數(shù)學(xué)物理方成的分類

數(shù)學(xué)物理方成的分類1第1頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.行波法；2.分離變量法；3.冪級(jí)數(shù)解法；4.格林函數(shù)法；

5.積分變換法；6.保角變換法；7.變分法；8.計(jì)算機(jī)仿真解法；9.數(shù)值計(jì)算法數(shù)學(xué)物理方程的求解2第2頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六分離變量理論考察如下兩變量的二階線性齊次偏微分方程：試確定方程如下形式的解：將該解代入方程可得：3第3頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于常系數(shù)偏微分方程，我們有：因?yàn)閄、Y分別是關(guān)于x、y的函數(shù)，所以λ一定是一個(gè)常數(shù)；這樣原方程就化為如下兩個(gè)常微分方程：4第4頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于變系數(shù)偏微分方程，一般不能分離變量。5第5頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有界弦的自由振動(dòng)研究?jī)啥斯潭ǖ木鶆蛳业淖杂烧駝?dòng)，即定解問(wèn)題：兩端固定的弦的自由振動(dòng)會(huì)形成駐波，此時(shí)行波法將不再適用（？）。考慮到駐波的波函數(shù)為：6第6頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六類比駐波波函數(shù)，可設(shè)定解問(wèn)題的具有一個(gè)可分離變量的特解為：將這一特解代入泛定方程可得：其中X和T分別為x和t的函數(shù)。易知λ為常數(shù)，故原泛定方程變?yōu)椋?第7頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六相應(yīng)地，邊界條件變?yōu)椋哼@樣就得到如下常微分方程：這個(gè)常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要討論。8第8頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六當(dāng)λ<0時(shí)，該方程有非零解，且其解為：易知當(dāng)λ=0時(shí)，微分方程的解為：但邊界條件要求類似地，當(dāng)λ＞0時(shí)，微分方程的解為：而邊界條件要求9第9頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六關(guān)于T

的方程變?yōu)椋浩浣鉃椋哼@樣就得到泛定方程滿足邊界條件的一個(gè)特解：這樣的特解有無(wú)窮多個(gè)，但是其中的每一個(gè)并不總能滿足初始條件的要求。10第10頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六因?yàn)榉憾ǚ匠毯瓦吔鐥l件都是線性的，可以把這些特解疊加起來(lái)，并讓其滿足初始條件：11第11頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這樣我們就得到如下定解問(wèn)題存在如下形式的解：12第12頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六本征值問(wèn)題在求解方程過(guò)程中，我們遇到如下問(wèn)題：通過(guò)討論我們知道，僅當(dāng)λ＞0，且為某些特定值時(shí)該方程有非平庸解。這些值稱為方程在相應(yīng)邊界條件下的本征值；方程相應(yīng)于不同λ值的非零解稱為本征函數(shù)。求解本征值和本征函數(shù)的問(wèn)題稱為本征值問(wèn)題。13第13頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解的物理意義駐波波函數(shù)這樣，該定解問(wèn)題的解可以看作一系列（頻率、振幅、位相各異的）駐波波函數(shù)的疊加。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波的振幅、相位由初始條件決定；頻率則和初始條件無(wú)關(guān)，稱為弦的本征頻率。14第14頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六分離變量法處理問(wèn)題的程序1、對(duì)方程和邊界條件分離變量，如果邊界條件是非齊次的，還要對(duì)邊界條件進(jìn)行處理。2、求解常微分方程的本征值問(wèn)題3、構(gòu)造變量分離形式的特解4、疊加特解，利用初始條件確定疊加系數(shù)15第15頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六分離變量法可以推廣應(yīng)用到各種定解問(wèn)題，但它的應(yīng)用也有一定的限制：1、常系數(shù)偏微分方程總能進(jìn)行變量分離，而變系數(shù)偏微分方程則不一定。2、二階線性偏微分方程并不總是存在變量分離的解。16第16頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六量子力學(xué)中的本征值問(wèn)題

經(jīng)典力學(xué)中的物理量在量子力學(xué)中都對(duì)應(yīng)于一個(gè)Hermitianoperator。任意一個(gè)Hermitianoperator的本征函數(shù)都可以構(gòu)成Hilbert空間的一個(gè)完備函數(shù)基。而其他任意Hermitianoperator的本征函數(shù)都可以用這個(gè)完備基展開，而且展開式是唯一的。每個(gè)Hermitianoperator的本征值對(duì)應(yīng)于該物理量可能的觀測(cè)值；每次測(cè)量該物理量總會(huì)以一定概率得到某個(gè)本征值，這個(gè)概率由測(cè)量時(shí)體系的波函數(shù)決定。17第17頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期六分離變量法實(shí)際上是通過(guò)某種辦法得到了問(wèn)題的某一種完備基函數(shù)，然后將問(wèn)題的解用該完備基展開，再利用定解條件確定展開系數(shù)