2017屆安徽省黃山市屯溪第一高三上學(xué)期第二次月考理數(shù)試題解析（解析版）

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：,,故選A.考點:集合運算．2.若復(fù)數(shù)，則等于（）A．B．C．D．【答案】B考點：復(fù)數(shù)的運算．3.若雙曲線的一條漸近線為，則離心率等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：雙曲線的一條漸近線為，故，因為，解得，則，故選D.考點:雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．4.已知向量，且，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：因為，所以，即，解得.考點：平面向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示．5.數(shù)字“”中，各位數(shù)字相加和為，稱該數(shù)為“長久四位數(shù)”，則用數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字且大于的“長久四位數(shù)”有（）個A．B．C．D．【答案】C考點：排列、組合與計數(shù)原理．6.函數(shù)的部分圖象大致是（）【答案】C【解析】試題分析：∵，∴函數(shù)為偶函數(shù)，排除A，B，∵，排除D，故選C.考點：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)．7.某幾何體的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是一個等邊三角形，則此幾何體的體積是（）A．B．C．D．【答案】B考點：三視圖與幾何體的體積．8.程序框圖如圖所示，則該程序輸出的結(jié)果為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序框圖的功能是求的值，由，故選B.考點：程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)．9.函數(shù)的圖象向左平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，則的解析式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：由題意可得，把函數(shù)的圖象向右平移個單位后，可得函數(shù)的圖象,故選D.考點:函數(shù)圖象的平移變換.10.展開式中常數(shù)項為（）A．B．C．D．【答案】B考點：二項式展開式的系數(shù)．【方法點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的系數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.本題給出了一個三項式求展開式的常數(shù)項，解答時首先通過分組化為二項式，分組時要根據(jù)三項式的特征把作為一個整體，用二項式定理展開，再在根據(jù)二項式定理分別求得其常數(shù)項，通過計數(shù)原理即可得到原式的常數(shù)項，本質(zhì)上就是多次使用二項式定理的過程.11.已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線在第一、四象限分別交于兩點，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：設(shè)，則，∴，解得，∴，故選A.考點：直線與拋物線的位置關(guān)系．【方法點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單幾何性質(zhì)特別是其焦點弦問題，解答時應(yīng)重點把握好拋物線定義的應(yīng)用.設(shè)出兩點坐標(biāo)，利用拋物線的焦半徑公式求出,結(jié)合拋物線焦點弦的性質(zhì)得到，求出兩點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦半徑公式即可求得.12.函數(shù)，若實數(shù)滿足，則實數(shù)的所有取值的和為（）A．B．C．D．【答案】C考點:函數(shù)與方程.【方法點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程，考查了分類討論的思想和運算能力，屬于難題.為方便理解可對進行換元處理，設(shè)，則，先通過分段函數(shù)解析式，結(jié)合討論求出的解，再進一步解方程，即可求得的解，解答的過程中，要注意分段函數(shù)各解析式的適用范圍，保證正確解題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分．）13.已知命題：“，有成立”，則為_______.【答案】成立【解析】試題分析：全稱命題的否定是特稱命題，所以原命題的否定為“成立”.考點:全稱命題及其否定．14.設(shè)滿足約束條件，則的最小值為______.【答案】考點：簡單的線性規(guī)劃．15.若圓關(guān)于直線對稱，則由點向圓所作的切線長的最小值是________.【答案】【解析】試題分析：由題意知直線過圓心，所以.當(dāng)點到圓心距離最小時，切線長最短，，∴時，切線長最小，此時，切線長等于.考點：直線與圓的位置關(guān)系．【方法點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)“圓關(guān)于直線對稱”即直線經(jīng)過圓心，得到的關(guān)系，根據(jù)勾股定理列出切線長與的關(guān)系，通過消元構(gòu)造二次函數(shù)，利用配方法求出切線長的最小值.16.已知中，角的對邊分別為，若，且，則的值為______.【答案】考點：正弦定理和余弦定理解三角形.【方法點睛】本題主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形問題，屬于基礎(chǔ)題.本題中給出了中邊和角的混合式，而且式子中均有一個內(nèi)角的正弦，應(yīng)該首先考慮利用正弦定理把左邊的用代替，這樣左邊得到，結(jié)合余弦定理右邊應(yīng)該保留,消去即可求得和，再利用余弦定理即可求得邊.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）在公差不為的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】考點：等差數(shù)列的通項公式與乘公比錯位相減法求和．18.（本小題滿分12分）公司從某大學(xué)招收畢業(yè)生，經(jīng)過綜合測試，錄用了名男生和名女生，這名畢業(yè)生的測試成績?nèi)缜o葉圖所示（單位：分），公司規(guī)定：成績在分以上者到甲部門工作；分以下者到乙部門工作，另外只有成績高于分才能擔(dān)任助理工作.（1）如果用分層抽樣的方法從甲部門人選和乙部門人選中選取人，再從這人中選人，那么至少有一人是甲部門人選的概率是多少？（2）若從所有甲部門人選中隨機選人，用表示所選人員中能擔(dān)任助理工作的男生人數(shù)，寫出的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】試題分析：（1）根據(jù)分層抽樣和莖葉圖可知甲乙兩部門選中的人數(shù)均為人，要求“至少有一人是甲部門人選的概率”，可求其對立事件“選中的人都是乙部門”的概率即可；（2）設(shè)選畢業(yè)生中能擔(dān)任助理工作的男生人數(shù)，其可能的取值分別為，根據(jù)超幾何分布求出取各值的概率，得其分布列和期望.（2）依據(jù)題意，所選畢業(yè)生中能擔(dān)任助理工作的男生人數(shù)的取值分別為，，，，，因此的分布列如下：X0123P數(shù)學(xué)期望.考點：莖葉圖、對立事件的概率及離散型隨機變量的分布列和期望．19.（本小題滿分12分）如圖，四棱柱的底面是菱形，，底面，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.試題解析：（1）∵底面，平面，∴.∵是菱形，∴.又，∴平面.（2）由（1）知兩兩垂直，則以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵，，∴，則，，設(shè)平面的一個法向量為，由得，令，得，，所以，∵，∴直線與平面所成角的正弦值為.考點：空間中直線與平面垂直關(guān)系的證明及直線與平面所成的角.20.（本小題滿分12分）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左、右焦點分別為，線段的中點分別為，且是面積為的直角三角形.（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作直線交橢圓于兩點，使，求的面積.【答案】（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)是面積為的直角三角形，，可知為直角，從而，即，又，消去即得離心率，可得，從而求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程可得，根據(jù)韋達定理，可得，寫出的坐標(biāo)，由于，據(jù)此可求得的值，因為的面積，所以求出即得的面積.（2）由（1）知，由題意，直線的傾斜角不為，故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，消元可得，①設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時，①可化為，∴，∴的面積.考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系.【方法點睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了方程的思想和運算能力，屬于中檔題.求橢圓的離心率通常根據(jù)條件求的一個關(guān)系即可，求橢圓方程通常采用待定系數(shù)法.研究圓錐曲線中三角形的面積時通常采用分割的方法把要求面積的三角形分成兩個同底的三角形，根據(jù)韋達定理求，本題中，先根據(jù)向量的垂直關(guān)系求出參數(shù)的值，再求，這是圓錐曲線中最常見的題型之一.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；（2）若對任意，且恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.試題解析：（1）函數(shù)的定義域是.當(dāng)時，，令，得，所以或.當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是；當(dāng)時，在上的最小值是，不合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是，不合題意，綜上：.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和給定區(qū)間上的最值及函數(shù)的恒成立．【方法點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和給定區(qū)間上的最值及函數(shù)的恒成立，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.本題（1）中，求函數(shù)在給定區(qū)間上最值，通過比較兩個極值點的大小得到其單調(diào)性，判斷出最小值點，驗證是否符合題意；（2）根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，也就是函數(shù)在上單調(diào)遞增，即恒成立，分別討論及兩種情況，求出的范圍即可.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時請寫清題號.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，是邊上的高，，垂足為.（1）證明：四點共圓；（2）若，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）．（2）解：，直角三角形中，，又.考點：四點共圓的應(yīng)用與直角三角形的基本性質(zhì).23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知點，直線為.（1）求點的直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)與直線的普通方程；（2）求點到直線的距離.【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)可把點化成直角坐標(biāo)，根據(jù)兩角和的正弦公式把展開，代換即得直線的普通方程；（2）在（1）化直角坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)上，利用點到直線的距離公式即可求得結(jié)論