2022屆江蘇省無錫市江陰高級中學高三下學期期初考試數(shù)學試題（解析版）

2022屆江蘇省無錫市江陰高級中學高三下學期期初考試數(shù)學試題一、單選題1．若．設(shè)，則（）A．2i B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求出，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算即可.【詳解】由，得，所以.故選：B2．已知則等于（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合對應(yīng)區(qū)間求即可.【詳解】∵26>4，∴，又，∴.故選：C.3．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4．曲線的方程是，則曲線的形狀是（）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．直線【答案】B【分析】由方程的幾何意義判斷．【詳解】方程表示動點到兩定點的距離之和為4．而，因此的軌跡是以為焦點的橢圓．故選：B．5．在下列命題中，假命題是（）A．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)⊥βD．若平面α∥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)∥β【答案】C【分析】對于A：利用線面垂直的定義和面面垂直的判定定理進行證明；對于B：利用面面平行的定義進行證明；對于C：在正方體中取反例否定結(jié)論；對于D：利用線面平行的定義進行判斷.【詳解】對于A：根據(jù)線面垂直的定義，若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則這條直線垂直于平面β，又有面面垂直的判定定理，即可證明α⊥β.故A成立.對于B：若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則直線與平面β沒有公共點，所以平面α與平面β沒有公共點，所以α∥β.故B成立.對于C：如圖示：在正方體中取面為平面α、面為平面β和直線為直線l，滿足平面α⊥平面β，直線lα，但是l∥β.故C不成立.對于D：若平面α∥平面β，則平面α與平面β沒有公共點，任取直線lα，則直線l與平面β沒有公共點，所以l∥β.故D成立.故選：C6．如圖，正六邊形的邊長為2，動點從頂點出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時針運動到頂點，若的最大值和最小值分別是，，則（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】連接，根據(jù)正六邊形的特征可得，從而可得，再根據(jù)當在上運動時，與均逐漸增大，當從移動到時，與均逐漸減小，即可求得，，從而得出答案.【詳解】解：連接，在正六邊形中，，∴，∵正六邊形的邊長為2，∴，因為當在上運動時，與均逐漸增大，當從移動到時，與均逐漸減小，所以當在上運動時，取得最大值，為，當移動到點時，取得最小值，為0．∴，，∴．故選：D.【點睛】7．已知且，則=（）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用三角恒等變換求出的值，再判斷的范圍即可得解.【詳解】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C8．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2an－Sn＝2，記數(shù)列的前n項和為Tn，若對于任意n∈N，不等式k＞Tn恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得，然后利用裂項求和法求得，進而求得的取值范圍.【詳解】依題意，當時，，，兩式相減并化簡得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，.，所以，所以的取值范圍是.故選：A二、多選題9．若，，，則（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本不等式及指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即得.【詳解】∵，，，∴，當且僅當時取等號，故A錯誤；由，當且僅當，即時取等號，故B正確；因為，當且僅當時取等號，故C錯誤；因為，當且僅當時取等號，故D正確.故選：BD.10．已知函數(shù)相鄰的最高點的距離為，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱B．函數(shù)在區(qū)間上的值域為C．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，然后向左平移個單位得的圖象D．若，則【答案】ACD【分析】化簡函數(shù)解析式根據(jù)周期求出，利用正弦型函數(shù)的對稱性判斷A，根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域判斷B，由圖象的伸縮與平移變換判斷C，由三角恒等變換后求值判斷D.【詳解】由題意，化簡得，由題意知周期，得，所以，當時，，故A項正確；當時，，故，故B項錯誤；將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到，再向左平移個單位，可得，故C項正確；由可得：，于是，故D項正確.故選：ACD11．已知圓，點P為x軸上一個動點，過點P作圓M的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB與MP交于點C，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形PAMB周長的最小值為 B．的最大值為2C．直線AB過定點 D．存在點N使為定值【答案】ACD【分析】設(shè)，由此據(jù)圓的切線性質(zhì)表示出，則即可表示出四邊形PAMB周長，進而求得其最小值，從而判斷A的對錯；利用表示出,由此可判斷B的對錯；根據(jù)圓的切線性質(zhì)表示出切線方程，進而求出AB的直線方程，求其過的定點坐標，可判斷C對錯；判斷C點位于某個圓上，可知出其圓心和C點距離為定值，從而判斷D的對錯.【詳解】如圖示：設(shè)，則，所以四邊形PAMB周長為，當P點位于原點時，t取值最小2，故當t取最小值2時，四邊形PAMB周長取最小值為，故A正確；由可得：，則，而，則,故B錯誤；設(shè)，則方程為：，的方程為，而在切線，上，故，，故AB的直線方程為，當時，，即AB過定點，故C正確；由圓的切線性質(zhì)可知,設(shè)AB過定點為D,則D點位于以MD為直徑的圓上，設(shè)MD的中點為N，則,則為定值，即D正確，故選：ACD.12．如圖，已知A，B是相互垂直的兩條異面直線，直線AB與a，b均相互垂直，垂足分別為A，B，且，動點P，Q分別位于直線A，B上，且P異于A，Q異于B.若直線PQ與AB所成的角，線段PQ的中點為M，下列說法正確的是（）A．PQ的長度為定值B．三棱錐的外接球的半徑長為定值C．三棱錐的體積為定值D．點M到AB的距離為定值【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，將圖形還原為長方體，進而根據(jù)題意求出，進而判斷A，B；根據(jù)，進而判斷C；設(shè)交于R，則R為CQ的中點，取AB的中點N，然后證明四邊形RBNM是平行四邊形，進而證明，最后求得答案.【詳解】如圖，將圖形還原為長方體，因為，所以（易知其為銳角）是PQ與AB所成的角，即，易知，則.A正確；對B，易知三棱錐的外接球與長方體的外接球相同，則其直徑為4，半徑為2.B正確；對C，，不為定值.C錯誤；對D，設(shè)交于R，則R為CQ的中點，連接MR，取AB的中點N，連接MN，又因為M為PQ的中點，所以，而，故，所以四邊形RBNM是平行四邊形，則，因為，則.因為AB⊥平面BCDQ，平面BCDQ，所以，則，所以點M到AB的距離為1.D正確.故選：ABD.三、填空題13．曲線在點處的切線方程為______.【答案】【分析】直接根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在點處的切線方程的斜率為，進而求出切線方程【詳解】對求導(dǎo)可得：則曲線在點處的切線方程的斜率為：又則切線方程為：故答案為：14．展開式中的系數(shù)為___________.【答案】60【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式，可知展開式中含的項，以及展開式中含的項，再根據(jù)組合數(shù)的運算即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，展開式中含的項為，而展開式中含的項為，所以的系數(shù)為60.故答案為：60.15．函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】對求導(dǎo)，由題設(shè)有恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，即可求a的范圍.【詳解】由題設(shè)，，又在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴恒成立，令，則，∴當時，則遞減；當時，則遞增.∴，故.故答案為：.四、雙空題16．希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為___________________；若點為拋物線上的動點，在軸上的射影為，則的最小值為______.【答案】；

.【分析】設(shè)點坐標，根據(jù)題意寫出關(guān)于與的關(guān)系式化簡即可；由，，代入中，即可取出最小值.【詳解】設(shè)點，，.拋物線的焦點為點，由題意知，，，.故答案為：；.五、解答題17．已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和等比中項定義，求得首項和公差，進而求得的通項公式．（2）數(shù)列可以看成等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，因而前n項和可用錯位相減法求解．【詳解】（1）由題意得，，故，所以的通項公式為．（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，則，，兩式相減得，所以．【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式、等比中項的定義，錯位相減法在求和公式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，向量夾角的余弦角為(1)求角B的大?。?2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量夾角的坐標運算得到再由公式化簡得到從而得到結(jié)果；（2）由三角形內(nèi)角關(guān)系得到，根據(jù)角的范圍求值域即可.【詳解】(1)即解得（舍）(2)由（1）可知，即19．某種水果按照果徑大小分為四類：標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果．一般的，果徑越大售價越高．為幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計了一套方案，并在兩片果園中進行對比實驗．其中實驗園采用實驗方案，對照園未采用．實驗周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機選取100個果實，按果徑分成5組進行統(tǒng)計：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（單位：mm）．統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達到36mm及以上的為“大果”．(1)估計實驗園的“大果”率；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個，再從這10個果實中隨機抽取3個，記“大果”個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望的；(3)以頻率估計概率，從對照園這批果實中隨機抽取個，設(shè)其中恰有2個“大果”的概率為，當最大時，寫出的值（只需寫出結(jié)論）.【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3)6.【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖計算果徑達到36mm及以上組的頻率和，即為所求的“大果”率（2）由分層抽樣可得：抽取10個大果有3個，則“大果”個數(shù)可能取值為，并求對應(yīng)概率，寫出分布列，進而求期望.（3）由，應(yīng)用不等式法求最大時的值.【詳解】(1)由實驗園的頻率分布直方圖得：，所以估計實驗園的“大果”率為(2)由對照園的頻率分布直方圖得：這個果實中大果的個數(shù)為個.采用分層抽樣的方法從100個果實中抽取10個，其中大果有個，從這10個果實中隨機抽取3個，記“大果”個數(shù)為，則的可能取值為，，，，，所以的分布列為：0123所以.(3)由題設(shè)知：，而，，∴要使最大，則且，∴，故.20．如圖，在幾何體PABCDQ中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，平面ABCD，，點E為PD的中點，四棱錐是高為4的正四棱錐.(1)求證：平面EAC；(2)求平面PAC與平面QAB所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出平面，可得出，延長與交于點，可證明出，由中位線的性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定定理可證得平面；（2）以為原點，直線、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：連接，與交于點，因為四邊形是正方形，所以連接，因為四棱錐是正四棱錐，所以平面，平面，則，因為，所以平面因為平面，所以延長與交于點，平面，則，為的中點，則為的中點，則，又，，所以，，，所以，所以連接，因為點為的中點，點為的中點，所以，所以，因為，所以平面.(2)解：以為原點，直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得．設(shè)平面的法向量為，則得，取，得．設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21．已知雙曲線的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過點T(2，0)的直線l交雙曲線C于點M，N(點M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．【答案】(1)；(2)見解析.【分析】(1)由虛軸長為，和漸近線方程為，求得和的值，即可；(2)設(shè)直線的方程為，將其與雙曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合韋達定理和直線的斜率公式，計算的值，即可．【詳解】(1)虛軸長為4，，即，直線為雙曲線的一條漸近線，，，故雙曲線的標準方程為．(2)由題意知，，，由題可知，直線l斜率不能為零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，，直線的斜率，直線的斜率，，為定值．22．已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，在（1）的條件下，證明：存在唯一的極小值點，且.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）分析可知，分、兩種情況討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可求得實數(shù)的值；（2）求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可證得存在唯一的極小值點，再分析出，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【