彈性力學(xué)簡明教程(第四版)-習(xí)題解答

....下載可編輯...下載可編輯【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。V

OO(h>>b)2圖2-17圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）。上（yV

OO(h>>b)2圖2-17圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）。上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100了（s）X0pg(y+h)1—pg(y+h)17(s)ypgh100【解答】圖2-17：代入公式（2-15）得①在主要邊界上乂=0,x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件:（o）=—pg（y+h）,Q）=0;1XyX=0(o)=—pg(y+h),Q)=0;1XyX=b②在小邊界y=0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：（o）=—pgh,（c）=0yy=0Xyy=0③在小邊界y=h上，2能精確滿足下列位移邊界條件：(u) =0,G) =0y=h2yy=h2這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚5=1時，可求得固定端約束反力分別為：F=0,F=—pghb,M=0

由于y由于y=h為正面，

2故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有:dx=-pghbixdx=0dx=0⑵圖2-18①上下主要邊界丫二5/2,y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）lmf(s)xf(s)yhy=—-20-10qhy=201-q109） =-q，（工） =0，9） =0，（工） =-qyy=-h/2 yxy=-h/2 yy=h/2 yxy=h/2 1②在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號相反，有Jh/2(T)dx=-Fr-h/2xyx=0S<Jh/29)dx=-F-h/2xx=0NJh/29)ydx=-M〔-h/2xx=0③在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件u=0,v=0這兩個位移邊界x=l x=l條件也可改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方F\N\,F\N\,riMF，SZF=0,F+F'=qlnF'=ql-Fx NN1N1NZF=0,F+F'+ql=0nF'=-ql-Fy SS S SZM=0,M+M'+Fl+1ql2-1qlh=0nM=吆-M-Fl-絲A S2 21 2 S2由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故

Jh/2(o)dy=F'=ql-F-h/2…1 N1NTOC\o"1-5"\h\zhh/2/x ,qlh ql2<Jh(o)ydy=M=三一-M-Fl--—-h/2…/ 2 s2Jh/2(T)dy=F'=-ql-F_, xy兀=l S S【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個問題中OA邊上的三個積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】由于h?l，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：(a)上端面OA面上面力f=0,f=-qxyb由于OA面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有JbQ)0yy=0JbQ)JbQ)dx=-Jbfdx=-Jb—qdx=-JbQ)0yy=0JbQ)xdx=-Jbfxdx=Jb—q--xdx=q"2, , ,0y0b12J12(對OA中點取矩)dx=00yxy=0(b)應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負(fù)，則JbQ)dx=-F=-qb

0yy=0 N2JbQ)xdx=-M=處0yy=0 12Jb(t)dx=00xyy=0綜上所述，在小邊界。人上，兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等效的?！?-14】檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：....下載可編輯.....下載可編輯圖2-20圖2-20(a)圖2-20,s=y~q,o=工=(a)圖2-20,xb2 yxy【解答】在單連體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答,必須滿足：(1)平衡微分方程(2-2)；(2)用應(yīng)力表示的相容方程(2-21)；(3)應(yīng)力邊界條件(2-15)。(1)將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且f=f=0xydo5t 30 3T 八.~^x+-Tpr=0 ——+乎=0 顯然滿足3x 3y 3y 3x(2)將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式(2-21),有等式左=[?+?]Q+°)=2q中o=右

(dx2dy2jxyb2應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此,該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。M FS*(b)圖2-21，由材料力學(xué)公式，o=—y，t=FS-(取梁的厚度b=1)，xIxybI得出所示問題的解答：o=-2qx3y，T=-3q上(h2-4y2)。又根據(jù)平衡微分x lh3 xy4lh3方程和邊界條件得出：O=3qxy-2q”-qx。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解y2lh lh32l答的正確性。【解答】(1)推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1,高為h的矩形,其對中性軸(Z軸)的慣性矩二12，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程—(X)=-q-x33,F(x)=-qx26l 2l

所以截面內(nèi)任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：M(%) ,x3yo= y=—2q%I IhT%yT%y=-3q.潦(h2-4y2)。根據(jù)平衡微分方程第二式(體力不計)。do 0T y+ xy=0

dy d%得：根據(jù)邊界條件(o得：根據(jù)邊界條件(o)yy=h/23q%y %y3o=—.——2q--+Ay2Ih Ih3=0A二一2o_3q%y_2jy3-q

.qTOC\o"1-5"\h\zy2lh lh3 2將應(yīng)力分量代入平衡微分方程(2-2)第一式：左--6q.生+6q次-0-右滿足lh3 lh3第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程(2-23)左-[^L+2]Q+o)--12q工-12q.2豐0-右(d%2dy2J%y lh3 lh3應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。【2-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F(圖2-22),體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力o-0，然后證明這些表達(dá)式滿y足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式是否就表示正確的解答?！窘獯稹?1)矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程M(%)--F%，橫截面對中性軸...下載可編輯....下載可編輯..的慣性矩為I=h3/12,根據(jù)材料力學(xué)公式zTOC\o"1-5"\h\z加丹上 M(x) 12F彎應(yīng)力o= y=- xy;xI h3z該截面上的剪力為F(x)=-F，剪應(yīng)力為sh/2-yF(x)S* -FJh)%h/2-yt=- =——/- Y--y?b?移bl 1xS3/12)12 )z取擠壓應(yīng)力o=0y(2)將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗留小七12F 12F 七第一式：左=- y+ y=0=右h2 h3第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。(3)將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程左=V2(o+o)=0=右滿足相容方程xy(4)考察邊界條件①在主要邊界y=±h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)、，―、，―h上y———匚2_h上y-匚2代入公式(2-15)，得mffx y-10 01 0 0(o)(o):0,(t )yy=-h/2 xyy=-h/2二0;(o)yy=h/2=0,Q) =0yxy=h/2②在次要邊界乂二0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主Jh/2(。)dy=0=x向面力主矢-h/2J-h/2Jh/2(o)ydy=0=面力主矩xx=0Jh/2(t) dy=Jh/2—6F(h-y2)dy=-F=y向面力主矢、-h/2xyx=0 -h/2Lh3 4 _滿足應(yīng)力邊界條件

③在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，F(xiàn)=0，F(xiàn)=—F，M=-FlNS其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與主矩等效：Jh/29)dy=-Jh/212Flydy=0=F-h/2 xx=l -h/2h3 NJh/29) ydy=-Jh/212Fly2dy=-Fl=M-h/2 xx=l -h/2h3Jh/2(t)dy=」卜/2-h/2xyx=l 一h/2h3滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。第一章平面問題的直角坐標(biāo)解答圖3-8y【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù)①二沖3在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計)？［圖3-8y【解答】⑴相容條件：不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)①二ay3總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).⑵求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)①代入公式(2-24),得o=6ay,o=0,t=t=0

x y xyyx⑶考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)a>0時，考察o分布情況，注意到t=0,故y向無面力x xy左端：f (o) =6ay (。<y<h) f =Q ) =0x=xx=0 y xyx=0右端：f (o) =6ay (0<y<h) f =(t ) =0x=xx=l y xyx=l應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)l?h時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩....下載可編輯....下載可編輯..Oy.Oy.主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e： r 因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b, 產(chǎn) 節(jié)集中荷載p的偏心距6：9)=-—pe=0ne=h/6xAbhbh2/6同理可知，當(dāng)〃<0時，可以解決偏心壓縮問題?！窘獯稹?1)【解答】(1)由應(yīng)力函數(shù)①二ax2y，得應(yīng)力分量表達(dá)式o=0,o=2ay，工=t =-2axx y xyyxf —1(lo+m)=f(s)考察邊界條件，由公式(2-15)\xyxs」1(mo+代)=f(s)yxysy①主要邊界，②主要邊界，上邊界y=-①主要邊界，②主要邊界，上邊界y=-h上，面力為

2一hf(y=--)=2axx2h下邊界y=h，面力為2—hf(y=-)=-2ax,x2一hf(y=--)=ahy2—hf(y=-)=ahy2③次要邊界，左邊界乂=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：F=-Jh/2(o)dy=0x xx=0-h/2y向主矢：F=-Jh/2(t)dy=0y -h/2xyx=0主矩：M=-Jh/2(o)ydy=0-h/2xx=0次要邊界，右邊界乂二1上，面力的主矢，主矩為

x向主矢：F'=Jh/29)dy=0X -h/2XXTy向主矢：F'=Jh/2(T)dy=Jh/2(-2al)dy=-2alhy -h/2xy向主矢：F=-J2(向主矢：F=-J2(o)dy=0x hxx=02主矩：M=Jh/2(o)ydy=0-h/2xx=1彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示(2)①=bxy2將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24),得應(yīng)力分量表達(dá)式o=2bx,o=0,t=t=-2by

x y xyyx考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界，由公式(2-15)得h、 h\ hh\在y=-h主要邊界，上邊界上，面力為fy=-h=bh,fy=-h=02 xI2；八 2；,h一，一、一一一(h\ -(h)在y=-，下邊界上，面力為fy=-=-bh，fy=-=02 xl2)八2)在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：在左邊界*=0,面力分布為f(x=0)=0,f(x=0)=2byx yy向主矢：F=y向主矢：F=-J2Q)dy=J2(-2by)dy=0x=0主矩；M=-Jh/2(o)ydy=0-h/2xx=0在右邊界乂二1上，面力分布為f(x=l)=2bl，f(x=l)=-2by面力的主矢、主矩為x向主矢：Fr=Jh/2(o)dy=Jh/22bldy=2blhTOC\o"1-5"\h\zx -h/2xx=l -h/2y向主矢：F'=Jh/2Q)dy=Jh/2(-2by)dy=0y -h/2xyx=l -h/2主矩：M'=Jh/2(o)ydy=Jh/22blydy=0-h/2xx=l -h/2彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示ah2alahxyT考察應(yīng)力邊界條件，①上邊界考察應(yīng)力邊界條件，①上邊界y=-2上面力為(3)①=cxy3將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式o-6cxy,o=0,t=t=-3cy2x y xyyx在主要邊界上應(yīng)精確滿足式(2-15)( h)y-一萬

v 273 _(=4ch2,fy--②下邊界y=|上,面力為3,二-4chUyy--次要邊界上，分布面力可按（2-15）計算，面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得：③左邊界乂=0上，面力分布為f(x=0)=0,f(x=0)=3cy2面力的主矢、主矩為x向主矢：F--Jh/2(o)dy=0x -h/2xx=0y向主矢：F--Jh/2Q)dy--Jh/2(-3cy2)dy=y -h/2 xyx=0—h/2主矩：M--J皿(。)ydy=0-h/2xx=0④右邊界x=l上，面力分布為f(x=l)=6cly,f(x=l)=-3cy2x面力的主矢、主矩為x向主矢F'x」h/2(o)dy=Jh/26clydy-0—h/2—h/2y向主矢：Fr=Jh/2Q)dy=Jh/2(-3cy2)dy=--!-ch3y -h/2 yx-l -h/2 4...下載可編輯主矩：M'=Jh/2(o)ydy=Jh/26cly2dy=1clh3-h/2xx=1 _h/2 2彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示o=_12Fxyxo=_12Fxyxh3,O=0,Ty xy=Tyx(3)由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：①在主要邊界上(上下邊界)上，y=±h,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式2(2-15),應(yīng)力Q) =0,(t) =0yy=±h/2 yxy=±h/2一、，，、一，一h, ,, (h\ -(h\因此，在主要邊界y=±h上，無任何面力，即/y=±h=0,fy=±h=02 xI2Jyl2J②在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為:TOC\o"1-5"\h\z_ _3Fx=0:f=0,f=——x s 2hx=1:f=-業(yè),f=-3Fx h3Jy 2h因此,各邊界上的面力分布如圖所示：③在x=0,x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式:x=0上；向主矢：FJh/2了dy=0,Nx1 —h/2y向主矢：F二卜/2fdyy=F,S-h/2y主矩：M=』皿fydy=0,1 -h/2xx=l上FN2FS2M=Jh/2fdy=0-h/2x=Jh/2fdy=-F-h/2y=Jh/2fydy=-Fl2-h/2x因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a)(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。....下載可編輯【3一7】試證①W（一哈+③亮」）+ /）能滿足相容方程，并考a4①24qya4中 -12qy-24qy = ,2 =2X = ay4h3 ax2ay2h3h3代入（2-25）,可知應(yīng)力函數(shù)①滿足相容方程。（2）將①代入公式（2-24）,求應(yīng)力分量表達(dá)式:a2① _6qx2y4qy33qy -fx=- + - TOC\o"1-5"\h\zay2 x h3 h3 5h4y33y+--1)

h3 ha2① 6qx,h2 、T=T=- = 一( —y2)xyyx axay h3 4⑶考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力：一、一，一h①在主要邊界y=-2（上面），應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15）」)yxy」)yxy=-h/2=0,fy=-=-Q) =qyy=-h/2在主要邊界y=2(下面)，也應(yīng)該滿足(2-15)f(y=h/2)=(t) =0,f(y=h/2)=(o) =0x yxy=h/2 y yy=h/2在次要邊界x=0上，分布面力為f(x=0)=-(o)x xx=0=迦-雪f(x=0)=-(o)x xx=05h h3y xyx=0應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件:...下載可編輯=Jh/2fdy=Jh/2-h/2=Jh/2-h/2x -h/2fdy=0

ydy=0M=f七|塞-誓1ydy=0④在次要邊界x=l上，分布面力為fG=i)=(o)6ql2y4qy33qy + - h3 h3 5h(x=l)=(u )y xyx=l6ql?h2I-y2h3I4F's=Jh/2f(F's=Jh/2f(x=l)dy=Jh/2-h/2y—h/2M'=Jh/2f(x=l)ydy=-h/2xJh/2-h/2I6ql(h2 1W-y2dy=-ql\4 人h3ydy=-1qi2應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件:dy=0-h/2I=Jh/2f(x=dy=0-h/2I-h/2x綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖(b)因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題。【3-8】設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為P,在一邊側(cè)面上受均布剪力口(圖3-10),試求應(yīng)力分量。【解答】采用半逆法求解。由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力。主要與截面的彎矩有關(guān)，yT主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力。主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載xy x

為零，則o=0x（2）推求應(yīng)力函數(shù)的形式將o=0，體力f=0,f=pg，代入公式（2-24）有x xyd2①——-fx=0

dy2 x對y積分，得①二yfG)+fG)1其中f（x）,f（①二yfG)+fG)1其中f（x）,f（x）都是x的待定函數(shù)。1（3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將?。┦酱胂嗳莘匠蹋?-25），得d4f（x）d4f（x）y +1 =0dx4 dx4（c）在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項都必須為零，即df^二0,d4f^二0dx4 dx兩個方程要求f(x)=Ax3+Bx2+Cx,f(x)=Dx3+Ex21（d）f（x）中的常數(shù)項，f（x）中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在①的1表達(dá)式中成為y的一次項及常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。將（~）式代入（6）式，得應(yīng)力函數(shù)①=y^Ax3+Bx2+Cx)+^Dx3+Ex2)（e）（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量d2①——-fx=0dy2 x（f）....下載可編輯a2①a2①d.x2—fy=6Axy+2By+6Dx+2E-pgyy(g)a2①t=- =-3Ax2-2Bx-C （h）xy axay⑸考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要邊界x=0上（左）：（o） =0,（t）=0xx=0 xyx=0將（f），小）代入（o）=0，自然滿足xx=0（t） =-C=0 （i）xyx=0主要邊界x=b上，（o）=0，自然滿足xx=b（t）=q，將?。┦酱耄脁yx=b（t）=-3Ab2-2Bb-C=q （j）xyx=b在次要邊界y=0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件:Jb(o)dxJb(o)dx=Jb(6Dx+2Ebx=3Db2+2Eb=00yy=0 0Jb(o) xdx二0yy=0Jb(6Dx+2E)xdx=2Db3+Eb2=00Jb(t)dx=Jb(-3Ax20yxy=0 0-2Bx-Odx=-Ab3-Bb2-Cb=0（m）由式（i），（j），（k），（l），（m）聯(lián)立求得A=—-,B=—,C=D=E=0

b2 btxy代入公式(g)，(h)txyo=0,x

【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h,寬度為b"【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h,寬度為b"?b,在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)①=Axy+Bx3y求解應(yīng)力分量。【解答】按半逆解法求解。⑴將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)顯然滿足。⑵由公式(2-24)求應(yīng)力分量表達(dá)式，體力為零，有=—A—3Bx2=6Bxy=Txyyxdxdy⑶考察邊界條件:在主要邊界x=-b;2上，精確滿足公式(2-15)TOC\o"1-5"\h\z(°) =0,(T) =-qxx=-b/2 xyx=-b/2第一式自然滿足，第二式為3-A-4Bb2=-q (a)②在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(2-15)(o) =0,(T) =-qxx=b/2 xyx=b/2第一式自然滿足，第二式為3-A-4Bb2=-q (b)③在次要邊界丫=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：Jb/2(°)dx=0滿足-b/2yy=0Jb/2Q)xdx=0滿足-b/2 yy=0TOC\o"1-5"\h\zJb/2（T）dx=Jb/2（-A-3Bx2）dx=-Ab-1Bb3=0 （c）-b/2yxy=0 -b/2 4聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)A=-qB=2q

,2 b2代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得o=0,o=0,ox y12q—xy,Tb2 xy【3-10］設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不圖“工(a)計，I?h(圖3-12),試用應(yīng)力函數(shù)圖“工(a)①=Axy+By2+Cy3+Dxy^求解應(yīng)力分量。【解答】采用半逆解法求解(1)將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25),顯然滿足(2)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式(2-24)…、2B+6By+6Dxy<o=0 >=t=—^A+3Dy2)yx⑶考察邊界條件①主要邊界y=±h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件Q) =o,滿足yy=±h/2TOC\o"1-5"\h\zQ) =0,得A+3Dh2=0 (b)xyy=±h/2 4②在次要邊界乂二0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件Jh/2(o)dy=—FnJh/2(2B+6Cy)dy=—FnB=—F—h/2xx=0 N —h/2 N 2hJh/2(o)ydy=—MnJh/2(2B+6Cy)ydy=—MnC=—也—h/2xx=0 —h/2 h3Jh/2C)dy=—FnJh/2—(A+3Dy2)1dy=—FnAh+—Dh3=F(c)—h/2xyx=0 , —h/2 s 4 s聯(lián)立方程(b)(c)得2F s

h3最后一個次要邊界(x=l)上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、0代入公式(a),得應(yīng)力分量TOC\o"1-5"\h\zF 12M 12Fo=——n— y— ^xyxhh3 h3xy...下載可編輯【3-n】設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用,而梁的密度為P,試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼猓?）檢驗應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設(shè)應(yīng)力函數(shù)①=Ax3+Bx2y+32+Dy,不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25）（2）由式（2-24）求應(yīng)力分量由體力分量f=0,f=Pg，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2—24）得應(yīng)力分量：xyd2①八= -fx=2Cx+6DyTOC\o"1-5"\h\zSy2 xS2中---fy=6Ax+2By-pgySy2 yS2① - -t=-——=-2Bx-2Cy （c）xy SxSy（3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。①對于主要邊界y=0，其應(yīng)力邊界條件為：9） =0 （t） =0yy=0 ，yxy=0 （d）將式前）代入式?。?，（c），可得A=0,B=0 （e）②對于主要邊界y=xtana（斜面上），應(yīng)力邊界條件：在斜面上沒有面力作用，即f=f=0，該斜面外法線方向余弦為,xyl=-sina，m=cosa,由公式（2-15），得應(yīng)力邊界條件(f)(g)TOC\o"1-5"\h\z-sina<o） +cosa-（t） =01(f)(g)xy=xtana yxy=xtana-sina-（t） +cosa-（o） =01xyy=xtana yy=xtana將式（a）、（b）、（c）、1）代入式（。，可解得C=Pgcota,D=一段cot2a2 3將式（e）、（8）代入公式（a）、（b）、（c），得應(yīng)力分量表達(dá)式:

o=pgxcota—2pgycot2ax<o=—pgyyT=—pgycotaxy【分析】本題題目已經(jīng)給定應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式，事實上，也可通過量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點的應(yīng)力與a,x,y和pg有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是-iMT-2，而x,y的量綱是L,pg的量綱是L-iMT-2,又是量綱一的數(shù)量，因此，應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一項式，即應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是Apgx,Bpgy這兩種項的結(jié)合，其中A，B是量綱一的量，只與a有關(guān)。應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，即為x和y的純?nèi)问?，故可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為O=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3?！?-12】設(shè)圖3-5中簡支梁只受重力作用，而梁的密度為p，試用§3-4中的應(yīng)力函數(shù)（e）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。【分析】與§3-4節(jié)例題相比，本題多了體力分量/=0"=pg。去除了上邊界的面力。依仍助據(jù)§3-4,應(yīng)力分量的函數(shù)形式是由材料力學(xué)解答假設(shè)的?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。（1）由§3-4可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為①二-（Ay3+By+Cy+D）2 ABTOC\o"1-5"\h\z+x（Ey3+Fy2+Gy）-y5--y4+Hy3+Ky2，由§3-4可知，①必然滿足相容方10 6程（2-25）。（2）應(yīng)力分量的表達(dá)式：x2o=—（6Ay+2B）+x（6Ey+2F）-2Ay3-2By2+6Hy+2K （a）x2o=Ay3+By2+Cy+D-pgy （b）yt=-x（3Ay2+2By+C）-（3Ey2+2Fy+G） （c）xy【注】o項多了-pgyy

這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能夠適當(dāng)選擇常數(shù)4B、…、K使所有的邊界條件都被滿足，則應(yīng)力分量式a）、（b）、（c），就是正確的解答。（3）考慮對稱性因為絲面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱于絲面。這樣。和。是x的偶函數(shù)，而是x的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見TOC\o"1-5"\h\zxy xyE=F=G=0 （d）（4）考察邊界條件：①在主要邊界y=±h2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15），9) =°,(T) -0yy=±h2 yxy=±h2將應(yīng)力分量式(b)、(c)代入，并注意到E-F-G-0，可得:‘生A+%B+hC+0一股h-08 4 2 2h3“h2nh「cPgT八——A+—B——C+D+—h—08 4 2 213 ， ，一八—x(—Ah2+hB+C)=04—x(4Ah2—hB+C)=0聯(lián)立此四個方程，得：將式（d）、1）代入式（2）、（b）、（c）(e)(f)(g)(h)A--2Pg,B-將式（d）、1）代入式（2）、（b）、（c）(e)(f)(g)(h)y3+6Hy+2Ko--迎y3+Pgyy h2 26Pg 3PgT二—^xy2--^xxy h2 2②考察次要邊界條件由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界x-l上，f-0，x不論y取任何值（-h2<y<h,；2），都有o-0。由（f）式可見，這是不可能的，

x除非p,H,K均為零。因此，只能用應(yīng)力o的主矢、主矩為零，即xJh/2（O）dy=0一h/2xx=1Jh/2（o）ydy=0-h/2xx=l將f）式代入式（1）得Jh/21-誓x2y+誓y3+6Hy+2K]dy=0-h/21h2 h2 ）積分后得K=0將式?。┐胧剑?）,得Jh/2f-警12y+警y3+6Hy+2K]ydy=0-h/21h2 h2 ）（i）（j）（k）積分后得H二Pg（h一110）將（k）、（1）代入式城），得6Pg4Pg l2 1*x2y+ITy"6Pg（而一畝y（l）（m）考察右邊界上切應(yīng)力分量工錯誤!未找到引用源。的邊界條件:xy右邊界上f=-pglh，則T的主矢為

y xyJh/2Q）dy=Jh/26Pg-xy2-3Pgx dy=-pglh=f-h/2xyx=l -h/2Vh2 2 ） yx=l可知滿足應(yīng)力邊界條件。將式（g），（h），（m）略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答：6Pg 4Pg l2 1O= —x2y+ y3+6pg（- ）yX h2 h2 h210o=-2Pgy3+Pgyyh2 2（n）T=62-盯2-3Pgxxy h2 , 2（5）應(yīng)力分量及應(yīng)力分布圖梁截面的寬度取為1個單位，則慣性矩/=h，靜矩是S=三-三根據(jù)材料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為M(x)=pghl2_上,F(x)=—pghx2s --3)強(qiáng)力分布圖則式（n）可寫成:-3)強(qiáng)力分布圖卜;等y（1-4h2）T二—s xybl【分析】比較彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答，可知，只有切應(yīng)力T完全相xy同，正應(yīng)力o中的第一項與材料力學(xué)結(jié)果相同，第二項為彈性力學(xué)提出的修正x項；o表示縱向纖維間的擠壓應(yīng)力，而材料力學(xué)假設(shè)為零。對于l>>h的淺梁，y修正項很小，可忽略不計?！?-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為l，高度為h，l?h，在上邊界受均布荷載q，試檢驗應(yīng)力函數(shù)①=Ay5+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y能否成為此問題(a)的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。(a)【解答】用半逆解法求解。（1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)中代入相容方程式（2-25），得120Ay+24By=0要使①滿足相容方程，應(yīng)使A=-1B5（2）求應(yīng)力分量，代入式（2-24）o=20Ay3+6Bx2y+6Cy=20Ay3—30Ax2y+6Cyx\o=2By3+2D+2Ey=—10Ay3+2D+2Ey (b)y一一一一t=—6Bxy2—2Ex=30Axy2—2Exxy(3)考察邊界條件①在主要邊界y=±h：2上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件(c)(o) =0,即--Ah3+2D+Eh=0(c)yy=h2

（d）9) =—q,即一Ah3+2D—Eh=-q（d）yy=-h2TOC\o"1-5"\h\z（t） =0,即一Axh2-2Ex=0 （e）yxy=±h2聯(lián)立式（a）、（c）、（d）、（e）,可得：A=-q-,D=-q,E=3q,B=-土 （f）5h3 4 4h h3②在次要邊界x=0上，主矢和主矩都為零，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：滿足條件\h/29)dy=0滿足條件xx=0-h/2(g)Jh/2(o)ydy=Jh/2(20Ay3+6Cy)ydy=0n^5-+Ch3=0(g)-h/2xx=0 -h/2 2Jh/2(t)dy=0滿足-h/2xyx=0將A的值帶入5)，得C=q

10C=q

10h(h)b!2圖315(勤/瓦b!2圖315(勤/瓦5=1)x(a)將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（b），得yy23x2o=q—(4————6—)xhh25h2卜=-q(1-3y+4竺)y2h h3t=-如x(1-4馬

xy2hh2【3-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力＜2F和力矩M的作用（圖3-15），不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)①=Ay2+Bxy+Cxy3+Dy3求解其應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼狻＃?）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足。（2）求應(yīng)力分量：將①代入（2-24）°=2A+6Cxy+6Dyxn《0=0yt=-B-3Cy2xy....下載可編輯（3）考察邊界條件。①在主要邊界y=±b/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件Q） =o滿足yy=±b/2(b)Q)(b)xyy=±b/2②在次要邊界乂=0上，可用圣維南原理Jb/2(o)dy=-F-b/2xx=0②在次要邊界乂=0上，可用圣維南原理Jb/2(o)dy=-F-b/2xx=0Jb/2(0)ydy=-M-b/2xx=0寫出三個積分應(yīng)力邊界條件(2Ay+3Dy2)b/2=_F-b/2(c)(1 - )-Ay2+2Dy3l2 Jb/2=-M(d)一b/2Jb/2-b/2聯(lián)立（b）、（c）、Q)dy=-Fxyx=o(d)、(e)式