數(shù)學(xué)物理方程定解問題

數(shù)學(xué)物理方程定解問題第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六期末考試題之一：求解爆炸問題第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六期末考試題之二：

逆向求解散熱問題第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六期末考試題之三：

求解回形振動(dòng)吸熱板的吸熱過程第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)物理方程朱瑞rzhu@18號(hào)樓205教材：《數(shù)學(xué)物理方法》梁昆淼高等教育出版社（第三版）。內(nèi)容：教材第七章至第十二章。答疑時(shí)間：隨時(shí)在我辦公室答疑，最好提前預(yù)約。總成績：期末考試：70%；平時(shí)成績：30%.關(guān)于課堂作業(yè)第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六參考書哈伯曼(HabermanR).《實(shí)用偏微分方程》.英文版第4版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2005.BoasML.《Mathematicalmethodsinthephysicalsciences》.2nded.NewYork:JohnWileyandSons,Inc.,1983.這兩本書都是英文的。我們圖書館都有。第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六中外教材比較我們美國麻省理工第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六大家想一想質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)偶極子產(chǎn)生的電場在空間的分布擴(kuò)散和熱傳導(dǎo)觀看動(dòng)畫第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六7.1節(jié)數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)物理方程在以前的學(xué)習(xí)中，我們研究某個(gè)物理量（位移、電流）怎樣隨時(shí)間而變化。研究以時(shí)間為自變數(shù)的常微分方程（質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、電路微分方程）研究某個(gè)物理量（電場強(qiáng)度、電勢(shì)、磁感應(yīng)強(qiáng)度、聲壓、雜質(zhì)濃度）在空間的某個(gè)區(qū)域中的分布情況，以及它怎樣隨時(shí)間而變化。這些問題中的自變數(shù)同時(shí)包括時(shí)間和空間坐標(biāo)。第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)物理定解問題物理規(guī)律------偏微分方程（泛定方程）解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和在時(shí)間中的變化規(guī)律。環(huán)境影響------邊界條件（定解條件）研究對(duì)象不能和環(huán)境割裂，“超距作用”不存在，環(huán)境影響通過邊界傳給研究對(duì)象。歷史影響------初始條件（定解條件）研究問題不能割斷歷史，歷史：即研究對(duì)象在某個(gè)所謂“初始”時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。適當(dāng)舉例加以解釋第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六課堂作業(yè)筆記P66頁(5分鐘)求解兩端固定質(zhì)量不均勻細(xì)弦的微小橫振動(dòng)，弦上不同位置的密度分布為rou(x)板書畫圖第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出

——均勻弦的微小橫振動(dòng)第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻弦的微小橫振動(dòng)

——基本物理問題描述繃緊的弦相鄰小段之間有拉力，這種拉力叫做弦中張力。張力沿著弦的切線方向。弦樂器的弦很輕，重力相對(duì)于弦內(nèi)張力很小，受力分析時(shí)可以忽略重力。第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻弦的微小橫振動(dòng)

——基本物理問題描述沿著弦的方向稱為縱向。垂直于弦的方向稱為橫向。討論微小橫振動(dòng)問題，即假設(shè)弦沿縱向沒有運(yùn)動(dòng)和位移；沿橫向有微小的運(yùn)動(dòng)和位移。第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻弦的微小橫振動(dòng)超越質(zhì)點(diǎn)問題和剛體問題，討論連續(xù)彈性體的運(yùn)動(dòng)方程板書推導(dǎo)并講解第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻弦的微小橫振動(dòng)對(duì)位置在x到x+dx之間的一小段弦進(jìn)行受力分析，列出牛頓力學(xué)方程第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻弦的微小橫振動(dòng)對(duì)位置在x到x+dx之間的一小段弦進(jìn)行受力分析，列出牛頓力學(xué)方程弦在x點(diǎn)的斜率均勻弦的微小橫振動(dòng)第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六課堂作業(yè)（5分鐘）推導(dǎo)勻質(zhì)糖葫蘆形狀桿的縱振動(dòng)方程。板書畫圖第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻桿的縱振動(dòng)彈簧的運(yùn)動(dòng)我們?cè)鯓友芯浚繌椥詶U就是很硬的彈簧，即倔強(qiáng)系數(shù)很大的彈簧。第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻桿的縱振動(dòng)第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻桿的縱振動(dòng)板書推導(dǎo)第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六均勻桿的縱振動(dòng)第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六課堂作業(yè)（5分鐘）在柱坐標(biāo)系下求解熱傳導(dǎo)方程。體元如何建立，熱量流入體元通過的橫截面怎樣計(jì)算，板書畫圖第24頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六熱傳導(dǎo)問題第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)定律：熱量從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞，熱流強(qiáng)度q與高低溫度差的差值成正比，溫度變化越劇烈，熱流越大。熱傳導(dǎo)定律第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六熱傳導(dǎo)問題能量守恒定律：單位時(shí)間內(nèi)流入單位體積內(nèi)的熱量等于該體積內(nèi)熱能的增量。能量守恒定律第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六熱傳導(dǎo)問題板書推導(dǎo)第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六三維熱傳導(dǎo)問題板書推導(dǎo)第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六振動(dòng)方程輸運(yùn)方程第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六7.2節(jié)定解條件第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定解條件得到這樣兩類方程，物理問題的解定下來了嗎？第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)物理定解問題物理規(guī)律------偏微分方程（泛定方程）解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和在時(shí)間中的變化規(guī)律。環(huán)境影響------邊界條件（定解條件）研究對(duì)象不能和環(huán)境割裂，“超距作用”不存在，環(huán)境影響通過邊界傳給研究對(duì)象。歷史影響------初始條件（定解條件）研究問題不能割斷歷史，歷史：即研究對(duì)象在某個(gè)所謂“初始”時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。適當(dāng)舉例加以解釋第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定解條件從數(shù)學(xué)角度，微分方程的解存在待定常數(shù)，待定常數(shù)由初始條件和邊界條件確定。例如：第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六人口密度分布溫度分布定解條件對(duì)于輸運(yùn)過程（擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)），初始狀態(tài)指的是所研究的物理量u的初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）。因此，初始條件是：已知函數(shù)第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定解條件對(duì)于振動(dòng)過程（弦、桿、膜的振動(dòng)，較高頻率交變電流沿傳輸線傳播，聲振動(dòng)和聲波，電磁波），只給出初始“位移”：已知函數(shù)是不夠的，還需要給出初始“速度”：已知函數(shù)第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定解條件對(duì)于振動(dòng)過程（弦、桿、膜的振動(dòng)，較高頻率交變電流沿傳輸線傳播，聲振動(dòng)和聲波，電磁波），只給出初始“位移”是不夠的，還需要給出初始“速度”：觀看動(dòng)畫第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六定解條件從數(shù)學(xué)的角度看，就時(shí)間t這個(gè)自變數(shù)而言，輸運(yùn)過程的泛定方程只出現(xiàn)一階的導(dǎo)數(shù)ut，是一階微分方程，所以只需一個(gè)初始條件；振動(dòng)過程的泛定方程則出現(xiàn)二階的導(dǎo)數(shù)utt，是二階微分方程，所以需要兩個(gè)初始條件。振動(dòng)方程輸運(yùn)方程第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六課堂作業(yè)（5分鐘）兩端固定弦的橫振動(dòng)問題，將弦拉成半圓弧，保持靜止，釋放，讓弦自由振動(dòng)，求這個(gè)定解問題的初始條件。板書畫圖第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六初始條件應(yīng)當(dāng)給出整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)：板書推導(dǎo)第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六初始條件應(yīng)當(dāng)給出整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)：第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六穩(wěn)定場問題策動(dòng)力驅(qū)動(dòng)振動(dòng)問題可以看作沒有初始條件的問題第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六邊界條件研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對(duì)象所處的特定“環(huán)境”，而周圍環(huán)境的影響體現(xiàn)為邊界上的物理狀況，即邊界條件。從數(shù)學(xué)角度看，泛定方程出現(xiàn)關(guān)于空間位置的二階導(dǎo)數(shù)uxx

，所以需要兩個(gè)邊界條件。第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六什么是邊界？由連接研究對(duì)象和環(huán)境的所有點(diǎn)組成的物理區(qū)域?qū)τ谝痪S系統(tǒng)，它是兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)于二維系統(tǒng)，它是閉合曲線對(duì)于三維系統(tǒng)，它是封閉曲面要確定一個(gè)由數(shù)理方程描述的物理問題的解，必須給定所有邊界上的信息：確切說明邊界上的物理狀況第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六邊界條件常見的線性邊界條件，數(shù)學(xué)上分為三類：第一類邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值。第二類邊界條件，規(guī)定了所研究物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值。第三類邊界條件，規(guī)定了所研究物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值。第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六邊界條件第一類第二類第三類第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六課堂作業(yè)（5分鐘）弦的縱振動(dòng)問題，一端固定，另一端與一豎直彈簧相連，彈簧的另一端固定，求這個(gè)定解問題的邊界條件。板書畫圖。筆記P66頁。第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第一類邊界條件）弦的兩端固定而振動(dòng)，邊界條件為第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第一類邊界條件）熱傳導(dǎo)問題，桿的兩端恒溫，邊界條件為第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第二類邊界條件）第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第二類邊界條件）板書推導(dǎo)筆記P1~P2頁第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第二類邊界條件）縱振動(dòng)桿一端受沿外法向方向外力，根據(jù)胡克定律，邊界條件為第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第二類邊界條件）一端有已知熱流流入的熱傳導(dǎo)問題，根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，邊界條件為板書推導(dǎo)第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第三類邊界條件）第55頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第三類邊界條件）板書推導(dǎo)筆記P2頁第56頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六具體的例子（第三類邊界條件）桿的一端通過彈簧與固定點(diǎn)連接，經(jīng)過受力分析，邊界條件為第57頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六一個(gè)完整的定解問題的邊界條件可以是三類邊界條件的組合，例如：第58頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六一端固定另一端受力的桿的縱振動(dòng)問題的完整邊界條件為（第一類和第二類邊界條件的組合）第59頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六一端恒溫，另一端有已知熱流的熱傳導(dǎo)問題的完整邊界條件為（第一類和第二類邊界條件的組合）第60頁，