滿足這個(gè)條件的矩陣為酉矩陣。對于任意向量f用酉矩陣的變換和恢復(fù)稱為酉變換。將aij寫成a(k,n)，有：正交函數(shù)數(shù)字化后完備性的體現(xiàn)形式——任何一個(gè)矢量可以分解成正交投影的線性組合。第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六二維變換

與一維的思想一樣，設(shè)：二維連續(xù)實(shí)值函數(shù)集合Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),…a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),…a1,v(x,y)…

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…au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),…au,v(x,y)}若此集合中的函數(shù)(U×V個(gè))滿足時(shí)，稱集合Au,v(x,y)為正交函數(shù)集合。當(dāng)C=1時(shí)，稱集合Au,v(x,y)為歸一化正交函數(shù)集合。第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六對正交函數(shù)集合的理解如果對正交函數(shù)集合auv(x,y)在某個(gè)給定區(qū)域內(nèi)等間隔采樣，則每個(gè)aij(x,y)就是一個(gè)矩陣，其元素值既和x、y有關(guān)，又和i、j有關(guān)。則這u×v個(gè)矩陣構(gòu)成了u×v維空間的u×v維的正交基。124350n在對應(yīng)點(diǎn)上定義了un(t)對每一個(gè)un(t)在t方向上采樣v124350u1234在對應(yīng)交叉點(diǎn)上定義了au,v(x,y)對每一個(gè)au,v(x,y)在x,y方向上采樣u=0,1,…,m-1v=0,1,…,n-1第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六結(jié)論:如果能夠找到一組正交且完備的函數(shù)集合au,v(x,y)，則任何平方可積分段連續(xù)的二維函數(shù)f(x,y)——圖像，都可由這個(gè)函數(shù)集合的加權(quán)和表示。如果f(x,y)以離散形式(m×n矩陣)表示——數(shù)字圖像，該數(shù)字圖像f(x,y)可分解為在m×n維正交空間內(nèi)，在m×n維正交基au,v(x,y)上的投影。同一維情況類似，有：正變換：將任意一個(gè)數(shù)字圖像分解成為一個(gè)由該圖像投影在給定正交基上的分量組成的圖像。反變換：將任意一個(gè)由給定正交基上的分量組成的圖像合成為空域圖像。第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六1、二維變換將上式寫成則：有下式(設(shè)f(x,y)為一N×N維矩陣)正變換核(逆基圖像)反變換核(基圖像)空域圖像點(diǎn)如果矩陣為正交復(fù)數(shù)矩陣且是對稱的au,v(x,y)第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六二維變換的理解F(u,v)中的任何一個(gè)像素為原圖像所有像素的加權(quán)和。F(0,0)為f(x,y)在u×v維正交基a0,0(x,y)分量上的投影。F(u,v)f(x,y)a0,0(x,y)F(0,0)對應(yīng)點(diǎn)積之和F(u,v)f(x,y)a*u,v(x,y)－基圖像加權(quán)和＝∑第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六2、變換核的可分離性上述f(x,y)、F(u,v)的計(jì)算所需的乘法和加法的次數(shù)是與N×M有關(guān)的數(shù)。如果u×v維空間的正交基ai,j(x,y)可以寫成：——

一個(gè)二維完備正交基＝兩個(gè)一維完備正交基之積其中{au(x),u=0,1,…,N-1},{bv(y),v=0,1,…,N-1}為一維完備正交基向量的集合。用矩陣表示：A={a(u,x)}，B={b(v,y)}通常選擇A=B，如果A、B是復(fù)數(shù)矩陣則它們?yōu)橛详嚕篈A*T=ATA*=IBB*T=BTB*=IA-1=A*TB-1=B*T則稱該正交基——變換核是可分離的。第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六例如設(shè)：二維連續(xù)實(shí)值函數(shù)集合，U＝V＝N

Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),…a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),…a1,v(x,y)

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…au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),…au,v(x,y)}對集合內(nèi)的每個(gè)函數(shù)沿x，y方向進(jìn)行等間隔采樣，采樣點(diǎn)數(shù)為N×N，于是集合中的每一個(gè)函數(shù)都成為一個(gè)N×N的矩陣。第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六可分離變換核舉例(采樣網(wǎng)格為行、列數(shù)相等)于是對于一個(gè)圖像的變換可以寫成矩陣中的任何一項(xiàng)都可寫成可分離形式。例第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)A=B且為方陣為酉陣時(shí)，二維酉變換的正變換表示為用矩陣表示：F＝AfAT反變換表示為用矩陣表示：f＝A*TFA*類似的，對于M×N的二維函數(shù)f(x,y)對一幅圖像的變換可以先對其列進(jìn)行變換，然后在對行進(jìn)行變換；反之亦然。行變換列變換第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六問題Y=X/Z變換log(Y)=log(X)-log(Z)復(fù)雜的分析普通筆算除法簡化的分析查表和相減問題的解逆變換查反對數(shù)表1、傅立葉變換分析的基本概念變換分析：變換分析的基本目的之一是使問題的分析求解得到簡化。第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六傅立葉變換分析的直觀說明把一個(gè)信號(hào)的分解為許多不同頻率的信號(hào)之和。自然光光譜三棱鏡傅立葉變換uF(u)第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六傅立葉變換分析的圖形表示通常把分解后的各個(gè)頻率的振幅和頻率用一張圖表示出來(對周期信號(hào)而言)。傅立葉變換：把一個(gè)自變量定義于-∞到+∞的函數(shù)變換為頻率定義于-∞到+∞的函數(shù)。頻率幅值1-ff2f-2f第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅立葉變換定義為：從F(u)恢復(fù)f(x)稱為傅立葉反變換，定義為：實(shí)函數(shù)的傅立葉變換，其結(jié)果多為復(fù)數(shù)，表示為：F(u)=R(u)+jI(u)=|F(u)|exp[jΦ(u)]幅度譜：相位譜：2、一維連續(xù)傅立葉變換傅立葉提供的正交函數(shù)族第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六2、二維傅立葉變換二維傅立葉變換由一維傅立葉變換推廣而來：逆變換：幅度譜：相位譜：功率譜：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|exp[jΦ(u,v)]第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六3、二維離散傅立葉變換對于二維傅立葉變換，其離散形式為：逆變換為：幅譜(頻譜)、相位譜、功率譜：譜圖像第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六二維傅立葉變換實(shí)例圖由反變換公式可知基圖像為若圖像為4×4，則基圖像為第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六0123WWWWWWWWWWWWWWWW★B0W★B0W★B0W★B0W★★★★BBBB0000WWWWBBBBWWWWBBBBWWWW0000BBBB★★★★WWWW0★0★WBWB★0★0BWBWBWBWBWBWBWBWBWBWW★BWWW★BBWW★★BWW0W★W★W0W0W★W★W0WB0W★0W★BW★B0★B0WW0B★★W0BB★W00B★W0B★W0B★W0B★W0B★W★0★0WBWB0★0★BWBWWBWBBWBWWBWBBWBWW★W0★W0WW0W★0W★W★W0W0W★W★W0W0W★WWWWW★B0WBWBW0B★WWWWW★B0WBWBW0B★Wv→0123y→01230123012301230123012301230123二維傅里葉基圖像★=-jW=1B=-10=jux↓↓第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六4、二維離散傅立葉變換的性質(zhì)1)、線性性質(zhì)：2)、比例性質(zhì)：3)、可分離性：表示離散函數(shù)的傅里葉變換，即第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六卷積的定義對于兩個(gè)函數(shù)和，其卷積定義為式中*表示卷積運(yùn)算，在matlab中為C=conv2(A,B)。第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六原函數(shù)折疊位移相乘—得到被積函數(shù)卷積過程圖示（1）第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六卷積過程圖示（2）第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六展寬平滑化：被積函數(shù)經(jīng)過卷積運(yùn)算，其微細(xì)結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏變得平緩圓滑。卷積過程的兩個(gè)效應(yīng)第34頁，共42