2022陜西省咸陽市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022屆陜西省咸陽市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z,則可得，即可得答案.【詳解】因為，所以，故，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D.2．已知集合，那么集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解一元二次不等式解得集合，再利用集合的交運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故.故選：C.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，定義域為，且，故其為奇函數(shù)，不滿足題意；對B：，定義域為，且，故其為偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，滿足題意；對C：，定義域為，是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；對D：，當(dāng)時，是單調(diào)減函數(shù)，不滿足題意；故選：B.4．《幾何原本》又稱《原本》，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語的最早譯本是由中國明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年，該書據(jù)克拉維斯的拉丁文本《歐幾里得原本十五卷》譯出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章內(nèi)容，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里面任選3章進(jìn)行選修并計人學(xué)分．則數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出從這7章里面任選3章共有的選法數(shù)，再求出張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的選法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式可求答案.【詳解】數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里面任選3章共有種選法；數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章共有選法種，故張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為,故選：C.5．的展開式中，x的系數(shù)為（

）A．10 B． C．20 D．【答案】A【分析】寫出的展開式的通式，利用x的次數(shù)為1列方程求出，進(jìn)而可得x的系數(shù).【詳解】的展開式的通式為：令得，x的系數(shù)為.故選：A.6．已知等差數(shù)列的公差為，其前n項和為．若成等比數(shù)列，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件得到，利用等差數(shù)列的通項公式代入解方程可得，再利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式逐項計算判斷即可.【詳解】因為成等比數(shù)列，則，解得，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.7．已知角終邊上一點(diǎn)，那么（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得,再利用二倍角公式求得，接著求得，最后利用兩角和的余弦公式求得答案.【詳解】，，所以角終邊上一點(diǎn)，即，,故，所以，所以，，所以，故選：A.8．已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意求出外接球的半徑，將正四面體補(bǔ)成正方體，求出其棱長，用正方體的體積減去四個小的三棱錐體積即為所求.【詳解】設(shè)外接球半徑為，則，解得,將正四面體恢復(fù)成正方體，知正四面體的棱為正方體的面對角線，則正四面體的外接球即為正方體的外接球，則正方體的體對角線等于外接球的直徑，故，解得，正方體棱長為，故該正四面體的體積為，故選：A．9．如圖所示，已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是條漸近線，在上分別有點(diǎn)（不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），若四邊形為菱形，且其面積為．則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的面積可知，再根據(jù)勾股定理可得，即，進(jìn)而求出，根據(jù)漸近線的斜率，可得，再利用離心率，即可求出結(jié)果.【詳解】由四邊形為菱形，則，所以菱形的面積為所以，又，所以，即，又點(diǎn)分別是漸近線上的點(diǎn)，所以漸近線的斜率，故雙曲線的離心率為.故選：B.10．如圖，在直二面角中，是直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，且，，，那么直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求得答案.【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)B作BC的垂線為x軸，以BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,故,則,故直線與直線所成角的余弦值為，故選：B.11．已知實數(shù)，滿足，若不等式對任意的正實數(shù)恒成立，那么實數(shù)m的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】由根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求實數(shù)m的最大值.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，∵

∴

，即，又，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∵不等式對任意的正實數(shù)恒成立，∴，故選：D.12．設(shè)實數(shù)，那么的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可比較大小.【詳解】令，令，，在上是減函數(shù)，，在上是減函數(shù)，又，，即故選：C.二、填空題13．經(jīng)統(tǒng)計，某校高三學(xué)生期末數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，，且，則從該校任選一名高三學(xué)生，其成績不低于90分的概率為_________．【答案】0.35720【分析】由已知直接利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解．【詳解】∵學(xué)生成績X服從正態(tài)分布，且，∵,∴從該市任選一名高三學(xué)生，其成績不低于90分的概率是．故答案為：14．已知向量的夾角為，且，則向量與向量的夾角等于________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，再根據(jù)數(shù)量積求向量夾角即可.【詳解】根據(jù)題意可得，則，，設(shè)向量與向量的夾角為，故，又，故.故答案為：.15．已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線既是拋物線的切線，又是圓的切線，則_______．【答案】【分析】聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用，以及直線與圓的位置關(guān)系，則圓心到直線的距離等于半徑，即可求得參數(shù)的值.【詳解】聯(lián)立與，可得，因為直線與拋物線相切，故，即；因為直線與圓相切，故可得圓心到直線的距離；則，解得（舍）或.故答案為：.16．已知數(shù)列的通項公式是，數(shù)列的前n項和為，且．那么_________．【答案】【分析】求出數(shù)列的通項公式，然后將展開，裂項求和即可得答案.【詳解】數(shù)列的前n項和為，且,則，當(dāng)時，，故,故，故答案為：三、解答題17．在中，分別是角所對的邊，滿足．(1)求角B大?。?2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角公式整理計算即可得答案；（2）利用消去中的，再利用三角公式變形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍.(1)，由正弦定理知：．即：，又；(2)，且．，故的取值范圍是.18．如圖，已知三棱柱中，側(cè)面底面為等腰直角三角形，．(1)若O為的中點(diǎn)，求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)題意可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可證明；(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面的法向量和，結(jié)合空間向量的數(shù)量積計算即可.(1)為等腰直角三角形，，由O為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面．平面，又平面．(2)為等腰直角三角形，，又四邊形為菱形，為正三角形，，又平面平面，平面平面，平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，．又，設(shè)是平面的一個法向量，則，即令，則．設(shè)直線與平面所成的角為，則．19．為豐富社區(qū)群眾的文化生活，某社區(qū)利用周末舉辦羽毛球比賽．經(jīng)過抽簽，甲乙兩人進(jìn)行比賽，比賽實行三局兩勝制（若某人勝了兩局則為獲勝方，比賽結(jié)束）．根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲乙兩人比賽時，甲每局獲勝的概率為，每局比賽相互獨(dú)立．(1)求甲獲勝的概率；(2)比賽規(guī)則規(guī)定：比賽實行積分制，勝一局得3分，負(fù)一局得1分；若連勝兩局，則還可獲得5分的加分．用X表示甲乙比賽結(jié)束后甲獲得的積分,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）列表列出甲獲勝的可能情況，由此求得答案；（2）列出比賽結(jié)果的所有可能情況，根據(jù)互斥事件以及相互獨(dú)立事件的概率計算，求得答案.(1)甲獲勝的情況如下表：第一局第二局第三局概率勝勝勝負(fù)勝負(fù)勝勝則甲獲勝的概率為．(2)第一局第二局第三局得分概率勝勝11負(fù)負(fù)2勝負(fù)勝7負(fù)勝勝12勝負(fù)負(fù)5負(fù)勝負(fù)5可知：．，，．X的分布列為：X2571112P20．如圖，已知橢圓分別是長軸的左、右兩個端點(diǎn)，是右焦點(diǎn)．橢圓C過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線上有兩個點(diǎn)，且，連接交橢圓C于另一點(diǎn)P（不同于點(diǎn)），證明：三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合求出，即可得出答案；（2）設(shè)，由，可得，求出直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明，即可得出結(jié)論.(1)解：由題意可知：，，橢圓C的方程為；(2)證明：設(shè)，由于，因此，，直線的斜率為，直線的方程為，代入橢圓方程得：，整理得：，設(shè)，代入直線的方程得，直線的斜率為，直線的斜率為，，所以三點(diǎn)共線．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可求，利用二次函數(shù)的性質(zhì)通過分類討論可求；（2）由題可得函數(shù)的最小值為，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，可求函數(shù)的最大值為，即證.(1)∵，函數(shù)的定義域，∴，設(shè)，函數(shù)是開口向下的拋物線，又．①當(dāng)時，，又，即，因此在上單調(diào)遞減．②當(dāng)時，有兩個不等實根，設(shè)兩個根為，且．，可知，解得，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)要證明成立，即就是證明成立．當(dāng)時，由上可知，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此函數(shù)的最小值為．設(shè)．因此，當(dāng)時，在區(qū)間上遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上遞減，所以的最大值為，因此對任意，總有，故．【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.22．直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式，直接求得答案.（2）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，化簡可得其參數(shù)方程，繼而可化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程.(1)曲