高等數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)

彭富連沈竹制作基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)電子教案湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院1主編彭富連劉迪芬湖南教育出版社《基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)》2前言一、文科生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的高等數(shù)學(xué)是理科、工科、經(jīng)濟(jì)、管理、醫(yī)學(xué)類學(xué)生的一門先行的基礎(chǔ)理論課；隨著世界進(jìn)入信息時(shí)代，計(jì)算機(jī)日益普及,高等數(shù)學(xué)已經(jīng)深入到社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域。作為加強(qiáng)大學(xué)生文化素質(zhì)的一項(xiàng)措施,高等數(shù)學(xué)已被列入到文科的教學(xué)計(jì)劃之內(nèi)。因此,高等數(shù)學(xué)不只是理工科學(xué)生的3一方面使學(xué)生獲得相應(yīng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)—基本理論和基本計(jì)算方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)；必修科目,同時(shí)也是許多非理工科學(xué)生的必修科目。文科生開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)的目的:另一方面使學(xué)生學(xué)會(huì)一定的數(shù)學(xué)思維方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。對(duì)文科生來(lái)說(shuō)，后者顯得更為重要。4二、文科生開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容本書(shū)在取材時(shí)選擇了高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的三個(gè)部分內(nèi)容：

微積分是人類二千年來(lái)智力奮斗的結(jié)晶，有著廣泛而深刻的應(yīng)用，又是其他課程的基礎(chǔ)，理所當(dāng)然的是本書(shū)的主體部分。一元函數(shù)微積分線性代數(shù)概率統(tǒng)計(jì)初步5第一章預(yù)備知識(shí)第二章極限與連續(xù)

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第五章不定積分

第六章定積分及其應(yīng)用根據(jù)我校課時(shí)計(jì)劃，主要介紹第一編中的一元微積分，內(nèi)容包括：6重點(diǎn):極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、應(yīng)用難點(diǎn):極限、應(yīng)用三、重點(diǎn)、難點(diǎn)1、牢固掌握基本概念、基本理論、基本計(jì)算方法;

四、要求2、按質(zhì)按量獨(dú)立完成作業(yè);不遲到,不缺課.能熟練地用所學(xué)的方法去解決一些實(shí)際問(wèn)題.7五、高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法預(yù)習(xí)聽(tīng)課復(fù)習(xí)練習(xí)課堂外課堂內(nèi)四步學(xué)習(xí)法：8六、參考書(shū)彭富連、劉迪芬主編：

《基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題解答》

湖南教育出版社出版彭富連主編：《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》

湖南師大出版社出版彭富連主編：《高等數(shù)學(xué)》（上）湖南師大出版社出版9第一章預(yù)備知識(shí)10§1集合§2函數(shù)§3函數(shù)的性質(zhì)§4反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)§5初等函數(shù)11基本要求

3、了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性;4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。1、了解集合的概念及區(qū)間和鄰域的表示法;2、了解函數(shù)的概念(基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù))及函數(shù)的定義域求法;12§1集合1.1集合的概念及運(yùn)算1.集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.不含任何元素的集合稱為空集,有限集(列舉法)無(wú)限集(描術(shù)法)常用記號(hào),13Q---有理數(shù)集R---實(shí)數(shù)集N---自然數(shù)集A=BZ---整數(shù)集---正整數(shù)集平面上全體點(diǎn)組成的集合,記作2.集合的運(yùn)算U表全集,差集叫做集合A(直積)或在集合U中的補(bǔ)集或余集,記作或14交換律結(jié)合律分配律對(duì)偶律15(1)實(shí)數(shù)集的構(gòu)成1.2區(qū)間與鄰域

(2)實(shí)數(shù)的點(diǎn)的表示數(shù)軸：X

O

a1

b

16稱為開(kāi)區(qū)間,稱為閉區(qū)間,(3)區(qū)間是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).設(shè)a,b∈R,且a＜b.1.2區(qū)間與鄰域

集合

集合

17稱為半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間,有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.18(4)鄰域定義19習(xí)題一5.用區(qū)間表示下列不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出來(lái):(4)0＜|2x+1|＜2解:6.開(kāi)區(qū)間(1,3)是()(A)點(diǎn)3的鄰域(B)點(diǎn)2的1鄰域(C)1的鄰域(D)以2為中心,1.5為半徑的鄰域B20§2函數(shù)(1)常量與變量動(dòng)點(diǎn)2.1函數(shù)的定義定點(diǎn)21（2）函數(shù)的定義落地時(shí)間為t=T,那么與之間的依賴關(guān)系由公式

(1)確定,其中為g重力加速度.例1自由落體問(wèn)題設(shè)物體下落的時(shí)間為t,下落的距離為s,假定開(kāi)始下落的時(shí)刻為在這個(gè)關(guān)系中,距離s隨著時(shí)間t的變化而變化.22函數(shù)，記作

總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱法則如果在集合X中取定每一個(gè)數(shù)值時(shí),變量依照某種定義是兩個(gè)變量，X是一個(gè)給定的數(shù)集,yx和設(shè)在點(diǎn)處的函數(shù)值,記作

稱為函數(shù)當(dāng)取數(shù)值時(shí)，與對(duì)應(yīng)的的數(shù)值稱為因變量。變量數(shù)集X叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，變量稱為自變量，23學(xué)中所介紹的實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射.稱為函數(shù)的值域.}),({XxxfyyY?==函數(shù)值全體組成的數(shù)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集在平面直角坐標(biāo)系中,的圖形.稱為定義在X上的函數(shù)的定義可知,函數(shù)實(shí)際上即我們中學(xué)數(shù)由函數(shù)24一般說(shuō)來(lái),函數(shù)的圖形是一條平面曲線.o而與自變量和因變量用什么字母表示無(wú)關(guān).

函數(shù)概念的兩要素注2函數(shù)的定義域一般分為兩種:

若抽象地研究由表達(dá)式(公式)表示的函數(shù),求函數(shù)的定義域是指使表達(dá)式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的定義域----自變量的變化范圍；注1函數(shù)的表示法只與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān),值的方法.給定值,求對(duì)應(yīng)關(guān)系----25函數(shù)的定義域要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定.集合,稱為函數(shù)的自然定義域.而對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題,為了使表達(dá)式有意義,常遇到的四種情況是:(1)分式中的分母不能為零;(2)偶次方根號(hào)下的表達(dá)式不能為負(fù)值;(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零;等于1.(4)反正弦、反余弦后面的表達(dá)式的絕對(duì)值小于26例1已知函數(shù),求解27例2求函數(shù)

的定義域.

即時(shí),表達(dá)式才有意義,因此函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

解當(dāng)且僅當(dāng)28例3求函數(shù)

的定義域.

或適合不等式

解要使表達(dá)式有意義，當(dāng)且僅當(dāng)故,即函數(shù)的定義域?yàn)?92.2函數(shù)表示法分段函數(shù).表格法、圖示法、解析法(也叫公式法).常用的表示方法有:用解析法表示的函數(shù)可以由一個(gè)數(shù)學(xué)式子給出,也可以在其定義域的不同部分用不同的數(shù)學(xué)式子表示,用這種方式表示的函數(shù)稱為301-1xyo例5符號(hào)函數(shù)值域?yàn)?/p>

o定義域?yàn)?即例4絕對(duì)值函數(shù)31例6取整函數(shù)

y=[x],[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù).12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo圖形為階梯曲線它可以表示成當(dāng)例如[0.34]=0=–2[–1.34]=3[3]=–3[–3]32例7設(shè)計(jì)一個(gè)體積為V的有蓋圓柱形容器，求其表面積A和底半徑R之間的函數(shù)關(guān)系。解設(shè)圓柱形容器底的高為H，于是表面積為代入上式得定義域?yàn)?.3建立函數(shù)關(guān)系

33例8(單利問(wèn)題)設(shè)一筆貸款的本金為p0元,年利率為r,貸款期限為x年,求本利和P.解:∵一年的利息為p0r元,則x年的單利為p0rx元,∴本利和為P=p0

+p0rx

=p0(1+rx)元例9(復(fù)利問(wèn)題)設(shè)一筆貸款的本金為p0元,年利率為r,貸款期限為x年,求本利和Px.解:∵貸款滿一年后的本利和為P1=p0(1+r)元,∴x年后的本利和為Px=p0(1+r)x元.兩年后的本利和為P2=P1(1+r)=p0(1+r)2元,34幾個(gè)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù):設(shè)某種產(chǎn)品在某個(gè)時(shí)間范圍內(nèi),如果把除價(jià)格以外的因素看作不變,則需求量可視為價(jià)格的函數(shù),記作稱為需求函數(shù);設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品,生產(chǎn)件的固定成本為變動(dòng)成本為,,總成本函數(shù)銷售件產(chǎn)品的總收益函數(shù)為總收益函數(shù)和總成本函數(shù)之差稱為總利潤(rùn)函數(shù).35例10某民營(yíng)企業(yè)的固定成本為12000元，每單位產(chǎn)出的可變成本為10元，產(chǎn)品的售價(jià)為每單位30元，求（1）固定成本函數(shù)；（2）可變成本函數(shù)；（3）總成本函數(shù)；（4）總收益函數(shù)；（5）總利潤(rùn)函數(shù)。

解設(shè)產(chǎn)量為，則36解例11火車站收取行李費(fèi)的規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過(guò)50公斤時(shí)，按基本運(yùn)費(fèi)計(jì)算，如從長(zhǎng)沙到某地每公斤收0.15元;當(dāng)超過(guò)50公斤時(shí)，超重部分按每公斤收0.25元。試求長(zhǎng)沙到該地的行李費(fèi)與重量（元）(公斤)之間的函數(shù)關(guān)系。37§3函數(shù)的性質(zhì)3.1函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閄，數(shù)集IX.如果存在正數(shù)K，使得對(duì)于一切x

∈I，有|f(x)|≤K，則稱函數(shù)f(x)在I上有界。否則稱為無(wú)界。38

設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)閄，對(duì)任意x1，x2∈X，當(dāng)x1＜x2時(shí)（1）有f(x1)

＜f(x2)

，則稱f(x)在X上單調(diào)增加；3.2函數(shù)的單調(diào)性

xyo39

（2）有f(x1)

＞f(x2)

，則稱f(x)在X上單調(diào)減少。

單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間xyo403.3函數(shù)的奇偶性:

yxox-x,有則稱為偶函數(shù).設(shè)函數(shù)的定義域X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若對(duì)偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱.41奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.yxox-x若對(duì),有則稱為奇函數(shù).42例：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)=x3cosx（2）f(x)=x(1–x)解（1）∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間,

∴f(x)=x3cosx

為奇函數(shù)。（2）f(x)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)。=(–x)3cos(–x)=–x3cosx

=–f(x)，又有

f(–x)f（x）=x(1–x)=–x(x–1)但

f(–x)=–x(1+x)，433.4函數(shù)的周期性

若存在一個(gè)正數(shù)T,通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.有且使得對(duì)周期為T的周期函數(shù)的圖形在每個(gè)長(zhǎng)度為T的區(qū)間上的形狀相同.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閄,恒成立,則稱是周期函數(shù),T稱作的周期。44例如正弦函數(shù)y=sinx的基本周期為2π.45§4反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)4.1反函數(shù)

習(xí)慣上用字母x表示自變量,用字母y表示因變量,定義設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閄,值域?yàn)閅,如果對(duì)于Y中的任一值,都有X中唯一的一個(gè)值,滿足將y與x對(duì)應(yīng),關(guān)系為函數(shù)的反函數(shù),稱這個(gè)定義在Y上的對(duì)應(yīng)就寫為.這樣反函數(shù)46XYXY的定義域.由定義可知,反函數(shù)的定義域正好是直接函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域正好是直接函數(shù)的47對(duì)稱.反函數(shù)存在定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù),且單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)遞增(遞減)的.直接函數(shù)的圖形與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線48求反函數(shù)的一般步驟為:由方程解出再將x與y對(duì)換,即得所求函數(shù)的反函數(shù)為例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),指數(shù)函數(shù)49變量.定義

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閁,若的值域?yàn)?,則稱函數(shù)為函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),稱u為中間復(fù)合函數(shù)的條件是由復(fù)合函數(shù)的定義可知，函數(shù)和能否構(gòu)成4.2復(fù)合函數(shù)

求復(fù)合函數(shù)定義域的步驟是“從外到內(nèi)”(即由外層到內(nèi)層考察相應(yīng)函數(shù)在滿足前一層次條件下的定義域,直到最內(nèi)層),求出使算式有意義的一切實(shí)數(shù)x.50復(fù)合函數(shù)形象表示法:的定義域?yàn)閎51解由,得的定義域.例2求復(fù)合函數(shù)的定義域.例3已知的定義域?yàn)?求解

由,解得。故的定義域?yàn)椤?2例4已知,求的表達(dá)式.解

令,解得,因于是由原式得11)1()1(22+-=+-+-=uuuu1)()1ln()1ln(2++=--eeufuu故53§5初等函數(shù)5.1基本初等函數(shù)

(一)常量函數(shù)

y=c（c為已知常數(shù)）定義域?yàn)镽，值域={c}，圖象為一條平行X軸的直線。54(二)冪函數(shù)

y=xα（α是一個(gè)非零常數(shù)）（1）當(dāng)α為正整數(shù)時(shí)例：看α=1、2、3時(shí)55（2）當(dāng)α為負(fù)整數(shù)時(shí)例：看α=–1、–2時(shí)(二)冪函數(shù)

y=xα（α是一個(gè)非零常數(shù)）56

y=a

x（a＞0且a≠1）定義域?yàn)镽，值域R+(三)指數(shù)函數(shù)

57

(四)對(duì)數(shù)函數(shù)

y=log

a

x（a＞0且a≠1）定義域?yàn)镽+，值域R以10為底的常用對(duì)數(shù)：y=lgx.以e為底的自然對(duì)數(shù)：y=lnx.58(五)三角函數(shù)

余弦函數(shù)y=cosx（2）正切函數(shù)y=tanx

余切函數(shù)y=cotx

（1）正弦函數(shù)y=sinx（3）正割函數(shù)y=secx

余割函數(shù)y=cscx

倒數(shù)關(guān)系：tanx·cotx=1,sinx·cscx=1,cosx·secx=1.平方關(guān)系：sin2x+cos2x=1,tan2x+1=sec2x,1+cot2x=csc2x.一些基本關(guān)系式：tanx=sinx

cosx59余弦函數(shù)y=cosx（1）正弦函數(shù)y=sinx定義域?yàn)镽值域[–1，1]60（2）正切函數(shù)

y=tanx

余切函數(shù)y=cot

x定義域正切為x