中心極限定理教學設計

中心極限定理教學設計（共29頁）-本頁僅作為預覽文檔封面，使用時請刪除本頁-#概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學設計課程名稱經(jīng)濟應用數(shù)學C課時50+50=100分鐘任課教師李飛專業(yè)與班級人力資源管理B1601-02市場營銷B1601課型新授課課題中心極限定理學習目標知識與技能掌握棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理和列維一林德伯格中心極限定理（獨立同分布中心極限定理）的結論和應用條件，并會用相關定理近似計算有關隨機事件的概率；過程與方法.中心極限定理產(chǎn)生的歷史背景。.中心極限定理的提法..林德伯格——勒維中心極限定理.隸莫弗——拉普拉斯定理.林德貝格中心極限定理.李雅普諾夫中心極限定理.中心極限定理在管理中的應用情感態(tài)度與價值觀.培養(yǎng)學生能夠自覺地用極限定理的視角觀察生活，將統(tǒng)計方法用于分析和探討生活中的實際問題，提高認知能力和水平..中心極限定理名稱的得來是由于隨機變量和的分布收斂于正態(tài)分布的極限定理的研究在長達兩個世紀的時間內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此也得到了中心極限定理的名稱..讓學生懂得，量變與質(zhì)變的辯證關系。.教學分析教學內(nèi)容.中心極限定理產(chǎn)生的歷史背景。.中心極限定理的提法..林德伯格——勒維中心極限定理.隸莫弗——拉普拉斯定理.林德貝格中心極限定理.李雅普諾夫中心極限定理.中心極限定理在管理中的應用

教學重點.隸莫弗——拉普拉斯定理；.李雅普諾夫中心極限定理；教學難點.隸莫弗——拉普拉斯定理；.李雅普諾夫中心極限定理；教學方法與策略課堂教學設計思路本課從隨機變量序列的各種收斂與它們間的關系談起，通過對概率論的經(jīng)典定理一中心極限定理在獨立同分布和不同分布兩種情況下的結論作了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)一平均結果的穩(wěn)定性.經(jīng)過對中心極限定理的討論，給出了獨立隨機變量之和的分布可以用正態(tài)分布來表示的理論依據(jù).同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨立同分布與獨立不同分布兩個角度來進行討論;最后給出了一些中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計、管理決策、近似計算、以及保險業(yè)等方面的應用，來進一步地闡明了中心極限定理在各分支學科中的重要作用和應用價值.板書設計

教學進程教學意圖教學內(nèi)容教學環(huán)節(jié)1.極大似然估計的原理與思想（10分鐘）中心極限定理的提法概率統(tǒng)計學是一門研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性［1］的數(shù)學學科，它的應用十分廣泛，涉及自然科學、社會經(jīng)濟學科、工程技術及軍事科學、農(nóng)醫(yī)學科、企業(yè)管理部門等.而大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中最重要的內(nèi)容之一，甚至可以說概率論的真正歷史開始于極限定理的研究，在這以前概率論還僅局限于古典概率的直接計算，而且主要是賭博中的概率計算⑵.極限定理最早的成果有:伯努利大數(shù)定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，這些定理開辟了概率論中的重要研究方向一大數(shù)定律、中心極限定理及以正態(tài)分布和泊松分布為代表的無窮可分分布的研究.概率論中討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理是概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實際應用背景.在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產(chǎn)生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的.中心極限定理就是從數(shù)學上證明了這一現(xiàn)象.最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，某事件A出現(xiàn)的次數(shù)漸近于正態(tài)分布的問題.1716年前后，棣莫佛對n重伯努利試驗中每次試驗事件A出現(xiàn)的概率為1/2的情況進行了討論，隨后，拉普拉斯和李亞普諾夫等進行了推廣和改進.自萊維在1919-1925年系統(tǒng)地建立了特征函數(shù)理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展，先后產(chǎn)生了普遍極限定理和局部極限定理等.無論是在概率論的發(fā)展史上還是在現(xiàn)代概率論中，極限定理的研究都占特別重要的地位，也是數(shù)理統(tǒng)計學的基石之一，其理論成果也比較完美.長期以來，對于極限定理的研究所形成的概率論分析方法，影響著概率論的發(fā)展.同時新的極限理論問題也時間：10分鐘中心極限定理的名稱最早是由仆里耶（1920年）提出來的，中心極限定理的一般形式最早是由切比雪夫（1821年一1894年）提出來的下面我們介紹四個主要定理：1）林德伯格一勒維定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德伯格定理3）李雅普諾夫定理.其中

在實際中不斷產(chǎn)生.這樣中心極限定理在概率論中占有重要的地位，同時極限定理的研究引起了現(xiàn)代概律論的發(fā)展，并且在統(tǒng)計分析和近似計算等方面具有一定的應用，所以中心極限定理的研究具有一定的理論和實際意義.直觀上，如果一隨機變量決定于大量（乃至無窮多個）隨機.因素的總合，其中每個隨機因素的單獨作用微不足道，而且各因素的作用相對均勻，那么它就服從（或近似地服從）正態(tài)分布，下面我們將按嚴格的數(shù)學形式來表述這一直觀.在許多情形下，一隨機變量X可以表示為或近似地表示為大量獨立隨機變量之和，X=己+己+?芯 M12 n （a）這里，每個白直觀上表示一種隨機因素的效應，i假如式（a）包含了決定X的充分多的隨機因素的效應（即n充分大，則Z匕的分布就近似于X的分布.中ii=1心極限定理就是要說明，在什么條件下大量獨立隨機變量之和近似地服從正態(tài)分布，即，在什么條件下，當nT0時，獨立隨機變量之和的極限分布是正態(tài)分布的.林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推論.

累計10分鐘引入中心極限定理的基本思想累計20分鐘中心極限定理有多種不同的形式，它們的結論相同，區(qū)別僅在于加在各被加項己，己，…上的條件不1 2同.獨立同分布隨機變量列的中心極限定理，是中心極限定理最簡單又最常用(特別在數(shù)理統(tǒng)計中)的一種形式，通常稱做林德伯格--—勒維定理.歷史上最早的中心極限定理一棣莫弗-拉普拉斯(積分)定理是它的特殊情形.設5(k=1,2,…)的方差D己，大于0，令ka=E匕,b2=Dg,B2=Eb2k k kn kk=1我們說，隨機變數(shù)列也｝服從中心極限定理，如k果關于xeR均勻的有1limP<—2E(己—a)<x>=/fxe-三出.n-s〔B一kk 1市田nk=1(2)表示：隨機變量數(shù)(Z&-a)的分布B kknk=1函數(shù)關于%均勻的趨于正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù).時間：5分鐘用足球比賽事件引入達到以下目的：①吸引學生注意力，使學生盡快進入上課狀態(tài)；②幫助學生深入淺出的理解極大似然估計的基本思想.教學意圖教學內(nèi)容教學環(huán)節(jié)獨立同分布的兩個定理：林德伯格——勒維中心極限定理時間20分鐘提問：如何

林德伯格—--勒維中心設X,X，…,X，…相互獨立，服從同一分布，具1 2 n有數(shù)學期望和方差：E(X)=%Var(x)=O2>0.記i iX+X+…+X—n|lxY*=-1 2 ———n n o冊則對任意實數(shù)y，有一… 、一、 1h也，limp(Y*<y)=0(y)= Jye2dt.n.+<? n \/2兀-<?證明為證(1)式，只須證Y*｝的分布函數(shù)列n若收斂于標準正態(tài)分布.又由定理4.3.4現(xiàn)只須證1」的特征函數(shù)列收斂于標準正態(tài)分布的特征函n數(shù).為此設X-的的特征函數(shù)為①(t),則Y*的特征n n函數(shù)為,、「，t、In①(t戶叭丁)Yn” L0vn」又因為E(X-N)=0,Var(X-N)=o2,所以n n有0(0)=0 ,①〃(0)=-O2于是特征函數(shù)①(t)有展開式. .. 12①(t)=w(0)+6(0)t+①(0)—+o(12)2=1-—O212+O(12)從而有度量樣本值出現(xiàn)的可能性？

lim①(t)=limY*nf+8Yn nf+81-:+。(上)2n n2n t2.—=e2,t2而e-2正是N(0,1)分布的特征函數(shù)，定理得證.例1某汽車銷售點每天出售的汽車輛數(shù)服從參數(shù)為入-2的泊松分布.若一年365天都經(jīng)營汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率.解：設1某汽車銷售點每天出售的汽車輛數(shù)，則Y=1+1+…+x ，為一年的總銷量.由1 2 365E(1)=Var(1)=2 , 知i iE(Y)=Var(Y)=365x2=730.利用林德貝格一-勒維中心極限定理可得，700-730累計40分鐘P(Y>700)=1-P(Y<700)氏1-①(—)=1—(J730這表明一年中售出700輛以上汽車的概率為0.8665D(-111)=0.8665

隸莫弗——拉普拉斯定理(10分鐘)100x0.2〈0.2x0.8教學意圖教學內(nèi)容教學環(huán)節(jié)隸莫弗拉普拉斯定理在n重貝努里試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為P(0<p<1)，N為n次試驗中事件A出現(xiàn)的n次數(shù)，且記V*」-npy* n -nqnpq且對任意實數(shù)y，有一, 、一、if衛(wèi)，limp(Y*<y)=0(y)= —Jye2dt.n.+<? n J2兀-<?此定理由定理1馬上就得出，也就是說定理2是定理1的推論.例2某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%,以X表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù).⑴寫出X的分布列；(2)求被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.解：⑴X服從n=100,p=0.2的二項分布b(100,2),即一(nY___ _一p(x=k)= 0.2k0.8100-k,k=1,2,…,n(k)⑵利用隸莫弗——拉普拉斯中心極限定理,有p(14<x<30)=p(13.5<x<30.5)六①(30.5-100x0，100x0.2x0時間10分鐘主要依據(jù)上邊的例題，歸納總結離散型總體下似然函數(shù)的構建..2、~13.5-=)-0(^=).8 或00：

累計50分鐘二①(2.625)—①(—1.625)=①(2.625)-1+①(1.62這表明被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值為0.9437.j)=0.99565-課間休息10分鐘3.極大似然估計法應用(15分鐘)教學意圖教學內(nèi)容教學環(huán)節(jié)林德貝格中心極限定理對于獨立同分布隨機變量序列己,己，…只要它們1 2的方差有窮，中心極限定理就成立.而在實際問題中說諸己具有獨立性是常見的，但是很難說諸己是“同i i分布”的隨機變量，正如前面提到的測量誤差Y的產(chǎn)n生是由大量“微小的”相互獨立的隨機因素疊加而成的，即Y=￡匕則，間具有獨立性，但不一定同分n i ii=1布，所以我們有必要討論獨立不同分布隨機變量和的極限分布問題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件.林德伯格(Lideberg)于1922年找到了獨立隨機變量服從中心極限定理的最一般的條件，通常稱做林德伯格條件.3.1林德貝格中心極限定理設獨立隨機變量序列｛X｝滿足林德貝格條n件，則對任意的X，有l(wèi)imPJ—X(X-從)<J=^L=fXe-；dt.n-8 1BAii 1 5-8ni=1為證此，先證下列三個不等式：對任意實數(shù)〃,有eia-1<a ；時間5分鐘通過指數(shù)分布(連續(xù)型)參數(shù)的極大似然估計，進一步鞏固極大似然估計的方法與步驟，同時體現(xiàn)極大似然估計法在工作生活中有著很廣泛、很重要的應用.1+0.948=0.9437累計15分鐘⑷eia—1—iaV—2!⑸I?,a2,a2eia一1一ia+—< 2 3!實際上，對a=0上三式明顯.設a>0，貝IJeia-1=Jaeixdx<a；eia一1-ia=|Ja(eix_1)dx<|Jaxdx=a2!；eia—1—ia+ =|Ja(eix—1—ix)dx<Ja>eix—1—ixdx<Jax!dx=a3!利用eia=cosa+isina,可見(4)(5)(6)方都是a的偶函數(shù)，故他們對a<0也成立.李雅普諾夫中心極限定理如對獨立隨機變數(shù)列七J,存在常數(shù)。＞0,使當nf8時有Ze肉+a2”-0 (25)B2+o k knk=1時間15分鐘

李雅普諾夫中心極限定理則(2)對X均勻的成立.證.只要驗證林德貝格條件滿足，由(25)—Zj (x-a)2dF(x)B211X-心B kknk=1 kn< 1 Zj X-a2+。dF(x)B2(TBk一lx-魄LB1 k kn k=1 kn1 1V .2+。 一< 乙Em+a—0,(n-8)T。B2+。 k k1nk=1例3一份考卷由99個題目組成,并按由易到難順序排列.某學生答對第1題的概率為0.99;答對第2題的概率為0.98;一般地，他答對第i題的概率為1-i/100,i=1,2,….加入該學生回答各題目是相互獨立的，并且要正確回答其中60個題目以上(包括60個)才算通過考試.試計算該學生通過考試的可能性多大？解設V [1,若學生答對第題；X.=i 0,若學生答錯第題.于是X相互獨立，且服從不同的二點分布：ip(X=1)=p=1-i/100,p(X=0)=1-p=i/100,i i i i 'i=1,2,口,99

而我們要求的是p（藝X>60）.ii=1為使用中心極限定理，我們可以設想從X100開始的隨機變量都與X同分布.且相互獨立.下面我99們用5=1來驗證隨機變量序列｛X｝滿足李雅普諾夫nB=2varB=2var(X)='i=12p(1一p)-+s,(n-+s)iii=1TOC\o"1-5"\h\zE(IX一P13)=P3(1-P)+P(1-P)3工P(1-P)，

ii i ii i i i于是\o"CurrentDocument"!￡e（X-P3）< --0\o"CurrentDocument"B3..iiV,一 、12…=1 2P（1一P）ii\o"CurrentDocument"Li=1 」（n—+8），即｛X｝滿足李雅普諾夫條件（25），所以可以使n用中心極限定理.又因為TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"E(2X)=2P=2(1--i-)=49.5

ii 100i=1 i=1 i=1B2=2Var(X)=2(1--)(—)=16.66599 i 100100\o"CurrentDocument"i=1 i=1所以該學生通過考試的可能性為

累計30分鐘一 |藝X—49.5尸丫>附 ' >60—495p(\X>60)=p<i >i J16.665 J16.665iT l-1—①(2.5735)=0.005.由此看出：此學生通過考試的可能性很小只有千分之五.[、，大約中心極限定理在商業(yè)管理中的應用(20分鐘)教學意圖教學環(huán)節(jié)水房擁擠問題假設某高校有學生5000人，只有一個開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學排長隊的現(xiàn)象，為此校學生會特向?qū)W校后勤集團公司提議增設水龍頭.假設后勤集團公司經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學生在傍晚一般有1%的時間要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭數(shù)量為45個，現(xiàn)在總務處遇到的問題是：(1)未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少(2)需至少要裝多少個水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠解：(1)設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭的人數(shù)為X,則X?B(5000,時間10分鐘提問，請學生思考.0.01)擁擠的概率是p&>45)=1-p(0<^<45)=1—XCkx0.01kx0.(5000k=0直接計算相當麻煩，我們利用隸莫佛-拉普拉斯定理.已知n=5000,p=0.01,q=0.99,np=50,、/npq=7.04.故P(0&工&45)氏①145-501-①]0-^01=①(-17.04) 17.04)從而p&>45)=1-0.2389=0.7611.怪不得同學們有不少的抱怨.擁擠的概率竟達到76.11%.(2)欲求m,使得P(0<]<45)>0.95即/m-501/0-50Vnnc①一①>0.9517.04) 17.04)由 于①(￡z1=①17.09)氏017.04)即①(m-50]>0.9517.04)查標準正態(tài)分布表，得995000-k0.71)-①(-7.1)=0.2389.m一50r/… >1.6457.04即 m>61.6故需要裝62個水龍頭.問題的變形：(3)需至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？解：欲求m，使得P(0&工&45)>0.99即①1m-50_]—①(0-50]>0.99(7.04) 17.04)由 于①]￡z121=①(-7.09)氏0.76(7.04)即①(m-50]>0.9917.04)查標準正態(tài)分布表，得m-50>2,3257.04即 m>66.4故需要裝67個水龍頭.(4)若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個，其余的條件不變,1,2兩問題結果如何？解 ： ( 1 )p化>55)=1-①J；,：0)=1-①(0.71)=0.2389.

(2)同上.(5)若條件中的每個學生占用由1%提高到1.5%，其余的條件不變，則(1)，(2)兩問題結果如何解：(1)設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭的人數(shù)為x，則X?B(5000,0.015),已知n=5000,p=0.015,q=0.985,np=75,i，npq=8.60.擁 擠 的 概 率 是P&>45)=1-①145-75]=1-①(-3.49)氏1.18.60)擁擠的概率竟達到100%.(2)欲求m,使得P(0<^<45)>0.95即Jm-75) (00-75)、八”①一①>0.9518.60) 18.60)― J0-751八由于 ① 六0(8.60)即①]m一及]>0.95(8.60)m—75一一一查標準正態(tài)分布表，得 >1.6458.60即 m>89.14故需要裝90個水龍頭.

累計40分鐘盈利問題保險的概10006000X~4000=P'盈利問題⑸：假設一家保險公司有10000個人參加每人每年付12元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡率為0.006,死亡時，家屬可向保險公司領得元，問(1)保險公司虧本的概率有多少？(2)保險公司一年的利潤不少于40000元，10元，80000元的概率各為多少？解：設X為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則B(10000,1.06),即由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理⑴網(wǎng)保險金虧本)二產(chǎn)］發(fā):1判=1-產(chǎn)｛￡r1^-10000x0.06 120-10C二1一F《廣 >「時間10分鐘01…，10?？?/p>