最優(yōu)化理論 第一章

最優(yōu)化理論第一章第1頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六本課主要內(nèi)容

最優(yōu)化概述最優(yōu)化的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃一維最優(yōu)化方法無(wú)約束多維非線性規(guī)劃方法約束問(wèn)題的非線性規(guī)劃方法非線性規(guī)劃中的一些其他方法第2頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一章最優(yōu)化的基本要素

1-1緒論1-2優(yōu)化問(wèn)題的示例1-3優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

1-4優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解法第3頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。

優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化問(wèn)題。

1-1緒論1.優(yōu)化的含義第4頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

（1）來(lái)源：優(yōu)化一語(yǔ)來(lái)自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過(guò)程；（2）優(yōu)化過(guò)程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以max表示)或極小(以min表示)的過(guò)程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)。

第5頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.優(yōu)化的發(fā)展概況

歷史上最早記載下來(lái)的最優(yōu)化問(wèn)題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長(zhǎng)相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對(duì)最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個(gè)世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題，發(fā)展了變分法。直到上世紀(jì)40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭(zhēng)中的實(shí)際問(wèn)題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計(jì)等。

第6頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

近十幾年來(lái)，最優(yōu)化方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。

50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。第7頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺(jué)或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)推動(dòng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來(lái)得到迅速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問(wèn)題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_(kāi)發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問(wèn)題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問(wèn)題中，基于經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過(guò)程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開(kāi)辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動(dòng)選擇和優(yōu)化過(guò)程的自動(dòng)控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。第8頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

已知：制造一體積為100m3，長(zhǎng)度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長(zhǎng)x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面積的表達(dá)式；（2）優(yōu)化變量確定：長(zhǎng)x1，寬x2，高x3

；（3）優(yōu)化約束條件： （a）體積要求； （b）長(zhǎng)度要求；

x1x2x3箱盒的優(yōu)化問(wèn)題1-2優(yōu)化問(wèn)題示例第9頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)模型優(yōu)化變量：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：第10頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六某工廠生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品單位價(jià)格為PA

萬(wàn)元，B產(chǎn)品單位價(jià)格為PB

萬(wàn)元。每生產(chǎn)一個(gè)單位A產(chǎn)品需消耗煤aC

噸，電aE度，人工aL

個(gè)人日；每生產(chǎn)一個(gè)單位B產(chǎn)品需消耗煤bC

噸，電bE

度，人工bL個(gè)人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C噸，電E度，勞動(dòng)力L個(gè)人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。分析：（1）產(chǎn)值的表達(dá)式；（2）優(yōu)化變量確定：A產(chǎn)品xA，B產(chǎn)品xB

；（3）優(yōu)化約束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束； （b）生產(chǎn)資源勞動(dòng)力約束；最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問(wèn)題第11頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)模型優(yōu)化變量：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：第12頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1-3

最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

1.優(yōu)化變量一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示，在優(yōu)化過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，稱作優(yōu)化變量，又叫做決策變量。

最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)、變量關(guān)系、有關(guān)約束條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行最優(yōu)化的基礎(chǔ)。第13頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六優(yōu)化變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。優(yōu)化變量的數(shù)目稱為優(yōu)化問(wèn)題的維數(shù)，如n個(gè)優(yōu)化變量，則稱為n維優(yōu)化問(wèn)題。

按照優(yōu)化變量的取值特點(diǎn)，可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。

第14頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖1-1優(yōu)化變量所組成的優(yōu)化空間（a）二維問(wèn)題（b）三維問(wèn)題只有兩個(gè)優(yōu)化變量的二維優(yōu)化問(wèn)題可用圖（a）所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)優(yōu)化變量的三維問(wèn)題可用圖（b）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。第15頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六優(yōu)化問(wèn)題的維數(shù)表征優(yōu)化的自由度，優(yōu)化變量愈多，則問(wèn)題的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。

小型優(yōu)化問(wèn)題：一般含有2—10個(gè)優(yōu)化變量；中型優(yōu)化問(wèn)題：10—50個(gè)優(yōu)化變量；大型優(yōu)化問(wèn)題：50個(gè)以上的優(yōu)化變量。

第16頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如何選定優(yōu)化變量？

任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過(guò)大。所以確定優(yōu)化變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）抓主要，舍次要。

對(duì)產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為優(yōu)化變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決問(wèn)題的特殊性來(lái)選擇優(yōu)化變量。

例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的優(yōu)化變量有4個(gè)，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在建模中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為優(yōu)化常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧中徑D作為優(yōu)化常量。第17頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

2.約束條件優(yōu)化問(wèn)題中有些是工程上所不能接受的，在優(yōu)化中對(duì)優(yōu)化變量取值有一些限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束。約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束第18頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束——只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范圍就屬于邊界約束。第19頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖1-2優(yōu)化問(wèn)題中的約束面（或約束線）

(a)二變量問(wèn)題的約束線(b)三變量問(wèn)題的約束面第20頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如圖1-3上畫(huà)出了滿足兩項(xiàng)約束條件g1（X）=x12＋x22—16≤0和g2（X）＝2—x2≤0的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域D，它位于x2=2的上面和圓x12＋x22=16的圓弧ABC下面并包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D

可行域:

在優(yōu)化問(wèn)題中，滿足所有約束條件的點(diǎn)所構(gòu)成的集合。第21頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六滿足的約束為起作用約束,否則為不起作用的約束.(等式約束一定是起作用約束)一般情況下，可行域可表示為：不可行域:可行點(diǎn)和不可行點(diǎn)

D內(nèi)的點(diǎn)為可行點(diǎn),否則為不可行點(diǎn)（外點(diǎn)）。邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)約束邊界上的可行點(diǎn)為邊界點(diǎn),其余可行點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)。起作用的約束與不起作用的約束第22頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)優(yōu)化變量的不斷向f(X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得f(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值，也可能是最小值。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。

為了對(duì)優(yōu)化進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含優(yōu)化變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以f(X)表示。第23頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

在優(yōu)化問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的最優(yōu)化問(wèn)題中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，建模的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。

在實(shí)際工程問(wèn)題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求建模者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。

第24頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

目標(biāo)函數(shù)等值（線）面目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來(lái)。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維優(yōu)化問(wèn)題中，f(x1,x2)=c

代表x1-x2平面上的一族曲線。對(duì)于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的自變量構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。第25頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖1-4等值線

圖1-4表示目標(biāo)函數(shù)f（X）與兩個(gè)優(yōu)化變量x1，x2階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時(shí)，等值線愈稀疏說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。第26頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使f(x1,x2)=40的各點(diǎn)[x1,x2]T所組成的連線。如圖函數(shù)的等值線圖。圖1-5等值線第27頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.優(yōu)化問(wèn)題一般數(shù)學(xué)形式：滿足約束條件：求優(yōu)化變量向量使目標(biāo)函數(shù)第28頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問(wèn)題合理簡(jiǎn)化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化結(jié)果。最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值時(shí)，則可看成是求［-f（X）］的最小值，因?yàn)閙in［-f（X）］與maxf（X）是等價(jià)的。第29頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.建模實(shí)例1）根據(jù)問(wèn)題要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析。必要時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)問(wèn)題中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2）對(duì)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定問(wèn)題的原始參數(shù)、優(yōu)化常數(shù)和優(yōu)化變量。3）根據(jù)問(wèn)題要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時(shí)要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般步驟：第30頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六配料每磅配料中的營(yíng)養(yǎng)含量鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.08

0.01640.04630.1250

以最低成本確定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過(guò)1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng)成分為：混合飼料配合第31頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。第32頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六6.優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：如按優(yōu)化變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問(wèn)題:

二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等。第33頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、幾何解釋§1-4優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解法無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題就是在沒(méi)有限制的條件下，對(duì)優(yōu)化變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。在優(yōu)化空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是以等值面的形式反映出來(lái)的，則無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極小點(diǎn)即為等值面的中心。約束優(yōu)化問(wèn)題是在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，此極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。第34頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六等值線—等高線等值線－等高線：它是由許多具有相同目標(biāo)函數(shù)值的點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線目標(biāo)函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第35頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第36頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第37頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第38頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1：如下二維非線性規(guī)劃問(wèn)題例題

通過(guò)二維約束優(yōu)化問(wèn)題的幾何求解來(lái)直觀地描述優(yōu)化問(wèn)題的基本思想。第39頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無(wú)約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-9第40頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由圖易見(jiàn)約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得該切點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值為

(見(jiàn)圖）例2：解：先畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫(huà)出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是可行集。而最優(yōu)點(diǎn)就是可行域上使等值線具有最小值的點(diǎn)。第41頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：①先畫(huà)出等式約束曲線的圖形。這是一條拋物線，如圖例3：②再畫(huà)出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）③最后畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點(diǎn)，ABCD第42頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

以及等值線與可行集的切點(diǎn)，易見(jiàn)可行域?yàn)榍€段ABCD。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物曲線段ABCD由A點(diǎn)出發(fā)時(shí)，AB段目標(biāo)函數(shù)值下降。過(guò)點(diǎn)B后，在BC段目標(biāo)函數(shù)值上升。過(guò)C點(diǎn)后，在CD段目標(biāo)函數(shù)值再次下降。D點(diǎn)是使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點(diǎn)，其坐標(biāo)可通過(guò)解方程組：得出：ABCD第43頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

由以上例子可見(jiàn)，對(duì)二維最優(yōu)化問(wèn)題。我們總可以用圖解法求解，而對(duì)三維或高維問(wèn)題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上的空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)值的是{X|f(X)=C,C是常數(shù)}稱為目標(biāo)函數(shù)的等值面。等值面具有以下性質(zhì)：（1）不同值的等值面之間不相交，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值函數(shù)；（2）等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；（3）一般地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。第44頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六求解優(yōu)化問(wèn)題的基本解法有：

二、優(yōu)化問(wèn)題的基本解法解析法數(shù)值解法解析法：即利用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法。在目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單時(shí)，求解還可以。

局限性：工程優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時(shí)甚至還無(wú)法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會(huì)帶來(lái)麻煩。第45頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

最優(yōu)化方法是與近代電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計(jì)算法比解析法更能適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)值計(jì)算的迭代方法具有以下特點(diǎn)：

1）是數(shù)值計(jì)算而不是數(shù)學(xué)分析方法；

2）具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計(jì)算；

3）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點(diǎn)正與計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)相一致。

數(shù)值解法：這是一種數(shù)值近似計(jì)算方法，又稱為數(shù)值迭代方法。它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)或直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本解法。

其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長(zhǎng)的確定等。第46頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第47頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

數(shù)值迭代法的基本思路：是進(jìn)行反復(fù)的數(shù)值計(jì)算，尋求目標(biāo)函數(shù)值不斷下降的可行計(jì)算點(diǎn)，直到最后獲得足夠精度的最優(yōu)點(diǎn)。這種方法的求優(yōu)過(guò)程大致可歸納為以下步驟：

1）首先初選一個(gè)盡可能靠近最小點(diǎn)的初始點(diǎn)X（0），從X（0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長(zhǎng)，向前跨出一步達(dá)到X（1）點(diǎn)；

2）得到新點(diǎn)X