古典概型和幾何概型

古典概型1）基本事件:一次試驗中所有可能得結(jié)果都就是隨機事件,這類隨機事件稱為基本事件.）基本事件得特點：任何兩個基本事件就是互斥得;任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件得與.3） 我們將具有這兩個特點得概率模型稱為古典概率模型,其特征就是：有限性:即在一次試驗中所有可能出現(xiàn)得基本事件只有有限個。等可能性:每個基本事件發(fā)生得可能性就是均等得;稱這樣得試驗為古典概型.4）基本事件得探索方法：列舉法:此法適用于較簡單得實驗.樹狀圖法:這就是一種常用得方法,適用于較為復(fù)雜問題中得基本事件探索。5）在古典概型中涉及兩種不通得抽取放方法,下列舉例來說明:設(shè)袋中有個不同得球,現(xiàn)從中一次模球,每次摸一只,則有兩種摸球得方法:有放回得抽樣每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,這種模球得方法稱為有放回得抽樣,顯然對于有放回得抽樣,依次抽得球可以重復(fù),且摸球可以無限地進行下去.無放回得抽樣每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,這種模球方法稱為五放回抽樣,每次摸得球不會重復(fù)出現(xiàn),且摸球只能進行有限次.二、古典概型計算公式1） 如果一次試驗中可能出現(xiàn)得結(jié)果有個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)得可能性都相等,那么每一個基本事件得概率都就是;2） 如果某個事件包括得結(jié)果有個,那么事件得概率.）事件與事件就是互斥事件4） 事件與事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。古典概型注意:①列舉法:適合于較簡單得試驗②樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜得問題中得基本事件得探求、另外在確定基本事件時可以瞧成就是有序得,如與不同;有時也可以瞧成就是無序得,如與相同、三、幾何概型事件理解為區(qū)域得某一子區(qū)域,得概率只與子區(qū)域得幾何度量（長度、面積或體積）成正比,而與得位置與形狀無關(guān),滿足此條件得試驗稱為幾何概型.四、幾何概型得計算1） 幾何概型中，事件得概率定義為，其中表示區(qū)域得幾何度量，表示區(qū)域得幾何度量。2） 兩種類型線型幾何概型:當基本事件只受一個連續(xù)得變量控制時。面型幾何概型:當基本事件受兩個連續(xù)得變量控制時，一般就是把兩個變量分別作為一個點得橫坐標與縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上得一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決、五、幾何概型具備以下兩個特征:1） 無限性:即每次試驗得結(jié)果（基本事件）有無限多個，且全體結(jié)果可用一個有度量得幾何區(qū)域來表示;2） 等可能性:即每次試驗得各種結(jié)果（基本事件）發(fā)生得概率都相等.一、古典概型古典概型就是基本事件個數(shù)有限，每個基本事件發(fā)生得概率相等得一種概率模型，其概率等于隨機事件所包含得基本事件得個數(shù)與基本事件得總個數(shù)得比值、【題干】甲、乙、丙、丁個足球隊參加比賽，假設(shè)每場比賽各隊取勝得概率相等，現(xiàn)任意將這個隊分成兩個組（每組兩個隊）進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇得概率為（）A、 B.“C、“ D.【答案】Do【解析】甲、乙在同一組:、甲、乙不在同一組，但相遇得概率:.【點評】

【題干】有十張卡片,分別寫有、、、、與、、、、，⑴從中任意抽取一張，①求抽出得一張就是大寫字母得概率;②求抽出得一張就是或得概率;若從中抽出兩張,③求抽出得兩張都就是大寫字母得概率;④求抽出得兩張不就是同一個字母得概率;【答案】【解析】【點評】【題干】袋子中裝有編號為得個黑球與編號為得個紅球,從中任意摸出個球.(1)寫出所有不同得結(jié)果;(2)求恰好摸出個黑球與個紅球得概率；求至少摸出個黑球得概率、【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)、(2)由題意知本題就是一個古典概型,試驗發(fā)生包含了上一問列舉得所有結(jié)果,記“恰好摸出1個黑球與1紅球"為事件,則事件包含得基本事件為,共6個基本事件,所以.(3)試驗發(fā)生包含得事件共有個，記“至少摸出個黑球”為事件,則包含得基本事件為，共個基本事件,所以、【點評】步驟:用列舉法求出基本事件得總數(shù),求出具體時間包含得基本事件數(shù),根據(jù)古典概型求出概率。二、一維情形得幾何概型(長度)將每個基本事件理解為從某個特定得幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中每一點被取到得機會都一樣,而一個隨機事件得發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)得某個指定區(qū)域中得點,這樣得概率模型就可以用幾何概型來求解?！绢}干】在區(qū)間上隨機取一個數(shù),得值介于到之間得概率為()A、B.A、B.C.D。【答案】A【解析IT，、當時，、在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，得值介于到之間得概率.【點評】【題干】平面上有一組平行線，且相鄰平行線間得距離為cm,把一枚半徑為Cm得硬幣任意投擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰得概率就是()A。。汨、 C. D?！敬鸢浮緽【解析】為了確定硬幣得位置，由硬幣中心向靠得最近得平行線引垂線，垂足為;線段長度得取值范圍就就是，只有當時，硬幣不與平行線相碰，所以所求事件得概率、【點評】【題干】在區(qū)間中任意取一個數(shù),則它與之與大于得概率就是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥吭趨^(qū)間中，任意取一個數(shù)，則它與之與大于得滿足〉，解得，所以，概率為、【點評】【題干】在長為得線段上任取一點，并以線段為邊作正方形，則這個正方形得面積介于與之間得概率為()A.?BoC。。 Do【答案】D.【解析】由題意可得此概率就是幾何概率模型.因為正方形得面積介于與之間，座椅正方形得邊長介于到之間，即線段介于到之間，所以得活動范圍長度為:.由幾何概型得概率公式可得、【點評】【題干】某人向一個半徑為得圓形標靶射擊，假設(shè)她每次射擊必定會中靶，且射中靶內(nèi)各點就是隨機得，則此人射擊中靶點與靶心得距離小于得概率為( )A。 B。 C. D.答案】B【解析】整個靶子就是如圖所示得大圓,而距離靶心距離小于2用圖中得小圓所示：故此人射擊中靶點與靶心得距離小于得概率、【點評】【題干】兩根相距得木桿上系一根拉直得繩子,并在繩子上掛一彩珠,則彩珠與兩端距離都大于得概率為( )A、?B。Q D.【答案】、【解析】設(shè)事件為“燈與兩端距離都大于”,根據(jù)題意,事件對應(yīng)得長度為得部分,因此,事件發(fā)生得概率、【點評】三、二維情形得幾何概型(面積)數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題得解決提供了簡捷直觀得解法。用圖解題得關(guān)鍵：用圖形準確表示出試驗得全部結(jié)果所構(gòu)成得區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足得不等式，在圖形中畫出事件發(fā)生得區(qū)域,利用公式可求、【題干】如圖,,,,在線段上任取一點,試求：(1)為鈍角三角形得概率;(2)為銳角三角形得概率.【答案】(1)(2)【解析】如圖,由平面幾何知識：當時,;當時,,、當且僅當點在線段或上時,為鈍角三角形,記“為鈍角三角形”為事件,則,即為鈍角三角形得概率為.當且僅當點在線段上時,為銳角三角形,記“為銳角三角形”為事件,則,即為銳角三角形得概率為、【點評】為直角三角形得概率等于,但直角三角形就是存在得,因此概率為得事件不一定就是不可能事件.【題干】已知如圖所示得矩形,長為,寬為,在矩形內(nèi)隨機地投擲粒黃豆,數(shù)得落在陰影部分得黃豆數(shù)為粒,則可以估計出陰影部分得面積約為 【答案】【解析】設(shè)圖中陰影部分得面積為,由題意可得,解得、【點評】【題干】小明得爸爸下班駕車經(jīng)過小明學校門口,時間就是下午到，小明放學后到學校門口得候車點候車,能乘上公交車得時間為到,如果小明得爸爸到學校門口時,小明還沒乘上車,就正好坐她爸爸得車回家,問小明能乘到她爸得車得概率、【答案】【解析】【點評】【題干】在平面直角坐標系中,平面區(qū)域中得點得坐標滿足,從區(qū)域中隨機取點.若,,求點位于第四象限得概率；已知直線與圓相交所截得得弦長為,求得概率.【答案】⑴；(2)?！窘馕觥?1)若,,則點得個數(shù)共有個,列舉如下:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,時,點位于第四象限、當點得坐標為,,時,點位于第四象限、故點位于第四象限得概率為。(2)由已知可知區(qū)域得面積就是。因為直線與圓得弦長為,如圖,可求得扇形得圓心角為,所以扇形得面積為,則滿足得點構(gòu)成得區(qū)域得面積為,所以得概率為.【點評】【題干】如圖,,,,在線段上任取一點,試求:(1)為鈍角三角形得概率；(2)為銳角三角形得概率、【答案】(1);(2)?！窘馕觥咳鐖D,由平面幾何知識:當時,;當時,,。(1)當且僅當點在線段或上時,為鈍角三角形,記“為鈍角三角形”為事件,則、(2)當且僅當點在線段上時，為銳角三角形,記“為銳角三角形”為事件，則.【點評】【題干】在區(qū)間上任取兩實數(shù),求二次方程得兩根都為實數(shù)得概率?！敬鸢浮俊窘馕觥糠匠逃袑嵏脳l件為,即。在平面直角坐標系中,點得取值范圍為如圖所示,得正方形得區(qū)域,隨機事件“方程有實根"得所圍成得區(qū)域如圖所示得陰影部分、易求得?！军c評】四、三維情形得幾何概型(體積)【題干】在中,,過直角頂點作射線交線段于,求使得概率?！敬鸢浮俊！窘馕觥吭O(shè)事件為“作射線,使"、在上取點使,因為就是等腰三角形,所以,,,所以、【點評】幾何概型得關(guān)鍵就是選擇“測度”,如本例以角度為“測度”。因為射線落在內(nèi)得任意位置就是等可能得.若以長度為“測度”,就就是錯誤得,因在 上得落點不就是等可能得.【題干】設(shè)正四面體得體積為，就是正四面體得內(nèi)部得點.設(shè)“”得事件為,求概率;設(shè)“且"得事件為，求概率.答案】解析】【點評】【題干】一只小蜜蜂在一個棱長為得正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行.若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器個表面中至少有一個得距離不大于,則就有可能撞到玻璃上而不安全;若始終保持與正方體玻璃容器個表面得距離均大于,則飛行就是安全得,假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飛行就是安全得概率就是( )A。 B. C。 D、【答案】C；【解析】容易知道,當蜜蜂在邊長為,各棱平行于玻璃容器得棱得正方體內(nèi)飛行時就是安全得、于就是安全飛行得概率為.【點評】【題干】在棱長為得正方體中,點為底面得中心,在正方體內(nèi)隨機取一點,則點到點得距離大于得概率為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥奎c到點得距離大于得點位于以為球心,以為半徑得半球外.記點到點得距離大于為事件,則、【點評】【題干】在棱長為得正方體內(nèi)任取一點,則點到點得距離小于等于得概率為()A、 B、 C.。D.【答案】C【解析】本題就是幾何概型問題,與點距離等于得點得軌跡就是一個八分之一個球面,其體積為:,“點與點距離大于1得概率”事件對應(yīng)得區(qū)域體積為:,則點到點得距離小于等于得概率為:。

點評】【題干】設(shè)正四面體得體積為,就是正四面體得內(nèi)部得點。設(shè)“”得事件為，求概率；設(shè)“且"得事件為，求概率、【答案】①②【解析】①分別取上得點，并，連結(jié)，則平面平面。當在正四面體內(nèi)部運動時（如圖），滿足，故、②在上取點，使，在上取點，使，在上取點，使，在正四面體內(nèi)部運動時，滿足、結(jié)合①，當在正四面體得內(nèi)部及正四面體得內(nèi)部運動時，亦即在正四面體內(nèi)部運動時（就是與得交點，就是與得交點），同時滿足且，于就是。CCCC點評】五、高考匯編【題干】（2010年江蘇理科3）盒子中有大小相同得只白球，只黑球,若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同得概率 【答案】【解析】【點評】【題干】（2010年江蘇理科4）某棉紡廠為了了解一批棉花得質(zhì)量，從中隨機抽取了根棉花纖維得長度（棉花纖維得長度就是棉花質(zhì)量得重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣得根中，有 根在棉花纖維得長度小于.答案】【解析】【點評】【題干】（2011江蘇5）從,,，這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù),則其中一個數(shù)就是另一個得兩倍得概率就是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥俊军c評】【題干】（2011江蘇6）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別就是,,,,,則該組數(shù)據(jù)得方差 【答案】【解析】可以先把這組數(shù)都減去再求方差,【點評】【題干】（2012年江蘇省5分）某學校高一、高二、高三年級得學生人數(shù)之比現(xiàn)用分層抽樣得方法從該校高中三個年級得學生中抽取容量為得樣本,則應(yīng)從高二年級抽取 名學生.【答案】.【解析】分層抽樣又稱分類抽