數(shù)量方法隨機(jī)變量

數(shù)量方法隨機(jī)變量第1頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第七單元隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量概述離散型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量第2頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六教學(xué)重點(diǎn)1．隨機(jī)變量的概念2．離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征3．二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布第3頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六教學(xué)難點(diǎn)1．分布函數(shù)概念的理解2．密度函數(shù)概念的理解3．一般正態(tài)分布的概率計(jì)算第4頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1在10件同類(lèi)產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)

任取2件，用X表示“2件中的次品數(shù)”，

X的取值有哪些？對(duì)應(yīng)的概率是多少?例2“測(cè)試電子元件壽命”試驗(yàn)，用Y表示

元件壽命(小時(shí))，Y的取值如何?一、隨機(jī)變量的概念第5頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一個(gè)變量若滿(mǎn)足：（1）取值的隨機(jī)性。即取到哪一個(gè)值事前

不知道，要由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定；

（2）取值的對(duì)應(yīng)性。即取到的每一個(gè)值都

對(duì)應(yīng)于某一隨機(jī)現(xiàn)象；

（3）概率的確定性。即它取某一個(gè)值或在

某一區(qū)間內(nèi)取值的概率是確定的。稱(chēng)這樣的變量為隨機(jī)變量，通常用大寫(xiě)

字母X、Y、Z…表示。第6頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1中，“兩件產(chǎn)品中沒(méi)有次品”事件

可用{X=0}表示

“兩件產(chǎn)品中至少一件次品”事件 可用{X≥1}表示例2中，“元件壽命至少1000小時(shí)”事件

可用{Y≥1000}表示

“元件壽命不足500小時(shí)”事件

可用{Y＜500}表示為什么要引入隨機(jī)變量？可使隨機(jī)事件數(shù)量化，便于數(shù)學(xué)處理，

從而更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象。第7頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上述兩例，隨機(jī)現(xiàn)象較容易用數(shù)量來(lái)描述，

但在實(shí)際中常遇到一些似乎與數(shù)量無(wú)關(guān)的

隨機(jī)現(xiàn)象，如何用隨機(jī)變量來(lái)描述它們？例3拋一枚均勻硬幣，試驗(yàn)的可能結(jié)果兩個(gè)，

即“正面向上”與“正面向下”。通常定義隨機(jī)變量

1正面向上P(X=1)=0.5

X=且

0正面向下P(X=0)=0.5第8頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4一批產(chǎn)品的合格率為P，隨機(jī)抽一個(gè)檢驗(yàn)，

可能結(jié)果為“抽到合格品”與“抽到廢品”。

通常定義隨機(jī)變量

1抽到合格品P(Y=1)=P

Y=且

0抽到廢品P(Y=0)=1-P例5一批產(chǎn)品的一、二、三級(jí)品率為50%、35%、

15%，隨機(jī)抽取一個(gè)，可能結(jié)果“抽到一級(jí)品”

“抽到二級(jí)品”、“抽到三級(jí)品”。

可定義

1抽到一級(jí)品P(Z=1)=50%

Z=2抽到二級(jí)品且P(Z=2)=35%

3抽到三級(jí)品P(Z=3)=15%第9頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、隨機(jī)變量的種類(lèi)按隨機(jī)變量的取值不同，可分為離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量只取有限個(gè)或 可列個(gè)可能值。連續(xù)型隨機(jī)變量：在某一個(gè)或若干個(gè)有限或

無(wú)限區(qū)間取值的隨機(jī)變量。第10頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為

x1，x2，…xn，其相應(yīng)的概率分別為

p1，p2，…pn

記作P(X=xi)=pi，（i=1，2，…n）稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，

簡(jiǎn)稱(chēng)分布。也可表示為：p1p2…Pix1x2…X一、離散型隨機(jī)變量的分布第11頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六概率分布的性質(zhì)

1）0≤pi≤1i=1，2，…

2）∑pi

=1例寫(xiě)出上一節(jié)例1、3、4、5的概率分布第12頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型變量X的取值為x1,x2…xi…

相應(yīng)的概率為p1,p2…pi…,xi與pi的乘積

之和為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值。

記作E(x)或μ

E(x)=∑xipi例（教材P149例3、4）第13頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的度量，

對(duì)其離散程度的度量用方差。

離散型變量X離差的平方的數(shù)學(xué)期望

稱(chēng)為X的方差。記作D(X)或

方差的算術(shù)平方根為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，

用σ

表示。

例（教材P151例6、7）三、離散型隨機(jī)變量的方差第14頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量一個(gè)試驗(yàn)如果結(jié)果只有兩個(gè)，都可以

用兩點(diǎn)分布來(lái)描述。（一）兩點(diǎn)分布

1、定義

隨機(jī)變量X只可能取0，1兩個(gè)值，

概率分布為：

P(X=1)=p，P(X=0)=1－p(0<p<1)

或（k=0,10<p<1）稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布。記為X～B(1，p)第15頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差

E(X)=pD(X)=(1－p)p例（教材P152例8）第16頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六某射手射擊一次，觀察他中靶與脫靶；

拋硬幣一次，觀察其正面朝上、朝下；

從一批產(chǎn)品中取一件，觀察其正品、廢品;

以上試驗(yàn)都可用兩點(diǎn)分布來(lái)描述。某射手射擊多次；

連續(xù)拋硬幣多次；

從一批產(chǎn)品中取n件產(chǎn)品；

這些試驗(yàn)還能用兩點(diǎn)分布描述嗎？隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果A或，

且P(A)=p，P()=1－p=q

這種試驗(yàn)稱(chēng)為Bernoulli試驗(yàn)；

試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次，稱(chēng)n重Bernoulli試驗(yàn)。第17頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（二）二項(xiàng)分布令X為n重Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的

次數(shù)，X的所有可能取值為0、1、2…n

X取值k的概率為 (K=0、1、2…n)

其中P(A)=p，P()=1－p=q

0<p<1

稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布 記作X～B(n,p)當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布就是二點(diǎn)分布B(1,p)第18頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差

E(X)=np

D(X)

=

np(1－p)例

（教材P153例9）第19頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（三）泊松分布

1、定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

（k=0,1,2,…） 稱(chēng)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布。

記作X～P(λ)。泊松分布用來(lái)描述指定時(shí)間內(nèi)某一事件

發(fā)生次數(shù)的分布。如：某市早晚高峰期內(nèi)通過(guò)某路口的車(chē)輛數(shù)分布；

某市除夕日被爆竹炸傷人數(shù)的分布；

某景點(diǎn)十一黃金周接到游客投訴電話次數(shù)分布。第20頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差E(X)

=λ

D(X)=

λ例

（教材P153例10）

第21頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、概率密度函數(shù)

X為連續(xù)型隨機(jī)變量，x為任一實(shí)數(shù)，

若函數(shù)(x)表示變量X的分布情況，

即X取值的規(guī)律，稱(chēng)(x)為概率密度

函數(shù)，或稱(chēng)概率分布。性質(zhì)

?對(duì)任意實(shí)數(shù)x，(x)≥0

?對(duì)于任意x1<x2，X在其區(qū)間（x1，x2）

的概率P(x1<X<x2)是函數(shù)(x)的曲線

下從x1到x2的面積；

?

(x)曲線與x軸構(gòu)成的面積為1，即

P(－∞<X<＋∞)=1。第22頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量（一）均勻分布（一致分布）

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

0其他則稱(chēng)X服從[a，b]上的均勻分布記作X～U[a，b]

第23頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果X在[a，b]上服從均勻分布，則對(duì)

任意滿(mǎn)足的a，b有X取值于[a，b]中任一小區(qū)間的概率與

該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間

的具體位置無(wú)關(guān)。例（教材P158例3）第24頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差

在區(qū)間[a，b]上均勻分布變量X的數(shù)學(xué)

期望和方差為：第25頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（二）正態(tài)分布1、正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

μ、是參數(shù)（－∞<μ<+∞，σ

>0）則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布,

記作X～N(μ，)

式中的μ是正態(tài)隨機(jī)變量X的均值,即E(X)=μ

式中的是正態(tài)隨機(jī)變量X的方差,即D(X)=第26頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六關(guān)于密度函數(shù)的圖形1)圖形是關(guān)于x=μ

對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線，

且峰值在x=μ處取得。2)方差越小，曲線峰值越大，曲線

越狹長(zhǎng)；方差越大，曲線越平坦。3)當(dāng)x→±∞時(shí)，→0，即以x軸

為漸近線。第27頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

若正態(tài)分布N(μ

，)中的參數(shù)

μ=0，σ=1時(shí)，其分布N(0，1)

稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。