2022江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A．A∩B＝A B．A∩B＝BC． D．【答案】A【分析】解不等式求出集合，及、，根據(jù)集合的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】集合，或，，或，，故A正確，B錯(cuò)誤；或，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z＝（

）A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i【答案】C【分析】將中的，根據(jù)化簡，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，故由可得：，即，故選：C.3．我國古代認(rèn)為構(gòu)成宇宙萬物的基本要素是金、木、水、火、土這五種物質(zhì)，稱為“五行”.古人構(gòu)建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理論隨機(jī)任取“兩行”，則取出的“兩行”相生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】列出隨機(jī)任取“兩行”的所有情況和“兩行”相生的情況，由古典概型概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10種，其中取出的“兩行”相生的情況有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5種，所以取出的“兩行”相生的概率.故選：A.4．已知A，B是圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則（

）A．0 B．19 C． D．1【答案】B【分析】設(shè)，則，利用數(shù)量積公式以及圓的方程得出答案.【詳解】圓心坐標(biāo)為，設(shè)，則，.故選：B5．某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)學(xué)生為了測量該校操場旗桿的高AB，先在旗桿底端的正西方點(diǎn)C處測得桿頂?shù)难鼋菫?5°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)20m到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測得桿頂?shù)难鼋菫?0°，則旗桿的高為（

）A．20m B．10m C．m D．m【答案】B【分析】根據(jù)條件確定相關(guān)各角的度數(shù)，表示出，等邊的長度，然后在中用余弦定理即可解得答案.【詳解】如圖示，AB表示旗桿，由題意可知：，所以設(shè)，則，在中，,即，解得，（舍去），故選：B.6．已知函數(shù)，則不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（

）A．(1，＋∞） B． C． D．(－∞，1)【答案】B【分析】先分析出的奇偶性，再得出的單調(diào)性，由單調(diào)性結(jié)合奇偶性可解不等式.【詳解】的定義域滿足，由，所以在上恒成立.所以的定義域?yàn)閯t所以，即為奇函數(shù).設(shè)，由上可知為奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，均為增函數(shù)，則在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù).又為奇函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且所以在上為增函數(shù).又在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)所以在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)由不等式，即所以，則故選：B7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在橢圓C上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為，根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線，設(shè)，則，在中，分別求得，再利用余弦定理可得的齊次式，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以為等邊三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故選：B.8．已知三棱錐P－ABC的外接球半徑為4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，則三棱錐P－ABC體積的最大值是（

）A． B． C．24π D．【答案】A【分析】由已知可得的外接圓的半徑,由余弦定理和基本不等式可得底面面積的最大值，點(diǎn)P到平面的距離的最大值為，由所得最值結(jié)合體積公式即可得到答案.【詳解】由已知可得，的外接圓的半徑，且由余弦定理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以,又外接球的球心到平面的距離為，所以點(diǎn)P到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.故選：A9．正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的一種信號(hào)，因?yàn)檫@種信號(hào)的波形是數(shù)學(xué)上的正弦函數(shù)而得名，很多復(fù)雜的信號(hào)都可以通過多個(gè)正弦信號(hào)疊加得到，因而正弦信號(hào)在實(shí)際中作為典型信號(hào)或測試信號(hào)獲得廣泛應(yīng)用.已知某個(gè)信號(hào)的波形可以表示為f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x.則（

）A．f(x)的最大值為3 B．π是f(x)的一個(gè)周期C．f(x)的圖像關(guān)于(π，0)對稱 D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】C【分析】由函數(shù)解析式判斷各選項(xiàng)中的性質(zhì)可得．【詳解】取最大值1時(shí)，，，取最大值1時(shí)，，取最大值1時(shí)，，三者不可能同時(shí)取得，因此，A錯(cuò)；與不可能恒相等，不可能是周期，B錯(cuò)；，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確；函數(shù)圖象是連續(xù)的，而，，因此在上不可能遞增，D錯(cuò)誤．故選：C．二、多選題10．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則（

）A．若m//n，nα，則m//α B．若m⊥n，nα，則m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，則m//n【答案】CD【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】m//n，nα?xí)r，或，A錯(cuò)；m⊥n，nα，與可能平行，也可能有或相交，不一定垂直，B錯(cuò)；若m⊥α，n⊥α，由線面垂直性質(zhì)定理知，C正確；m//α，m//β，α∩β＝n，如圖，過作平面交于直線，由得，同理過作平面與交于直線，得，所以，而，所以，又．，則，所以．D正確．故選：CD．11．記橢圓與橢圓內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上任意一點(diǎn)，則（

）A．橢圓C1與橢圓C2的離心率相等B．曲線C關(guān)于y＝±x對稱C．P到點(diǎn)(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距離之和為定值D．P到原點(diǎn)的距離的最大值為【答案】ABD【分析】由橢圓的對稱性、橢圓的定義，對稱性的定義判斷求解．【詳解】由已知橢圓的長軸長和短軸長都分別相等，因此焦點(diǎn)也相等，從而離心率相同，A正確；用替換方程中的得的方程，同樣用替換中的得方程，因此橢圓與橢圓關(guān)于直線對稱，同理可得它們也關(guān)于直線對稱，因此它們的公共部分邊界線關(guān)于直線對稱，B正確；是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，在橢圓上時(shí)，是定值，但不是定值，所以不是定值，C錯(cuò)；設(shè)橢圓上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則，隨的增大而增大，由對稱性，曲線上，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，最大，，，因此，D正確．故選：ABD．12．若不相等正數(shù)a，b，滿足aa＝bb，則（

）A．a(chǎn)＞1 B．b＜1C． D．【答案】BCD【分析】將，變?yōu)?，再?gòu)造，然后研究其單調(diào)性可求解.【詳解】由，得，令，，解得，而時(shí)，；時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，故A不正確，B正確；要證明，即證明（），只須證，只須證.令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故C正確；由于在上單調(diào)遞增，而，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題13．已知的展開式中第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則這個(gè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_________.【答案】64【分析】先得出展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件先求出的值，然后再求各項(xiàng)系數(shù)的和.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為由為常數(shù)，則，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為故答案為：6414．寫出一個(gè)滿足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.【答案】（答案不唯一）．【分析】，然后變形可得．【詳解】由題意，因此（實(shí)際上）．故答案為：（答案不唯一）．15．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則x1x2x3的取值范圍是__________.【答案】【分析】設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為的圖像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，作出的圖像，得出的范圍，根據(jù)題意可得，設(shè),求出其導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】設(shè)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，即的圖像與直線有三個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)的圖像，如圖.根據(jù)圖像可得則是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則滿足，即所以設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞增，所以故答案為：四、雙空題16．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，AC1⊥平面α，當(dāng)平面α過點(diǎn)B1時(shí)，平面α截此正方體所得截面多邊形的面積為_________；當(dāng)平面α過線段BC中點(diǎn)時(shí)，平面α截此正方體所得截面多邊形的周長為_________.【答案】

【分析】由平面知識(shí)得出平面α截此正方體所得截面就是平面，再由面積公式得出平面α截此正方體所得截面多邊形的面積，取取的中點(diǎn)為，證明平面α截此正方體所得截面就是平面，最后由邊長關(guān)系得出周長.【詳解】如下圖所示，由平面，則，又，，所以平面，所以，同理可證，，由線面垂直判定可知平面，即平面α截此正方體所得截面就是平面，由可知，.分別取的中點(diǎn)為，連接，延長，容易得出的延長線交于一點(diǎn)，如下圖所示，因?yàn)?，所以共面，共面，平面平面，又平面，平面，所以共面，容易證明，由線面垂直判定可知平面，即平面α截此正方體所得截面就是平面，因?yàn)?，所以平面α截此正方體所得截面多邊形的周長為.故答案為：；五、解答題17．在①；②,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)判斷△ABC的形狀；(2)在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.【答案】(1)選①，等腰三角形；選②，等腰三角形或直角三角形；(2)選①，；選②，或；【分析】（1）選①，由正弦定理變形后可得；選②，由正弦定理及同角關(guān)系變形后，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得三角形為等腰三角形或直角三角形；（2）選①，由等腰三角形性質(zhì)求得底邊長，然后由余弦定理求得；選②，三角形為等腰三角形時(shí)同選①，三角形為直角三角形時(shí)，由求得，然后求得，用勾股定理求得．(1)選①，，由正弦定理理，即，又是三角形內(nèi)角，所以，△ABC是等腰三角形；選②，，由正弦定理得，所以，，又是銳角三角形內(nèi)角，所以或，所以或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；(2)選①，，則，，，中，由余弦定理得：，；選②，時(shí)同選①得，時(shí)，，則，，所以，，所以．18．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n頁和為Sn，且a1＝2，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】(1)由條件可得，從而可得，即證結(jié)論.(2)由（1）可得，從而求出，則可得，由裂項(xiàng)相消法可求和.(1)由，即，則所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)由（1）數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以，所以則所以即設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和則19．大氣污染物PM2.5(大氣中直徑小于或等于2.5μm的顆粒物)的濃度超過一定的限度會(huì)影響人的身體健康.為了研究PM2.5的濃度受汽車流量影響的程度，某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)選擇了學(xué)校附近5個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)每個(gè)監(jiān)測點(diǎn)24h內(nèi)過往的汽車流量(單位：千輛)，同時(shí)在低空相同的高度測定每個(gè)監(jiān)測點(diǎn)該時(shí)間段內(nèi)的PM2.5的平均濃度(單位：μg/m3)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：監(jiān)測點(diǎn)編號(hào)12345汽車流量1.31.21.61.00.9PM2.5濃度66721133435根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)建立PM2.5的濃度關(guān)于汽車流量的一元線性回歸模型；(2)我國規(guī)定空氣中PM2.5的濃度安全標(biāo)準(zhǔn)為24h平均濃度為75μg/m3，該地為使PM2.524h平均濃度不超過68.6，擬對汽車流量作適當(dāng)控制，請你根據(jù)本題數(shù)據(jù)估計(jì)汽車流量控制的最大值；(3)從5個(gè)監(jiān)測點(diǎn)中抽取3個(gè)，記PM2.5平均濃度不超過68.6的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：＝＝，＝－.【答案】(1)；(2)．(3)分布列見解析，期望為．【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算出方程的系數(shù)得回歸方程；（2）用回歸方程估計(jì)的濃度，解不等式可得；（3）5個(gè)監(jiān)測點(diǎn)中PM2.5平均濃度不超過68.6的有三個(gè)：1，4，5，用列舉法寫出任取3個(gè)的基本事件，并得出的基本事件，計(jì)數(shù)后可得概率，從而得分布列，由期望計(jì)算期望．(1),,,,所以回歸方程為；(2)，，最大值為．(3)從5個(gè)監(jiān)測點(diǎn)中任意抽取個(gè)的基本事件有：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345共10個(gè)，5個(gè)監(jiān)測點(diǎn)中，PM2.5平均濃度不超過68.6的有3個(gè)：編號(hào)1，4，5，因此的可能分別為，的基本事件有：123，234，235三個(gè)，，的基本事件有：124，125，134，135，245，345共6個(gè)，，的基本事件有：145一個(gè)，，的分布列為：123．20．在四棱錐A－BCDE中，直線AB⊥平面BCDE，底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn).(1)證明：AE⊥CE；(2)若平面ADF與平面ABE所成二面角為45°，求直線AD與平面ABE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由直線AB⊥平面BCDE，可得AB⊥BC，AB⊥BE，從而計(jì)算證明即可得證AE⊥CE；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面ADF與平面ABE所成二面角為45°，利用向量法求出的值，進(jìn)而利用向量法即可求解直線AD與平面ABE所成角的正弦值.(1)證明：因?yàn)橹本€AB⊥平面BCDE，所以AB⊥BC，AB⊥BE，因?yàn)榈酌鍮CDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，所以四邊形CDEF為正方形，，所以，，，所以，所以；(2)解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面ADF的法向量為，則，所以，因?yàn)橹本€AB⊥平面BCDE，所以AB⊥，又，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面的法向量為，因?yàn)槠矫鍭DF與平面ABE所成二面角為45°