古典概型和幾何概型

古典概型1）基本事件:一次試驗(yàn)中所有可能得結(jié)果都就是隨機(jī)事件,這類隨機(jī)事件稱為基本事件.）基本事件得特點(diǎn)：任何兩個(gè)基本事件就是互斥得;任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件得與.3） 我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)得概率模型稱為古典概率模型,其特征就是：有限性:即在一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)得基本事件只有有限個(gè)。等可能性:每個(gè)基本事件發(fā)生得可能性就是均等得;稱這樣得試驗(yàn)為古典概型.4）基本事件得探索方法：列舉法:此法適用于較簡(jiǎn)單得實(shí)驗(yàn).樹狀圖法:這就是一種常用得方法,適用于較為復(fù)雜問題中得基本事件探索。5）在古典概型中涉及兩種不通得抽取放方法,下列舉例來說明:設(shè)袋中有個(gè)不同得球,現(xiàn)從中一次模球,每次摸一只,則有兩種摸球得方法:有放回得抽樣每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,這種模球得方法稱為有放回得抽樣,顯然對(duì)于有放回得抽樣,依次抽得球可以重復(fù),且摸球可以無限地進(jìn)行下去.無放回得抽樣每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,這種模球方法稱為五放回抽樣,每次摸得球不會(huì)重復(fù)出現(xiàn),且摸球只能進(jìn)行有限次.二、古典概型計(jì)算公式1） 如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)得結(jié)果有個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)得可能性都相等,那么每一個(gè)基本事件得概率都就是;2） 如果某個(gè)事件包括得結(jié)果有個(gè),那么事件得概率.）事件與事件就是互斥事件4） 事件與事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。古典概型注意:①列舉法:適合于較簡(jiǎn)單得試驗(yàn)②樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜得問題中得基本事件得探求、另外在確定基本事件時(shí)可以瞧成就是有序得,如與不同;有時(shí)也可以瞧成就是無序得,如與相同、三、幾何概型事件理解為區(qū)域得某一子區(qū)域,得概率只與子區(qū)域得幾何度量（長(zhǎng)度、面積或體積）成正比,而與得位置與形狀無關(guān),滿足此條件得試驗(yàn)稱為幾何概型.四、幾何概型得計(jì)算1） 幾何概型中，事件得概率定義為，其中表示區(qū)域得幾何度量，表示區(qū)域得幾何度量。2） 兩種類型線型幾何概型:當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)得變量控制時(shí)。面型幾何概型:當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)得變量控制時(shí)，一般就是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)得橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上得一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決、五、幾何概型具備以下兩個(gè)特征:1） 無限性:即每次試驗(yàn)得結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量得幾何區(qū)域來表示;2） 等可能性:即每次試驗(yàn)得各種結(jié)果（基本事件）發(fā)生得概率都相等.一、古典概型古典概型就是基本事件個(gè)數(shù)有限，每個(gè)基本事件發(fā)生得概率相等得一種概率模型，其概率等于隨機(jī)事件所包含得基本事件得個(gè)數(shù)與基本事件得總個(gè)數(shù)得比值、【題干】甲、乙、丙、丁個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場(chǎng)比賽各隊(duì)取勝得概率相等，現(xiàn)任意將這個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組兩個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇得概率為（）A、 B.“C、“ D.【答案】Do【解析】甲、乙在同一組:、甲、乙不在同一組，但相遇得概率:.【點(diǎn)評(píng)】

【題干】有十張卡片,分別寫有、、、、與、、、、，⑴從中任意抽取一張，①求抽出得一張就是大寫字母得概率;②求抽出得一張就是或得概率;若從中抽出兩張,③求抽出得兩張都就是大寫字母得概率;④求抽出得兩張不就是同一個(gè)字母得概率;【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】袋子中裝有編號(hào)為得個(gè)黑球與編號(hào)為得個(gè)紅球,從中任意摸出個(gè)球.(1)寫出所有不同得結(jié)果;(2)求恰好摸出個(gè)黑球與個(gè)紅球得概率；求至少摸出個(gè)黑球得概率、【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)、(2)由題意知本題就是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含了上一問列舉得所有結(jié)果,記“恰好摸出1個(gè)黑球與1紅球"為事件,則事件包含得基本事件為,共6個(gè)基本事件,所以.(3)試驗(yàn)發(fā)生包含得事件共有個(gè)，記“至少摸出個(gè)黑球”為事件,則包含得基本事件為，共個(gè)基本事件,所以、【點(diǎn)評(píng)】步驟:用列舉法求出基本事件得總數(shù),求出具體時(shí)間包含得基本事件數(shù),根據(jù)古典概型求出概率。二、一維情形得幾何概型(長(zhǎng)度)將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定得幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到得機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件得發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)得某個(gè)指定區(qū)域中得點(diǎn),這樣得概率模型就可以用幾何概型來求解?！绢}干】在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),得值介于到之間得概率為()A、B.A、B.C.D?！敬鸢浮緼【解析IT，、當(dāng)時(shí)，、在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，得值介于到之間得概率.【點(diǎn)評(píng)】【題干】平面上有一組平行線，且相鄰平行線間得距離為cm,把一枚半徑為Cm得硬幣任意投擲在這個(gè)平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰得概率就是()A。。汨、 C. D?！敬鸢浮緽【解析】為了確定硬幣得位置，由硬幣中心向靠得最近得平行線引垂線，垂足為;線段長(zhǎng)度得取值范圍就就是，只有當(dāng)時(shí)，硬幣不與平行線相碰，所以所求事件得概率、【點(diǎn)評(píng)】【題干】在區(qū)間中任意取一個(gè)數(shù),則它與之與大于得概率就是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥吭趨^(qū)間中，任意取一個(gè)數(shù)，則它與之與大于得滿足〉，解得，所以，概率為、【點(diǎn)評(píng)】【題干】在長(zhǎng)為得線段上任取一點(diǎn)，并以線段為邊作正方形，則這個(gè)正方形得面積介于與之間得概率為()A.?BoC。。 Do【答案】D.【解析】由題意可得此概率就是幾何概率模型.因?yàn)檎叫蔚妹娣e介于與之間，座椅正方形得邊長(zhǎng)介于到之間，即線段介于到之間，所以得活動(dòng)范圍長(zhǎng)度為:.由幾何概型得概率公式可得、【點(diǎn)評(píng)】【題干】某人向一個(gè)半徑為得圓形標(biāo)靶射擊，假設(shè)她每次射擊必定會(huì)中靶，且射中靶內(nèi)各點(diǎn)就是隨機(jī)得，則此人射擊中靶點(diǎn)與靶心得距離小于得概率為( )A。 B。 C. D.答案】B【解析】整個(gè)靶子就是如圖所示得大圓,而距離靶心距離小于2用圖中得小圓所示：故此人射擊中靶點(diǎn)與靶心得距離小于得概率、【點(diǎn)評(píng)】【題干】?jī)筛嗑嗟媚緱U上系一根拉直得繩子,并在繩子上掛一彩珠,則彩珠與兩端距離都大于得概率為( )A、?B。Q D.【答案】、【解析】設(shè)事件為“燈與兩端距離都大于”,根據(jù)題意,事件對(duì)應(yīng)得長(zhǎng)度為得部分,因此,事件發(fā)生得概率、【點(diǎn)評(píng)】三、二維情形得幾何概型(面積)數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題得解決提供了簡(jiǎn)捷直觀得解法。用圖解題得關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)得全部結(jié)果所構(gòu)成得區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足得不等式，在圖形中畫出事件發(fā)生得區(qū)域,利用公式可求、【題干】如圖,,,,在線段上任取一點(diǎn),試求：(1)為鈍角三角形得概率;(2)為銳角三角形得概率.【答案】(1)(2)【解析】如圖,由平面幾何知識(shí)：當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,、當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段或上時(shí),為鈍角三角形,記“為鈍角三角形”為事件,則,即為鈍角三角形得概率為.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),為銳角三角形,記“為銳角三角形”為事件,則,即為銳角三角形得概率為、【點(diǎn)評(píng)】為直角三角形得概率等于,但直角三角形就是存在得,因此概率為得事件不一定就是不可能事件.【題干】已知如圖所示得矩形,長(zhǎng)為,寬為,在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲粒黃豆,數(shù)得落在陰影部分得黃豆數(shù)為粒,則可以估計(jì)出陰影部分得面積約為 【答案】【解析】設(shè)圖中陰影部分得面積為,由題意可得,解得、【點(diǎn)評(píng)】【題干】小明得爸爸下班駕車經(jīng)過小明學(xué)校門口,時(shí)間就是下午到，小明放學(xué)后到學(xué)校門口得候車點(diǎn)候車,能乘上公交車得時(shí)間為到,如果小明得爸爸到學(xué)校門口時(shí),小明還沒乘上車,就正好坐她爸爸得車回家,問小明能乘到她爸得車得概率、【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】在平面直角坐標(biāo)系中,平面區(qū)域中得點(diǎn)得坐標(biāo)滿足,從區(qū)域中隨機(jī)取點(diǎn).若,,求點(diǎn)位于第四象限得概率；已知直線與圓相交所截得得弦長(zhǎng)為,求得概率.【答案】⑴；(2)?！窘馕觥?1)若,,則點(diǎn)得個(gè)數(shù)共有個(gè),列舉如下:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,時(shí),點(diǎn)位于第四象限、當(dāng)點(diǎn)得坐標(biāo)為,,時(shí),點(diǎn)位于第四象限、故點(diǎn)位于第四象限得概率為。(2)由已知可知區(qū)域得面積就是。因?yàn)橹本€與圓得弦長(zhǎng)為,如圖,可求得扇形得圓心角為,所以扇形得面積為,則滿足得點(diǎn)構(gòu)成得區(qū)域得面積為,所以得概率為.【點(diǎn)評(píng)】【題干】如圖,,,,在線段上任取一點(diǎn),試求:(1)為鈍角三角形得概率；(2)為銳角三角形得概率、【答案】(1);(2)?！窘馕觥咳鐖D,由平面幾何知識(shí):當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,。(1)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段或上時(shí),為鈍角三角形,記“為鈍角三角形”為事件,則、(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，為銳角三角形,記“為銳角三角形”為事件，則.【點(diǎn)評(píng)】【題干】在區(qū)間上任取兩實(shí)數(shù),求二次方程得兩根都為實(shí)數(shù)得概率?！敬鸢浮俊窘馕觥糠匠逃袑?shí)根得條件為,即。在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)得取值范圍為如圖所示,得正方形得區(qū)域,隨機(jī)事件“方程有實(shí)根"得所圍成得區(qū)域如圖所示得陰影部分、易求得?！军c(diǎn)評(píng)】四、三維情形得幾何概型(體積)【題干】在中,,過直角頂點(diǎn)作射線交線段于,求使得概率?！敬鸢浮??！窘馕觥吭O(shè)事件為“作射線,使"、在上取點(diǎn)使,因?yàn)榫褪堑妊切?所以,,,所以、【點(diǎn)評(píng)】幾何概型得關(guān)鍵就是選擇“測(cè)度”,如本例以角度為“測(cè)度”。因?yàn)樯渚€落在內(nèi)得任意位置就是等可能得.若以長(zhǎng)度為“測(cè)度”,就就是錯(cuò)誤得,因在 上得落點(diǎn)不就是等可能得.【題干】設(shè)正四面體得體積為，就是正四面體得內(nèi)部得點(diǎn).設(shè)“”得事件為,求概率;設(shè)“且"得事件為，求概率.答案】解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為得正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行.若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器個(gè)表面中至少有一個(gè)得距離不大于,則就有可能撞到玻璃上而不安全;若始終保持與正方體玻璃容器個(gè)表面得距離均大于,則飛行就是安全得,假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飛行就是安全得概率就是( )A。 B. C。 D、【答案】C；【解析】容易知道,當(dāng)蜜蜂在邊長(zhǎng)為,各棱平行于玻璃容器得棱得正方體內(nèi)飛行時(shí)就是安全得、于就是安全飛行得概率為.【點(diǎn)評(píng)】【題干】在棱長(zhǎng)為得正方體中,點(diǎn)為底面得中心,在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則點(diǎn)到點(diǎn)得距離大于得概率為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥奎c(diǎn)到點(diǎn)得距離大于得點(diǎn)位于以為球心,以為半徑得半球外.記點(diǎn)到點(diǎn)得距離大于為事件,則、【點(diǎn)評(píng)】【題干】在棱長(zhǎng)為得正方體內(nèi)任取一點(diǎn),則點(diǎn)到點(diǎn)得距離小于等于得概率為()A、 B、 C.。D.【答案】C【解析】本題就是幾何概型問題,與點(diǎn)距離等于得點(diǎn)得軌跡就是一個(gè)八分之一個(gè)球面,其體積為:,“點(diǎn)與點(diǎn)距離大于1得概率”事件對(duì)應(yīng)得區(qū)域體積為:,則點(diǎn)到點(diǎn)得距離小于等于得概率為:。

點(diǎn)評(píng)】【題干】設(shè)正四面體得體積為,就是正四面體得內(nèi)部得點(diǎn)。設(shè)“”得事件為，求概率；設(shè)“且"得事件為，求概率、【答案】①②【解析】①分別取上得點(diǎn)，并，連結(jié)，則平面平面。當(dāng)在正四面體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖），滿足，故、②在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使，在正四面體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足、結(jié)合①，當(dāng)在正四面體得內(nèi)部及正四面體得內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，亦即在正四面體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)（就是與得交點(diǎn)，就是與得交點(diǎn)），同時(shí)滿足且，于就是。CCCC點(diǎn)評(píng)】五、高考匯編【題干】（2010年江蘇理科3）盒子中有大小相同得只白球，只黑球,若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同得概率 【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】（2010年江蘇理科4）某棉紡廠為了了解一批棉花得質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了根棉花纖維得長(zhǎng)度（棉花纖維得長(zhǎng)度就是棉花質(zhì)量得重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣得根中，有 根在棉花纖維得長(zhǎng)度小于.答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】（2011江蘇5）從,,，這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù),則其中一個(gè)數(shù)就是另一個(gè)得兩倍得概率就是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥俊军c(diǎn)評(píng)】【題干】（2011江蘇6）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別就是,,,,,則該組數(shù)據(jù)得方差 【答案】【解析】可以先把這組數(shù)都減去再求方差,【點(diǎn)評(píng)】【題干】（2012年江蘇省5分）某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)得學(xué)生人數(shù)之比現(xiàn)用分層抽樣得方法從該校高中三個(gè)年級(jí)得學(xué)生中抽取容量為得樣本,則應(yīng)從高二年級(jí)抽取 名學(xué)生.【答案】.【解析】分層抽樣又稱分類抽