2022湖南省邵陽(yáng)市高三上學(xué)期第一次聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

邵陽(yáng)市2022屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】B2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B3.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：任意一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1”問(wèn)題．它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤(rùn)等在哥德巴赫猜想的證明中都取得了相當(dāng)好的成績(jī)．若將14拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素?cái)?shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A4.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（）A.6 B. C.8 D.【答案】D5.在平行四邊形中，，則（）A.-5 B.-4 C.-3 D.-2【答案】A6.國(guó)慶長(zhǎng)假過(guò)后學(xué)生返校，某學(xué)校為了做好防疫工作組織了6個(gè)志愿服務(wù)小組，分配到4個(gè)大門(mén)進(jìn)行行李搬運(yùn)志愿服務(wù)，若每個(gè)大門(mén)至少分配1個(gè)志愿服務(wù)小組，每個(gè)志愿服務(wù)小組只能在1個(gè)大門(mén)進(jìn)行服務(wù)，則不同分配方法種數(shù)為（）A.65 B.125 C.780 D.1560【答案】D7.雙曲線(xiàn)，左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，的內(nèi)切圓圓心為，則四邊形的面積是（）A. B. C. D.【答案】C8.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào).設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.4950 B.4953 C.4956 D.4959【答案】C二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列命題，其中正確的命題有（）A.“”是“”的必要不充分條件B已知命題：“，”，則：“，”C若隨機(jī)變量，則D.已知隨機(jī)變量，且，則【答案】BCD10.已知函數(shù)的零點(diǎn)按照由小到大的順序依次構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（）A.在在單調(diào)遞增B.，C.把的圖像向右平移個(gè)單位即可得到的圖像D.若在上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】BD11.雙曲函數(shù)在實(shí)際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋．在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類(lèi)與三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)共有三個(gè)交點(diǎn)，分別為，則D.是一個(gè)偶函數(shù)，且存在最小值【答案】ABD12.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B.當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是【答案】AC三?填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則___________．【答案】14.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__________．【答案】1015.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，若，則的值為_(kāi)__________．【答案】116.已知是平面向量，與是單位向量，且，若，則的最小值為_(kāi)____________．【答案】四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，若邊對(duì)應(yīng)的角分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將邊化角，再利用輔助角公式得到，即可求出；（2）依題意可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得在，，∴∴，即又，∴∴，∴【小?wèn)2詳解】解：∵且，∴，∴∴18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知列式解方程組可得解.（2）裂項(xiàng)求和即可.【小問(wèn)1詳解】∵當(dāng)，，兩式相減可得由，代入可得，滿(mǎn)足，所以為等比數(shù)列，∴，不妨設(shè)等差數(shù)列公差為，由條件可得，即，解得，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）可知∴.19.如圖，在空間幾何體中，已知均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面和平面都與平面垂直，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，且，再利用線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到答案；（2）連接，則易知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出向量及平面的法向量，代入夾角公式，即可得到答案；【小問(wèn)1詳解】證明：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理平面，所以，又因?yàn)槭侨鹊恼切?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?；【小?wèn)2詳解】連接，則易知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，所以則，取，則，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則．

20.2021年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)舉重代表隊(duì)共10人，其中主教練、教練各1人，參賽選手8人，賽后結(jié)果7金1銀，在全世界面前展現(xiàn)了真正的中國(guó)力量；舉重比賽根據(jù)體重進(jìn)行分級(jí)，某次舉重比賽中，男子舉重按運(yùn)動(dòng)員體重分為下列十級(jí)：級(jí)別54公斤級(jí)59公斤級(jí)64公斤級(jí)70公斤級(jí)76公斤級(jí)體重級(jí)別83公斤級(jí)91公斤級(jí)99公斤級(jí)108公斤級(jí)108公斤級(jí)以上體重每個(gè)級(jí)別的比賽分為抓舉與挺舉兩個(gè)部分，最后綜合兩部分的成績(jī)得出總成績(jī)，所舉重量最大者獲勝，在該次舉重比賽中，獲得金牌的運(yùn)動(dòng)員的體重以及舉重成績(jī)?nèi)缦卤眢w重5459647076839199106舉重成績(jī)291304337353363389406421430（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出運(yùn)動(dòng)員舉重成績(jī)與運(yùn)動(dòng)員的體重的回歸直線(xiàn)方程（保留1位小數(shù)）；（2）某金牌運(yùn)動(dòng)員抓舉成績(jī)?yōu)?80公斤，挺舉成績(jī)?yōu)?18公斤，則該運(yùn)動(dòng)員最有可能是參加的哪個(gè)級(jí)別的舉重？（3）凱旋回國(guó)后，中央一臺(tái)記者從團(tuán)隊(duì)的10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪(fǎng)談，用表示抽取到的是金牌得主的人數(shù)，求的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：；參考公式：．【答案】（1）（2）參加的應(yīng)該是91公斤級(jí)舉重（3）分布列見(jiàn)解析；期望為【解析】【分析】（1）依題意，計(jì)算出，由公式求得，由此求得回歸方程．（2）根據(jù)回歸方程得：，解之可判斷.（3）隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，求出對(duì)應(yīng)概率，列出分布列，利用期望公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，，則，故回歸方程為：；【小問(wèn)2詳解】該運(yùn)動(dòng)員的抓舉和挺舉的總成績(jī)?yōu)?98公斤，根據(jù)回歸方程可知：，解得，即該運(yùn)動(dòng)員的體重應(yīng)該在90公斤左右，即參加的應(yīng)該是91公斤級(jí)舉重；【小問(wèn)3詳解】隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3．則，，，，所以隨機(jī)變量的概率分布列為：0123所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．21.已知圓，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段相交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知為點(diǎn)的軌跡上三個(gè)點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意即可求解；（2）由題意可知為的重心，則有，只需求三角形面積即可，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式和已知條件可求出三角形的底和高的長(zhǎng)，即可得解.【小問(wèn)1詳解】由已知有，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，∴，∴點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)2詳解】由，可知為的重心，∴，由已知的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，由，則，，由，，∴，，∴．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，便可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);（2）利用（1）的結(jié)論，便可知函數(shù)在時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，再構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，可將雙變量變?yōu)閱巫兞?，?duì)該新函數(shù)進(jìn)行研究即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰佼?dāng)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，（i）時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；（ii），由時(shí)，，，∴在只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（注意時(shí)，，時(shí)，）所以，（i）即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；（ii），即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；（iii）即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；方法二：時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；時(shí)，由，令，則，由，則時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，則，做