矩陣分析第3章習(xí)題答案2796

矩陣分析第3章習(xí)題答案第三章1、已知A(a)是n階正定Hermite矩陣，在nij維線性空間中向量Cn定義內(nèi)積為(,)AH(x,x,,x),(y,y,,y)12n12n（1）證明在上述定義下，是酉空間；Cn（2）寫出中的Canchy-Schwarz不等式。Cn2、已知A，求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。N(A)2111311101提示：即求方程AX0的基礎(chǔ)解系再正交化單位化。3、已知126308(1)A316,(2)A103205114試求酉矩陣，使得是上三角矩陣。UUAUH提示：參見教材上的例子4、試證：在上的任何一個(gè)正交投影矩陣是CPn半正定的Hermite矩陣。5、驗(yàn)證下列矩陣是正規(guī)矩陣，并求酉矩陣，U使為對(duì)角矩陣，已知UAUH131321i61i(1)A326231ii62328、要條件是與的特征值相同。AB同上9、設(shè)A是Hermite矩陣，且，則存在酉AA2矩陣，使得UE0r00UHAU10、設(shè)A是Hermite矩陣，且，則存在酉AE2矩陣，使得U。UHAUE0r0Enr11、設(shè)A為正定Hermite矩陣，B為反Hermite矩陣，試證：與的特征值實(shí)部為0。ABBA證：A為正定Hermite矩陣ALHL，為滿秩的。L，(LBLH)HLBHLHLBLH1HEABELHLBLELBLH(LH)是反Hermite矩陣，反Hermite矩陣的特征LBLH值實(shí)部為0,所以的特征值實(shí)部為0。AB12、設(shè)均是Hermite矩陣，且A正定，試證：A,B與的特征值都是實(shí)數(shù)。BAAB證明：同上題。，EABELHLBLELBLH(LH)1H(LBLH)HLBHLHLBLH，是Hermite矩陣，HermiteLBLH矩陣的特征值為實(shí)數(shù),所以的特征值是實(shí)數(shù)。AB13、設(shè)A為半正定Hermite矩陣，且A0，試證：AE1。證明：A的特征值為，矩陣的行列式等于特0i征值之積。特征值為，AE(1)1AE1ii14、設(shè)A為半正定Hermite矩陣，，B是正A0定Hermite矩陣，試證：。ABB證明：，為滿秩的。BLLHLABALHLLH(LH)1AL1EL(LH)1AL1ELHL(LH)1AL1EB為半正定Hermite矩陣，由上題(LH)1AL11E1，(LH)1ALAB(LH)1AL1EBB15、設(shè)A為正定Hermite矩陣，且AU，則。AEnn證明：存在UUnn，。又diag(,,),01,AUUHni，AUnn2211AUUHUEUHEHEAHAUUHUUHii16、試證：（1）兩個(gè)半正定Hermite矩陣之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩陣與正定Hermite矩陣之和是正定的。提示：考查X(AB)XH17、設(shè)A是正定Hermite矩陣，B是反Hermite矩陣，試證：A＋B是可逆矩陣。提示：A為正定Hermite矩陣，為滿秩ALLLH的。ABLE(LH)1HBLL1(LH)1BL1是反Hermite矩陣，特征值實(shí)部為i0,，所以AB0E(LH)1BL1(1)0i18、設(shè)A，B是n階正規(guī)矩陣，試證：A與B相似的充要條件是A與B酉相似。證明：充分性，酉相似相似。必要性，A，B是n階正規(guī)矩陣，，又A與B相似,與的AUHU,BUHU,UUnnAB111222i特征值相同,可設(shè)，1AUUUHUBUHU,UHUUnnH111122121219、設(shè)，試證：總存在，使得AtE是正定AAt0HHermite矩陣，是負(fù)定Hermite矩陣。AtE提示：A的特征值為，則的特征值為AtEtii20、設(shè)A是正定Hermite矩陣，且A還是酉矩陣，則AE。提示：21、設(shè)A、B均為正規(guī)矩陣。且ABBA，則與ABBA均為正規(guī)矩陣。提示：用Ｐ１５０定理，可以同時(shí)酉對(duì)角化。A,B22、設(shè)，試證：U(AE)(AE)是酉矩陣。AAH1提示：UHU[(AE)(AE)(AE)1(AE)(AE)(AE)1(AE)1(AE)(AE)(AE)1E1]H(AE)(AE)123、設(shè)A為n階正規(guī)矩陣，為A的特征,,,12n值，試證：的特征值為AAH。2||,||2,,||212n111提示：，，所以AHAUHAUUHAHAUnnn的特征值為2iii24、設(shè)AC，試證：（1）和都是半正定的nnAAHAAHHermite矩陣；（2）和的非零特征值相AAHAAH同。提示：（1）XHAHAX(AX)H(AX)0（2），特征值的重?cái)?shù)AHAXXAAHAXAXii也相同，參見P19125、設(shè)A是正規(guī)矩陣，試證：（1）若（為A0rr自然數(shù)），則A0；（2）若，則；（3）AAAA2H若，則。AAAA23226、設(shè)，求證以下三條件等價(jià)：AA,BBHH（1）AB為正規(guī)矩陣（2）ABBA（3）(AB)HAB解：（1）（2）由(AB)H(AB)(AB)(AB)HAHBBHAABHBAH。AHA,BHBABBA（2）（3）,由AA,BBABBHAH(AB)HABBAHH（2）（1）,由(AB)(AB)(AB)(AB)HABBA(AB)(AB)(AB)(AB)31、設(shè)AC，則A可以唯一的寫為A