2021-2022學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟（七中九中十中等）高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟（七中、九中、十中等）高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對(duì)是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對(duì)是，故選：．2．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故，即，故漸近線方程為.【解析】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.3．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B．4．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A． B．2C．或2 D．3或【答案】A【分析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，互相平行；當(dāng)時(shí)，直線：，：，重合；所以，故選：A5．已知數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，則=A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：點(diǎn)在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，．故選C．【解析】1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和．6．曲線在處的切線如圖所示，則（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【詳解】由直線經(jīng)過，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程常見類型：(1)在出的切線：為切點(diǎn)，直接寫出切線方程：；(2)過出的切線：不是切點(diǎn)，先設(shè)切點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出切線方程：.7．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵?鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧的半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C8．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長為的圓③若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對(duì)每一個(gè)命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿足，又，，，可得對(duì)角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線，故①正確．若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確．點(diǎn)P到直線AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段BC，因此③不正確．點(diǎn)P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線BC為對(duì)稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確．故有①②④三個(gè).故選:C．二、多選題9．下列求導(dǎo)正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】依據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算去判斷即可解決.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，∵，∴選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，令，則，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵，∴選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC10．如果稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”，那么下列命題正確的有（）A．若是“黃金橢圓”，則B．若點(diǎn)A在以，為焦點(diǎn)的“黃金橢圓”上，且，則的周長為C．若是左焦點(diǎn)，C，D分別是右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則D．設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的“黃金橢圓”左右頂點(diǎn)分別為A，B，“黃金橢圓”上動(dòng)點(diǎn)P（異于A，B），設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則【答案】BCD【分析】先判斷焦點(diǎn)所在軸，再求m判斷選項(xiàng)A；以橢圓定義巧求的周長判斷選項(xiàng)B；以勾股定理判斷選項(xiàng)C；直接去求的值去判斷選項(xiàng)D.【詳解】A中沒有指明焦點(diǎn)在x軸還是y軸，應(yīng)該有兩個(gè)值，所以A不正確；B中，由題意，則，所以，則的周長為，所以B正確；C中，由題意可得，，，要使橢圓為“黃金橢圓”，則，所以，所以，所以，，因?yàn)?，，所以，所以，所以C正確；D中，由題意可得，，設(shè)，則，因?yàn)镻在橢圓上，所以，所以，因?yàn)椤包S金橢圓”上動(dòng)點(diǎn)P，所以，所以，而，所以，即，所以，可得D正確．故選：BCD．11．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為棱BC，CC1的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．B．C．直線B1Q與AD1所成角的余弦值為D．Q到平面AB1P的距離為【答案】ABD【分析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可得，從而可判斷A，由可判斷B，由坐標(biāo)求出，即可判斷C，求出平面的法向量，即可求出點(diǎn)到平面的距離為，即可判斷D.【詳解】解：以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，則，因?yàn)椋?，A正確；因?yàn)?，所以，則，B正確；因?yàn)橛?，所以直線B1Q與AD1所成角的余弦值為，C不正確；設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，則，所以，令，則，所以點(diǎn)Q到平面AB1P的距離為，D正確.故選:ABD.12．已知數(shù)列滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．的最小值為0C．D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值30【答案】AB【分析】由遞推式可知數(shù)列是等差數(shù)列，由，，可求得公差，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，可判斷B；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而可求得，即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)時(shí)，取得最小值為0，即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】由，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以公差，所以，故A正確；，當(dāng)時(shí)，取得最小值為0，故B正確；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，取最大值30，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題13．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.【答案】【分析】首先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步求出兩圓的位置關(guān)系，可得兩圓的公切線條數(shù).【詳解】解：由圓，可得：，可得其圓心為，半徑為；由，可得，可得其圓心為，半徑為2；所以可得其圓心距為：，可得：，故兩圓相交，其公切線條數(shù)為,故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及兩圓公切線條數(shù)的判斷，屬于中檔題.14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則其通項(xiàng)公式______．【答案】【分析】利用當(dāng)時(shí)，，可求出此時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不適合上式，∴，故答案為:.15．?dāng)?shù)列滿足，，其前n項(xiàng)積為，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)的周期性，去求的值即可解決.【詳解】由，，可得，，，，，，由此可知數(shù)列的項(xiàng)具有周期性，且周期為4，第一周期內(nèi)的四項(xiàng)之積為1，所以數(shù)列的前2022項(xiàng)之積為．故答案為：16．若函數(shù)，則在點(diǎn)處切線的斜率為______．【答案】【分析】根據(jù)條件求出，，再求即為答案.【詳解】∵，∴，則和，得，，∴，，∴，所以在點(diǎn)處切線的斜率為.故答案為：．四、解答題17．設(shè)點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，k是該曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率．(1)求k的取值范圍；(2)求當(dāng)k取最大值時(shí)，該曲線在點(diǎn)P處的切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點(diǎn)，從而也確定的斜率就可以求切線.(1)設(shè)，因?yàn)?，所以，所以k的取值范圍為．(2)由（1）知，此時(shí)，即，所以此時(shí)曲線在點(diǎn)P處的切線方程為．18．已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直．(1)求直線l的方程；(2)若圓C過點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1).直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.(2)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19．如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面PAC；(2)求二面角A-PC-D的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（1）計(jì)算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零，證明線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因?yàn)?，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，則，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；(2)解：由（1）可知平面PAC，可作為平面PAC的法向量，設(shè)平面PCD的法向量，因?yàn)?，．所以，即，不妨設(shè)，得．，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為．20．在①直線l：是拋物線C的準(zhǔn)線；②F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；③，對(duì)于C上的點(diǎn)A，的最小值為；在以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，填到下面問題中的橫線處，并完成解答．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，滿足_____．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是拋物線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線：與C交于M，N兩點(diǎn)，若的面積為，求m的值．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）選條件①，由準(zhǔn)線方程得參數(shù)，從而得拋物線方程；選條件②，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)相同求得得拋物線方程；選條件③，由F，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，，再由兩點(diǎn)間距離公式求得得拋物線方程；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離，設(shè)，，直線方程代入拋物線方程，判別式大于0保證相交，由韋達(dá)定理得，由弦長公式得弦長，再計(jì)算出三角形的面積后可解得．(1)選條件①：由準(zhǔn)線方程為知，所以拋物線C的方程為．選條件②：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以由已知得橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.所以，又，所以，所以拋物線C的方程為．選條件③：由題意可知得，當(dāng)F，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，，由兩點(diǎn)間距離公式，解得，所以拋物線C的方程為.(2)把代入方程，可得，設(shè)，，聯(lián)立，消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直線的距離為，所以，即，解得或經(jīng)檢驗(yàn)均滿足，所以m的值為或.21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關(guān)系，利用求解出數(shù)列的首項(xiàng)，然后當(dāng)時(shí)，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關(guān)系，從而完成證明；（2）利用第（1）問求解出的數(shù)列的通項(xiàng)公式，帶入到中，再使用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，根據(jù)最后計(jì)算的結(jié)果與比較即可完成證明.(1)由題意得，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.得證.(2)由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.22．設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．(1)判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)過點(diǎn)作斜率為，的兩條直線，分別交點(diǎn)E的軌跡于M，N兩點(diǎn)，且，證明：直線MN必過定點(diǎn)．【答案】(1)與半徑相等，(2)證明見解析【分析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點(diǎn)E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進(jìn)行討論，由設(shè)而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過定點(diǎn)的條件即可解決.(1)圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因?yàn)椋蔈的軌跡為以A