2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．（0，4）【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故選：C2．函數(shù)（，且）的圖象必過定點(diǎn)A． B． C． D．【答案】C【解析】令，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且有(且)，令，則，，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)(且)恒過定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題目.3．已知角α的終邊過點(diǎn)，則的值是（）A． B． C．0 D．或【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊過點(diǎn)，所以，，，故選：B4．設(shè)則的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】C【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.【解析】1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)值比較大小.5．設(shè)，且，則（）A． B．10 C．20 D．100【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)的互化和對數(shù)的換底公式，求得，，進(jìn)而結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由，可得，，由換底公式得，，所以，又因?yàn)?，可得．故選：A.6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由解出范圍即可.【詳解】由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C.7．若，且，那么角的終邊落在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號判斷可能在的象限，再利用兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的圖象由求出的范圍，兩范圍取交集即可.【詳解】，在第二或第三象限，，即，或，解得或，又在第二或第三象限，在第三象限.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值在各象限的符號、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8．當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)【答案】B【分析】分和兩種情況討論，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然不成立.若時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對數(shù)，解得，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，要使在時(shí)恒成立，則有，如圖選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，熟記對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.9．當(dāng)時(shí)，函數(shù)（，），取得最小值，則關(guān)于函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．是奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．是偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱C．是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線對稱D．是偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對稱【答案】C【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，因?yàn)?，所以令，即，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，因此選項(xiàng)B、D不正確；因?yàn)椋?，所以，因此函?shù)關(guān)于直線對稱，因此選項(xiàng)A不正確，故選：C二、多選題10．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足，且在上是增函數(shù)，則下列關(guān)于f（x）的結(jié)論中正確的有（）A．f（x）的圖象關(guān)于直線對稱 B．f（x）在[0，1]上是增函數(shù)C．f（x）在[1，2]上是減函數(shù) D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，由分析可得，即可得是周期為2的周期函數(shù)，可得D正確，利用函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；結(jié)合周期性以及對稱性分析可判斷BC選項(xiàng)；綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，若，則，即，是周期為2的周期函數(shù)，則有（2），故D選項(xiàng)正確；若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A選項(xiàng)正確；在，上是增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)在，上是減函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在，上是增函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，則函數(shù)在在[1，2]上是增函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AD.11．設(shè)函數(shù)則使不等式成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（）A．（0，1） B．C． D．【答案】BC【分析】由解析式，應(yīng)用奇偶性定義可得為奇函數(shù)，并確定其值域、單調(diào)性，進(jìn)而討論、，結(jié)合的性質(zhì)解不等式求a的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，為奇函數(shù)，在、上值域均為R且分別單調(diào)遞增；∴，可得，即，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；∴a的取值范圍為或.故選：BC.12．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍B．向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋禖．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向左平移個(gè)單位長度D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傧蜃笃揭苽€(gè)單位長度【答案】BC【分析】先將化簡，得，然后根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷即可【詳解】，所以將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，可得的圖象，即可得函數(shù)的圖象，所以A錯(cuò)誤，B正確，或?qū)D象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得的圖象，再將其向左平移個(gè)單位長度，得的圖象，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC三、填空題13．已知，則_________.【答案】【詳解】由題意可得：點(diǎn)睛：熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，特別是要注意公式中的符號問題；注意公式的變形應(yīng)用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問題時(shí)簡化解題過程的關(guān)鍵所在．14．已知，則函數(shù)的最大值為__________.【答案】【分析】換元，，化簡得到二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】設(shè)，，則，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，換元是解題的關(guān)鍵.15．已知，則______．【答案】【分析】根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用誘導(dǎo)公式求值，解題關(guān)鍵是拆角：，屬于基礎(chǔ)題.16．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為________.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出和即可得到結(jié)論．【詳解】由圖象得，，則周期，則，則，當(dāng)時(shí)，，則，即即，即，，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，根據(jù)三角函數(shù)圖象求出，和的值是解決本題的關(guān)鍵．四、解答題17．已知.（1）化簡；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可得答案；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合已知條件得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值即可.【詳解】（1）.（2）∵，∴，又是第三象限角，∴，故.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡求值，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù)，.（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與對應(yīng)一元二次不等式的關(guān)系，求出a的值，再解不等式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，求出解集即可.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，則方程的兩個(gè)根為1和2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以.由，得，即，解得或，所以不等式的解集為；（2）由題知函數(shù)，且在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式(組)的解法與應(yīng)用問題，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.19．已知函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有最大值3，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）由題意，函數(shù)，分，和三種情況討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則函數(shù)開口向下，對稱軸方程為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又由指數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間.（2）由題意，函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)無最大值，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，解得；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無最大值，不符合題意.綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.20．已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為.（1）若，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積?【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)弧長的公式和扇形的面積公式即可求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）根據(jù)扇形的面積公式，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)論．【詳解】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，則α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).(2)扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α·＝·＝·≤.當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的弧長和扇形面積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．21．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得出答案；（2）根據(jù)周期變換和平移變換求出函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.(1)解：由函數(shù)，則函數(shù)f（x）的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)解：函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到，再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?22．如圖，函數(shù)（，）的圖象與y軸交于點(diǎn)，最小正周期是π