多邊形的內(nèi)角和與外角和知識(shí)點(diǎn)-例題-習(xí)題

360°第十講360°

多形內(nèi)和外和【點(diǎn)理知點(diǎn)、邊的念．義在平面內(nèi)不在同一直線上一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．．關(guān)念邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角多形相鄰兩邊組成的角多邊形的內(nèi)角個(gè)n形有個(gè)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．多邊的類:畫(huà)出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形

凹多邊形要詮：(1)正邊形必須同時(shí)滿“邊相等，各相兩條件，二者缺一可；(2)過(guò)形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引條角n邊對(duì)角線的條數(shù)為(3)過(guò)形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊分成個(gè)三角形．知點(diǎn)、邊內(nèi)和邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要詮：

n2

；(1)內(nèi)和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)(2)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于(nn知點(diǎn)、邊的角多邊形的外角和為．要詮：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊的外角和n邊的外角和恒等于360°，它與邊的多少無(wú)關(guān)；(2)正邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以的每個(gè)外角都相等，都等于；n(3)多形的外角和為360°的作用是：①已知各等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．1

四

的外

12n12n【型題12n12n類一多形概例1如圖，在六邊形ABCDEF中從頂點(diǎn)A出，可以畫(huà)幾條對(duì)角線？它們將六邊形ABCDEF分哪幾個(gè)三角形?【答案與解析】解：如圖，從點(diǎn)A出，可以畫(huà)三條對(duì)角線，它們將六邊形A分的三角形分別是eq\o\ac(△,)、ACDeq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)AEF.【總結(jié)升華】從一個(gè)多邊形一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條條，分成的三角形數(shù)是個(gè)數(shù)（）個(gè)．舉反：【變式】過(guò)正十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有

條對(duì)角線，一個(gè)正十二邊形共有

條對(duì)角線【答案】9，54類二多形角定例證明：n形的內(nèi)角和(n-2)·180°(n．【思路點(diǎn)撥】先寫出已知、求證再畫(huà)圖，然后證明．【答案與解析】已知：形AA…，求證：∠A∠A…∠n-2），證法一：如(1)所示，在n邊內(nèi)任取一點(diǎn)，O與頂點(diǎn)的線段把邊形分成了個(gè)三角形個(gè)三角形內(nèi)角和為，減去以O(shè)為公共頂點(diǎn)的n個(gè)的和2×180°(即個(gè)周角)得n邊內(nèi)角和為n·180°-2×180°-(n-2)·180°．2

四

的外

ooo證法二：如圖2)所示，過(guò)頂點(diǎn)A作角線，把n邊分成了n-2)個(gè)三角形，這n-2)三角形的內(nèi)角和恰是多邊形的內(nèi)角和，(n-2)·180°．ooo方法三：如圖3)所示，在多邊形邊上任取一點(diǎn)，這點(diǎn)與各頂點(diǎn)的線段把形分成了(n-1)三角形，邊形內(nèi)角和為這個(gè)角形內(nèi)角和減去在點(diǎn)處一個(gè)平，(＝．【總結(jié)升華】證明多邊形內(nèi)角和理，關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行證明．舉反：【變式】練習(xí)：求下列圖中的的【案

90

360

x65

o

o

o

18060例3如圖，一個(gè)多邊形紙片按圖示的剪剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為520°新多邊形，求原多邊形的邊數(shù)．【思路點(diǎn)撥據(jù)邊形的內(nèi)角定理即可列方程求的新多邊形的邊數(shù)1即得到原多邊形的邊數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)新多邊形是邊形，則180n﹣）解得：n=16則原多邊形的邊數(shù)是﹣1=15．答：原多邊形的邊數(shù)是15．【總結(jié)升華題查根據(jù)多邊的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．舉反：【變式】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540o，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是

【答案】5類三多形外和例如圖所示，小華從A點(diǎn)發(fā)，沿直線前進(jìn)10米左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)，又向左轉(zhuǎn)24°，，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（）3

四

的外

A米

B米

C．160米

D．240米【思路點(diǎn)撥】多邊形的外角和為每一個(gè)外角都為24°依此可求邊數(shù)，再求多邊形的周長(zhǎng)【答案】【解析】解：∵多邊形的外角和為，而每一個(gè)外角為，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷24°=15，∴小明一共走了15×10=150()．故選．【總結(jié)升華】本題考查了多邊形外角和．關(guān)鍵是根據(jù)多邊形的外角和及每一個(gè)外角都為24°求邊數(shù)．舉反：【變式】如圖，一輛小車從P市發(fā)先到B市再到C市再到A，最后返回P市這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？A【案：圖，A

B

當(dāng)小汽車從出行駛到B市由B市C市駛時(shí)轉(zhuǎn)的角是，市A市駛時(shí)轉(zhuǎn)的角是，A市市行駛時(shí)轉(zhuǎn)的角是因此，小汽車從P市發(fā)，經(jīng)市市A市又回到市共轉(zhuǎn)

360

【變式】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和共2160o，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是【案【變式】一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)（）

A.4

C.6【案C.解：∵多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于120°，∴多邊形的每一個(gè)外角都等于180°﹣，∴邊數(shù)．故選：．4

四

的外

【固習(xí)一選題．從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有對(duì)角()A(n-2)

B(n-3)

．條

D．(n-4)條．若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°，則這個(gè)多形的邊數(shù)是（）A.7C.9D.10．下列圖形中，是正多邊形的()A三條邊都相等的三角形C．邊都相等的四邊形．六邊形的內(nèi)角和是（）

B．個(gè)角都是直角的四邊形D．條都相等的六邊形A．720°C．D．360°．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為，個(gè)邊形的邊數(shù)為)AB．C14D．15．當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1，它的內(nèi)角和與外角和

()A都不變

B．角和增加180°外角和不變C．角和增加，角和減少180°D．增加180°如圖所示個(gè)角三角形紙片去直角后到個(gè)四邊形則∠1+的度數(shù)為()A．240°C．D．300°二填題1．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)等于與其鄰角的度數(shù)的，則這個(gè)多邊形是3

邊形．如圖，AC是正五邊形ABCDE一條對(duì)角線，則ACB=

．．圖，小明從A點(diǎn)發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)12米又左轉(zhuǎn)36°走去，他第一回到出發(fā)地A點(diǎn)，一共走了

米．．一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)________．個(gè)多邊形的內(nèi)角和為5040°，則這個(gè)多邊形是___邊，共_____條對(duì)角線．三解題．知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條的2倍求此多邊形的邊數(shù)．5

四

的外

．圖所示，根據(jù)圖中的對(duì)話回答問(wèn)題．問(wèn)題：(1)強(qiáng)是在求幾邊形的內(nèi)角少的那個(gè)內(nèi)角為多少?．個(gè)多邊形，除了一個(gè)內(nèi)角之外，其余內(nèi)角之和為2680°求這個(gè)內(nèi)角的大?。?

四

的外

【案解】一選題【案B；【案C【解析】解：∵，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9．故選：C．【案A；【解析】正多邊形：各邊都相等，各角都相等【案B【解析【案C【解析】由

2520

，解得：

n14【案B【解析】當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)內(nèi)角和加，角和不變【案C.二填題【案】.【解析】設(shè)每個(gè)外角為，x(180

)

13

，解得多形邊數(shù)

n

36045

【案；【解析】∵五邊形ABCDE正五邊形，∴∠，AB=CB，∴∠ACB=﹣）÷2=36°10.【案120.【解析】解：由題意得：，則他第一次回到出發(fā)地A時(shí)，一共走了（）．故答案為：120．答案；12.【案】三十，；三解題13.【析