數(shù)學(xué)精神與方法第三講

數(shù)學(xué)精神與方法第三講第1頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六ZFC-系統(tǒng)的非邏輯公理（ZF1）兩個(gè)集合相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的元素。（外延公理）（ZF2）沒(méi)有元素的集合存在。（空集公理）（ZF3）給出任何集合x(chóng)和y，總存在著集合z，它的元素是x和y。（配對(duì)公理）（ZF4）給出任何集合x(chóng)，總存在著集合y，它以x的元素的元素為元素。（并集公理）（ZF5）給出任何集合x(chóng)，總存在著集合y，它以x的一切子集為元素。（冪集公理）（ZF6）若對(duì)于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么對(duì)于任意的集合z，存在集合u，使得u={v|存在w∈z

，使得A(w,v)成立}。

（替換公理模式）第2頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六ZFC-系統(tǒng)的非邏輯公理（續(xù)）（ZF7）存在一個(gè)集合x(chóng)，它含有無(wú)窮多個(gè)元素。（無(wú)窮公理）（ZF8）每個(gè)非空集合x(chóng)含有一個(gè)元素y，y作為集合與x無(wú)公共元素。（基礎(chǔ)公理）（AC）對(duì)任何由兩兩不交的非空集合組成的集合x(chóng)，總存在一個(gè)集合y，它與x的每個(gè)成員恰有一個(gè)公共元素。（選擇公理）第3頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六關(guān)于ZF-系統(tǒng)的非邏輯公理的評(píng)注公理（ZF1）－（ZF8）和（AC）的建立歸功于策墨羅和弗倫克爾，但所謂ZF-系統(tǒng)卻是指非邏輯公理只?。╖F1）－（ZF8）的形式集合論系統(tǒng)。公理（ZF2）斷言了空集的存在?？梢宰C明空集是唯一的，記之為?。公理（ZF3）斷言：對(duì)任何集合x(chóng)和y，存在一個(gè)集合{x,y}。注意{x,y}是由x和y所唯一確定的，但x和y間沒(méi)有次序問(wèn)題，這就是說(shuō)，{x,y}={y,x}。有了此等無(wú)序?qū)Φ母拍?，我們可以定義單元集和序偶的概念如下：{x}={x,x}，（

x,y）={x,{x,y}}。需指出：表述（ZF6）需要利用序偶的概念。第4頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在（ZF6）中，命A(x,y)代表A(x)∧(x=y)，則可推出策墨羅的有限抽象原則：對(duì)任一給定的謂詞公式A(x)和任何集合z，存在集合u使得u={v∈z|A(v)}。（ZF2）和（ZF7）是分別斷言集合存在和無(wú)限集合存在的公理；實(shí)質(zhì)上，它們斷言的正是空集?和自然數(shù)集N存在。這兩條公理實(shí)難作為邏輯公理看待，它們是干脆的數(shù)學(xué)公理。因此，將集合論完全劃歸邏輯范疇不可能得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。一般認(rèn)為：邏輯主義自定的目標(biāo)——數(shù)學(xué)化為邏輯，成為邏輯的一部分——不可能實(shí)現(xiàn)。第5頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果在ZF系統(tǒng)中不引入無(wú)窮公理（ZF7），那么我們得到的是一個(gè)有限數(shù)學(xué)的框架，也就是說(shuō)，我們處理的數(shù)學(xué)對(duì)象只能限于有限集合。在這樣的框架里，我們無(wú)法斷定“全體自然數(shù)”是否構(gòu)成一個(gè)集合?！白匀粩?shù)的全體”是否為一個(gè)集合？這問(wèn)題其實(shí)是“自然數(shù)的全體”作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象我們?cè)撛鯓涌创膯?wèn)題。在這個(gè)問(wèn)題上，數(shù)學(xué)界的看法是統(tǒng)一的：“自然數(shù)的全體”構(gòu)成一個(gè)集合。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的任何令人可接受的模式都必須俯就的基本要求——本質(zhì)上講，這意味著數(shù)學(xué)學(xué)科不能不認(rèn)可“數(shù)學(xué)歸納原理”。“數(shù)學(xué)歸納原理”是一條數(shù)學(xué)原理，它不能歸約為邏輯。無(wú)窮公理的價(jià)值正是在集合論的公理系統(tǒng)中給出“數(shù)學(xué)歸納原理”的位置。第6頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六注意，公理（ZF8）所斷言的是：任一非空集合x(chóng)必有∈-極小元，即，存在y∈x，對(duì)任意的u∈y，u不∈x。利用（ZF8）我們立即可證如下命題：“對(duì)任意的集合x(chóng)，x不∈x?！笔聦?shí)上，對(duì)任意的集合x(chóng)，集合{x}非空；于是，{x}有∈-極小元，此∈-極小元只能是x，故x不∈x。讓我們引入“集宇宙”這個(gè)術(shù)語(yǔ)：集宇宙由全體集合構(gòu)成，記作Ω。這樣一來(lái)，上述命題可富有啟發(fā)性地表述為Ω={x|x不∈x}。

進(jìn)一步，立即可證下述命題成立：“集宇宙Ω不是集合?！惫恚╖F1）－（ZF8）在描述集合的基本真理性方面已經(jīng)經(jīng)受住了時(shí)間的考驗(yàn)。第7頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六ZF-系統(tǒng)引出的基本數(shù)學(xué)概念第8頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第9頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第10頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第11頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六用集合論將函數(shù)概念一般化，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史上的一個(gè)里程碑。第12頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六笛卡爾(RenéDescartes1596~1650)，法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。

我思故我在狄利克萊（Dirichlet）（1805-1859）德國(guó)數(shù)學(xué)家。

他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。他在分析學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面也有很多重大貢獻(xiàn).。歐拉（LeonhardEuler1707-1783）瑞士人，是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

第13頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六關(guān)于選擇公理第14頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第15頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第16頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

選擇公理的各種等值形式人們研究的很多，不同的形式適應(yīng)于不同的應(yīng)用，這足以表明它是一條基本的數(shù)學(xué)原則。由哥德?tīng)柖ɡ砦覀冎?，選擇公理與ZF-系統(tǒng)是相容的；那么，一個(gè)自然的問(wèn)題是：它是不是ZF-系統(tǒng)的一條定理呢？這個(gè)問(wèn)題歷經(jīng)半個(gè)多世紀(jì)的研究，終于在1963年由美國(guó)的一位年青的數(shù)學(xué)家科恩所解決?？贫髯C明：（AC）不能作為ZF-系統(tǒng)的定理而推演出來(lái)。將科恩和哥德?tīng)柕慕Y(jié)果合在一起的結(jié)論是（AC）和它的否定都不是ZF-系統(tǒng)的定理，它們之中任意一個(gè)都可以相容地補(bǔ)加到ZF-系統(tǒng)中作為新公理使用。從這樣的結(jié)論看，（AC）的可接受或不可接受必然是一個(gè)直覺(jué)問(wèn)題，它乃是也只能是數(shù)學(xué)家們的基本信條之一。選擇公理被證明是一條數(shù)學(xué)原理，不能歸約為邏輯。第17頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六哥德?tīng)枺↘urtG?del,1906-1978）。奧地利─美國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家。美國(guó)《時(shí)代》雜志評(píng)選出對(duì)２０世紀(jì)人類(lèi)思想產(chǎn)生重大影響的１００人中，哥德?tīng)柫袨榈冢??？露鳎≒aulJ．Cohen，1934-），美國(guó)數(shù)學(xué)家。他因在集合論基礎(chǔ)方面的卓越工作于1966年獲菲爾茲獎(jiǎng)。第18頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思考題ZFC系統(tǒng)的非